高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 2.3 分类讨论思想课件 理 新人教版.ppt

第三讲分类讨论思想 思想解读 分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时 就需要对研究的对象按某个标准进行分类 然后对每一类分别研究 给出每一类的结论 最终综合各类结果得到整个问题的解答 实质上分类讨论就是 化整为零 各个击破 再集零为整 的数学思想 热点1由数学概念 性质 运算引起的分类讨论 典例1 函数f x 若f 1 f a 2 则a的所有可能值为 解析 f 1 e0 1 即f 1 1 由f 1 f a 2 得f a 1 当a 0时 f a 1 ea 1 所以a 1 当 1 a 0时 f a sin a2 1 所以 a2 2k k z 所以a2 2k k z k只能取0 此时a2 因为 1 a 0 所以a 答案 1 规律方法 1 数学概念 性质 公式 定理 运算常见的分类 1 由数学概念引起的分类讨论 有的概念本身是分类的 如绝对值 直线斜率 指数函数 对数函数等 2 由性质 定理 公式的限制引起的分类讨论 有的数学定理 公式 性质是分类给出的 在不同的条件下结论不一致 如等比数列的前n项和公式 函数的单调性等 3 由数学运算要求引起的分类讨论 如除法运算中除数不为零 偶次方根被开方数为非负 对数真数与底数的要求 指数运算中底数的要求 不等式两边同乘以一个正数 负数 三角函数的定义域等 2 解决由概念 法则 公式引起的分类讨论问题的步骤第一步 确定需分类的目标与对象 即确定需要分类的目标 一般把需要用到公式 定理解决问题的对象作为分类目标 第二步 根据公式 定理确定分类标准 运用公式 定理对分类对象进行区分 第三步 分类解决 分目标 问题 对分类出来的 分目标 分别进行处理 第四步 汇总 分目标 将 分目标 问题进行汇总 并作进一步处理 变式训练 在等比数列 an 中 已知a3 s3 则a1 解析 当q 1时 a1 a2 a3 s3 3a1 显然成立 当q 1时 由题意 得所以 由 得 3 即2q2 q 1 0 所以q 或q 1 舍去 当q 时 a1 6 综上可知 a1 或a1 6 答案 或6 热点2由图形位置或形状引起的分类讨论 典例2 设f1 f2为椭圆 1的两个焦点 p为椭圆上一点 已知p f1 f2是一个直角三角形的三个顶点 且 pf1 pf2 则的值为 解析 若 pf2f1 90 则 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 又因为 pf1 pf2 6 f1f2 2 解得 pf1 pf2 所以 若 f1pf2 90 则 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 所以 pf1 2 6 pf1 2 20 所以 pf1 4 pf2 2 所以 2 综上知 或2 答案 或2 规律方法 图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时 常按椭圆 双曲线来分类讨论 求圆锥曲线的方程时 常按焦点的位置不同来分类讨论 相关计算中 涉及图形问题时 也常按图形的位置不同 大小差异等来分类讨论 变式训练 1 若函数f x x x a 在x 1 1 上的最大值为4 则a的值为 解析 函数f x 的图象的对称轴为x 应分1 即a2三种情形讨论 当a 2时 由图 1 可知f x 在 1 1 上的最大值为f 1 1 a a 1 由 a 1 4 得a 5 满足题意 当 2 a 2时 由图 2 可知f x 在 1 1 上的最大值为由 4 得a 4 舍去 当a 2时 由图 3 可知f x 在 1 1 上的最大值为f 1 a 1 由a 1 4 得a 5 满足题意 综上可知 a 5或 5 答案 5或 5 2 设圆锥曲线t的两个焦点分别为f1 f2 若曲线t上存在点p满足 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 则曲线t的离心率为 解析 不妨设 pf1 4t f1f2 3t pf2 2t 若该圆锥曲线为椭圆 则有 pf1 pf2 6t 2a 3t f1f2 3t 2c e 若该圆锥曲线是双曲线 则有 pf1 pf2 2t 2a 3t f1f2 3t 2c e 所以圆锥曲线t的离心率为答案 热点3由变量或参数引起的分类讨论 典例3 已知函数f x sinx g x mx m为实数 1 求曲线y f x 在点p处的切线方程 2 求函数g x 的单调递减区间 解析 1 由题意得所求切线的斜率k 则切线方程为即 2 g x m x2 当m 0时 g x 0 则g x 的单调递减区间是 当m 0时 令g x 0 解得则g x 的单调递减区间是 综上所述 m 0时 g x 的单调递减区间是 m 0时 g x 的单调递减区间是 规律方法 1 几种常见的由参数变化引起的分类讨论 1 含有参数的不等式的求解 2 含有参数的方程的求解 3 对于解析式系数是参数的函数 求最值与单调性问题 4 二元二次方程表示曲线类型的判定等 2 利用分类讨论思想的注意点 1 分类讨论要标准统一 层次分明 分类要做到 不重不漏 2 分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别 再确定每级讨论的对象与标准 每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏 3 讨论结果归类合并 最后整合时要注意是取交集 并集 还是既不取交集也不取并集只是分条列出 变式训练 设函数f x x2 ax b 讨论函数f sinx 在内的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解析 f sinx sin2x asinx b sinx sinx a b 0 2 2sinx 2 a 2 b r时 函数f sinx 单调递增 无极值 a 2 b r时 函数f sinx 单调递减 无极值 对于 2 a 2 在内存在唯一的x0 使得2sinx0 a x x0时 函数f sinx 单调递减 x0 x 时 函数f sinx 单调递增 因此 2 a 2 b r时 函数f sinx 在x0处有