02-小班讲义数学归纳法(教师可打印).doc

中小学1对1课外辅导专家东方教育学科教师辅导讲义讲义编号SH12sx00021 授课班级： 年 级： 高二 课时数：2学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：李生学科组长签名及日期剩余天数天课 题数学归纳法的总结授课时间：2014-9-18备课时间： 2014-9-16教学目标1.通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力；2.让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。重点、难点1.重 点（1）初步理解数学归纳法的原理；（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤；（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。2.难 点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性；（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。考点及考试要求1数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若（1）P(n0)成立(奠基)；（2）假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 2数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 教学内容1、 知识梳理：1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可；2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 。3.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1：用数学归纳法证明：错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中， 没有运用归纳假设。2. 归纳起点未必是1 ；问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为；点拔：本题的归纳起点3.“归纳猜想证明”是一种重要的思维模式问题3：在数列中，求数列的通项公式点拨：本题有多种求法，“归纳猜想证明”是其中之一解析：猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，猜想成立 （2）假设当n=k时猜想成立，则 当n=k+1时猜想也成立 综合（1）（2），对猜想都成立。2、 典型例题:考点1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真， 则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立解析 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子【同步练习】1. （2013年上海高考改编题）用数学归纳法证明， 在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1 B. C. D. 解析 n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B2.（2014年上海高考调研题）用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 解析求即可 当 n=k时，左边， 当n=k+1时，左边, 故左边增加的式子是，即考点2 数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）例2 用数学归纳法证明不等式解析（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即 则 当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面【同类提高】3. （2013年上海中学期中考试卷）用数学归纳法证明等式： 解析 （1）当n=1时，左=右，等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立4.（2013年闵行中学）数列中，用数学归纳法证明：解析(1) 当n=1时, ,不等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即， 则， 当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立题型2 用“归纳猜想证明”解决数学问题 例3 是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论。【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立 解析 把n=1,2,3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立；（2）假设n=k时等式成立，即则所以当n=k+1时，等式也成立；综合（1）（2），对等式都成立。【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式。【新题导练】5.（2013年上海师大附中）在数列中， （1）写出；（2）求数列的通项公式解析 ，猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立； （2）假设n=k时猜想成立，即 则 所以当n=k+1时，猜想也成立； 综合（1）（2），对猜想都成立。3、 课堂总结：1. 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可；2. 理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明nk1命题成立时必须要用到nk时命题成立这个条件；3.数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。4、 课后练习：基础巩固训练（A组）1.(2008年上海高考改编题)用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）A.2k+1 B. C. D. 解析 左端需乘的代数式是=，选B2.(2007年上海高考改编题)用数学归纳法证明：1+时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A. B. C. D.解析 项数为,选A3.(2013年上海一模)凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为（ ）A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解析 C4.(2010年上海一模)如果命题对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（ ）A. 对成立 B. 对n4且成立C. 对n4且成立 D. 对n4且不成立解析 D5.(2012年上海高考改编题)设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是 解析 6.(2013年上海高考调研题)若存在正整数，使得能被整除，则= 解析36. ，猜想：=36综合提高训练（B组）7.(2014年上海中学质量检测)求证：证明(1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立；(2)假设n=k时，等式成立，即，则.所以，当n=k+1时，等式仍然成立由(1)(2)可知，对于等式依然成立.8.(2013年上海交大附中)证明：能被整除解析 （1）当n=1时，能被整除； （2）假设n=k时命题成立，即能被整除 则可设（其中为次多项式） 当n=k+1时，能被整除，所以，当n=k+1时，命题仍然成立；由(1)(2)可知，对于命题依然成立.9.(2010年上海高考改编题)在数列中，其中，求数列的通项公式解析 ，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，,等式成立. (2)假设当n=k时等式成立，即.则当n=k+1时，.这就是说，当n=k+1时