浙江大学复变函数模拟试卷2份

第一部分（共40分）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1、设z=1-3i，则（）A、|z|=2，argz=-B、|z|=1，argz=-33C、|z|=4，argz=-D、|z|=2，argz=-332、下列复数表达式中正确的是（）A、-1=eiB、-1=-e-iC、-1=-eiD、-1=e-2i（1+i）（2-i）3、-=（）I2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i4、函数f（z）=|z|2在复面上（）A、处处不连续B、处处连续，处处不可导C、处处连续，仅在z=0点可导D、处处连续，在z=0点解析5、在复数域内，下列数中为实数的是（）A、（1-i）3B、iiC、1niD、-86、解析函数的实部u（x，y），和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为（）uuuuA、-=-,-=-B、-=-,-=-xyyxxyyxuuuuC、-=-,-=-D、-=-,-=-xxyxxyyx7、2sini=（）A、（e-1-e）iB、（e+e-1）iC、（e-e-1）iD、e-e-18、设f（z）=u（x，y）+i（z，y）是一个解析函数。若u=y，则f（z）=（）A、iB、1C、1D、-i9、设C是从z=0到z=1+i的直线段，则积分zdz=（）cA、0B、2C、1D、1+i10、设C为正向圆周|z|=1，则积分ezdz=（）cA、1B、2C、0D、2ii11、积分zsinzdz=（）-iA、2iB、0C、1D、-2e-1i12、设C1为正向圆周|z|=1，C2为正向圆周|z-2|1，则积分1cosz1sinz-dz+-dz=（）2ic1z-22ic2z-2A、sin2B、cos2C、0D、2iz513、设C是围绕z0点的正向简单闭曲线，则积分-dz=（）c（z-x0）3A、0B、2iC、2z50iD、20z30i14、复数列an=e-in，n=0，1，2，则liman（）nA、等于0B、不存在，也不是C、等于1D、等于15、在z=0的领域内1n（1+z）=（-1）n-1znA、-znB、-n=1nn=1n1+（-1）nC、-znD、（-1）n-1znn=1nn=11+（-1）n16、幂级数-zn的收敛半径为（）n=03n1A、9B、3C、-D、+3（-1）n17、罗朗级数-的收敛圆环域为（）n=0（z-2）n+2A、1|z-2|2B、1|z-2|+C、0|z-2|1D、2|z-2|+1118、z=1是函数-cos-的（）（z-1）5（z-1）5A、本性奇点B、可去奇点C、5阶极点D、10阶极点19、设z0是函数f（z）的m阶极点，则Resf（z），z0=（）1dmA、-lim-（z-z0）mf（z）m！zz0dzm1dm-1B、-lim-（z-z0）m-1f（z）（m-1）！zz0dzm-11dm-1C、-lim-（z-z0）mf（z）（m-1）！zz0dzm-1D、lim（z-z0）mf（z）zz020、保角映射w=ez将Z-平面上的带形区域0Imz映射成（）A、上半复平面B、单位圆外部C、整个复平面D、单位圆内部第二部分非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。21、（1+i）4+（1-i）4=。22、设D为复平面上单位圆的外部，则D=z|。23、函数w=z2将z-平面上的上半虚轴映射成W-平面上的。24、方程ez=1的解为z=。25、Ln（1+z）=ln|1+z|+。i26、e2zdx=。-i27、设a,b是常数，且|a-3|2,C为正向圆周|z-3|=2，则ebz-dz=。C(z-a)4zn28、幂级数-的和函数为。n=0n!129、函数zcos-在0|z-1|+,内的罗朗级数为。z-130、将割去负实轴的复平面映射成上半平面的保角映射是w=。三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31、设z=x+iy,f（z）=u（x，Y）+i（x，y）是解析函数。已知u（x，y）=3x2y-y3，f（i）=-1，试求f（z）（用z表示）。2z-132、设C为正向圆周|z|=2，计算积分I=-dz。CZ(Z-1)133、将函数f（z）=-在圆环1|z|+内展开成罗朗级数。z（z2+1）134、计算函数f（z）=-在复平面内各奇点处的留数。（z+1）（z+3）3四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考积分变换者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）。+xsim2x35、利用留数计算积分I=-dx。-x2+436、试求保角映射w=f(z)，把Z-平面的上半单位圆域|z|0射成为W-平面上割去正实轴的复平面，并将点z=-1,1，i分别映射成w=,0,1。37、积分变换（1）设F（）=Ff（t）。试证明FF（-t）=2f（）。（5分）（1）利用拉氏变换解微分积分方程：ty（t）-cosy（t-）d=a，t00y（0）=0（其中为常数）一. 计算（32分，每题8分）1. 求.2. 计算积分，其中曲线，从变到。3. 计算积分，曲线正向.4. 利用留数理论计算定积分.二（8分）利用留数理论证明三.（10分）设函数是全平面的解析函数，应用柯西一黎曼方程（1）求，m，n的值；（2）求.四.（10分）把函数在环域：（1）；（2）中展开成罗朗级数；并指出的值.五.（15分）（1）证明拉氏变换的时移性质，即证明：若，则对于，有.（2）应用时移性质求函数 （实数）的拉氏变换.（3）求函数 （a实