高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 2.1 函数与方程思想课件 理 新人教版.ppt

第二篇思想方法精析第一讲函数与方程思想 思想解读 1 函数的思想 是通过建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从而使问题得到解决的思想 2 方程的思想 是建立方程或方程组 或构造方程 通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决的思想 热点1解决图象交点或方程根的问题 典例1 2016 忻州一模 设f x 是定义在r上的偶函数 对任意x r 都有f x 2 f x 2 且当x 2 0 时 f x 1 若在区间 2 6 内关于x的方程f x loga x 2 0 a 1 恰有3个不同的实数根 则a的取值范围是 解析 选b 因为对于任意的x r 都有f x 2 f x 2 所以函数f x 是一个周期函数 且t 4 又当x 2 0 时 f x 1 且函数f x 是定义在r上的偶函数 若在区间 2 6 内关于x的方程f x loga x 2 0 a 1 恰有3个不同的实数根 则函数y f x 与y loga x 2 在区间 2 6 上有3个不同的交点 如图所示 又f 2 f 2 3 因此 对于函数y loga x 2 由题意可得 当x 2时的函数值小于3 当x 6时的函数值大于3 即loga43 解得 a 2 规律方法 利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路 1 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题 应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题 2 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决 变式训练 2016 厦门一模 已知函数f x x cosx 则方程f x 所有根的和为 a 0 解析 选c 方程f x 的根 即x cosx 的根 也就是函数y x 与函数y cosx交点的横坐标 易知两个图象只有一个交点 热点2解决最值或参数范围问题 典例2 2016 惠州一模 直线y a分别与曲线y 2 x 1 y x lnx交于点a b 则 ab 的最小值为 a 3b 2 解析 选d 当y a时 2 x 1 a 所以x 1 设方程x lnx a的根为t 则t lnt a 则 ab 设g t 1 t 0 则g t 令g t 0 得t 1 当t 0 1 时 g t 0 所以g t min g 1 所以 ab 所以 ab 的最小值为 规律方法 求最值或参数范围的技巧 1 充分挖掘题设条件中的不等关系 构建以待求字母为元的不等式 组 求解 2 充分应用题设中的等量关系 将待求参数表示成其他变量的函数 然后应用函数知识求解 3 当问题中出现两数积与这两数和时 是构建一元二次方程的明显信息 构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决 4 当问题中出现多个变量时 往往要利用等量关系去减少变量的个数 变式训练 1 2016 赤峰一模 如图 a是单位圆与x轴的交点 点p在单位圆上 aop 0 四边形oaqp的面积为s 当 s取得最大值时 的值为 解析 选b 由知四边形oaqp为平行四边形 故所以 时 有最大值 2 2016 西宁一模 已知正四棱锥的体积为 则正四棱锥的侧棱长的最小值为 a 2b 2c 2d 4 解析 选a 如图所示 设正四棱锥的底面边长为a 高为h 则该正四棱锥的体积v 故a2h 32 即a2 则其侧棱长为l 令f h 则f h 令f h 0 解得h 2 显然当h 0 2 时 f h 0 f h 单调递增 所以当h 2时 f h 取得最小值f 2 22 12 故其侧棱长的最小值l 热点3解决与不等式有关的问题 典例3 2016 保定一模 已知函数f x lnx 1 g x x2 2bx 4 若对任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 则实数b的取值范围为 解析 问题等价于f x min g x max f x lnx 1 所以f x 令f x 0得x2 4x 3 0 解得1 x 3 故函数f x 的单调递增区间是 1 3 单调递减区间是 0 1 和 3 故在区间 0 2 上 x 1是函数的极小值点 这个极小值点是唯一的 故也是最小值点 所以f x min f 1 由于函数g x x2 2bx 4 x 1 2 当b2时 g x max g 2 4b 8 故问题等价于解得b 1或1 b 所以b 答案 规律方法 解决不等式问题的方法及注意点 1 方法 在解决不等式恒成立问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题 2 注意点 要注意在一个含多个变量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 一般地 已知存在范围的量为变量 而待求范围的量为参数 变式训练 1 2016 西安一模 已知函数f x x2 4x 4 若存在实数t 当x 1 t 时 f x a 4x a 0 恒成立 则实数t的最大值是 a 4b 7c 8d 9 解析 选d 由图可知 当函数y f x a 的图象经过点 1 4 时 有x 1 t f x a 4x a 0 恒成立 此时t取得最大值 由 1 a 2 4 1 a 4 4 得a 5或a 1 舍 所以4t t 5 2 2 所以t 1 舍 或t 9 故t 9 2 2016 太原二模 f x ax3 3x 1对于x 1 1 总有f x 0成立 则a 解析 若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0可化为a 设g x 则g x 所以g x 在