复变函数第七章学习指导

复变函数第七章学习指导一、 知识结构二、 学习要求 理解解析函数的映射性质； 了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质； 理解分式线性变换的映射性质； 会求将区域映射为的共形映射。三、 内容提要解析函数的保域性定理7.1 若函数在区域内解析，且不是一个常数，则的象是区域解析函数的保角性定义7.1 设映射在区域内连续，若它使通过点的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点是保角的若映射在区域内的每一点都是保角的，则称该映射为区域内的保角映射，或称该映射在内是保角的定义7.2 若映射在区域内是单叶且保角的，则称该映射为区域内的保形映射，或称该映射在内是保形的定理7.2 若函数在区域内解析，则它在导数不为零处是保角的定理7.3 若函数在区域内单叶且解析，则它在内是保角的单叶解析函数的保形性定理7.4 若函数在区域内单叶且解析，则是区域内的保形映射，且的像为区域；的反函数在内单叶且解析，并有几个初等函数的映射性质 (为常数)的映射性质：是一个平移变换在复平面处处是保角的这是因为，在复平面上处处有将圆周映射为圆周 (为常数，且)的映射性质：是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加在复平面上处处是保角的这是因为，在复平面上处处成立的映射性质：该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称在复平面上除外，处处是保角的将圆周映射为圆周对于平面上的圆周（或直线）映射当时，将圆周映射为圆周；当时，将圆周映射为直线；当时，将直线映射为圆周；当时，将直线映射为直线幂函数与根式函数的映射性质：1） 幂函数为大于1的自然数设为射线，经映射后的像为平面上的射线设为圆周，经映射后的像为平面上的圆周将模相同而辐角相差的整数倍的点与映射为同一点将映射为2） 根式函数为大于1的自然数 根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质指数函数与对数函数的映射性质：1） 指数函数设为平行于实轴的直线，经映射后的像为平面上的一条始于原点的射线设为线段：，经映射后的像为圆周设为：，为整数，经映射后的像为平面上从原点起始沿正实轴剪开的平面2） 对数函数对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质分式线性变换的映射性质称变换 （7.7）为分式线性变换，其中的为复常数，且（7.7）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成保形性定理7.5 ()在扩充复平面是保角的定理7.6 在扩充复平面是保角的由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7.7定理7.7 分式线性变换在扩充复平面是保形的保圆周性定理7.8 分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的圆周或直线保对称点性定理7.9 设为分式线性变换，若扩充平面上两点与关于圆周对称，则与两点关于圆周对称保交比性定理7.10 若有分式线性变换则其中，定理7.11 若分式性性变换将扩充复平面（平面）上三个互异的点映射为扩充复平面（平面）上的三点，则此分式线性变换就惟一确定，且可写成 （8.11）定理7.12 若为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数将映射为单位圆；又若对内某一点满足条件 且 则函数是惟一的定理8.13 设单连通区域与分别是简单闭曲线与的内部，若函数在上解析，且将双方单值的映射为，则函数在内单叶且将映射为由于要求将点映射为点，而关于平面上的实轴与点对称的点是，关于平面上的圆周与点对称的点是，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点映射为点外，还应将点映射为点又因所求映射是分式线性变换，故可构造为为待定系数为确定，只须利用该变换需将实轴上的点映射为单位圆周上的点的事实，即当时，有 由此得为任意实数至此，便得 为任意实数 （7.12）经验证，（7.12）式即为所求事实上，当时，由（7.12）式得 又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将平面上的实轴（上半平面的边界）映射为平面上的圆周（单位圆的边界）又由于当时，由（7.12）式得，而该点位于圆中，所以，由保域性定理（定理7.1）可知，（7.12）式将映射为，且将点映射为点至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求 四、 典型例题例1 试求将点分别映射为点的分式线性变换解 令，则由（7.11）式得即为所求例2 (1) 试求在映射下，平面上的直线及的像曲线（2）在这两条曲线的交点处是否保角？旋转角、伸缩率是多少？解 令，则映射变为 (1) z平面上的直线：在平面上的像曲线是：， 它是平面上的正半虚轴；z平面上的直线：在平面上的像曲线是：，它是平面上的一条抛物线（如图6.12）（2）与的交点为，因为所以映射在交点处是保角的，且旋转角为，伸缩率为。例3 求将上半平面映射为单位圆的分式线性变换，且使点映射为点 (图1) xO y图1( z ) v uO( w )1-1c解 用构造法依题意，所求映射应将平面上的实轴映射为平面上的单位圆周例4 如果分式线性映射将平面上的圆周映射成平面上的直线，问，应满足什么条件？解 由解得当时，故即要使上述方程表示平面上的直线，只需故分式线性映射将圆周映射成直线的充分必要条件是例 5 求一个保角映射，将平面上的弓形域，映射成的上半平面解 如图6.14，经计算交点为，其中处圆弧的方向角为可考虑先将平面上的弓形域映射成平面（注意图中未画出平面）的角形域，再将角形域映射成平面的上半平面设分式线性映射将映射成平面上的点0. 而映射成平面上的，于是该映射可写为当时；当时，所以映射将弓形域映射成角形域：即为平面上的顶点在原点，且以射线和为两边的角形域（读者可自行验证)再对施以旋转变换，它将平面上的角形域顺时针旋转而成为平面上的角形域最后，再令，它将平面上的角形域映射成平面上的上半平面复合映射，便得到即映射把平面上的弓形域映射成平面上的上半平面例6 求将映射为的分式线性变换，使得点映射为点（图2）图2( z ) v uO( w )1-1c y xO1-1c解 用构造法依题意，所求映射应将平面上的单位圆周映射为平面上的单位圆周由于要求将点映射为点，而关于圆周与点对称的点是（见图2），关于圆周与点对称的点是，所以