九年级数学上册3.3圆周角利用圆周角与圆心角关系解题素材新青岛版.docx

利用圆周角与圆心角关系解题我们知道，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，即同圆或等圆中圆周角相等，可以得到圆心角也相等.利用圆周角与圆心角的这种关系，我们求解许多与之相关的问题，现举例说明.例1已知：如图1，O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，AO，BO，若ACB60，则下列结论中正确的是（ ） A.AOB60 B.ADB60 C.AEB60 D.AEB30分析由于已知的是圆周角的大小，则由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，可以确定圆周角AEB和圆心角AOB的大小，于是问题即可求解.解因为ACB60，所以圆周角AEB60，圆心角AOB120.故应选C.图2OCBA说明利用圆周角与圆心角的关系性质解题时一定要注意其前提条件是：在同圆或等圆中.图1例2如图2，已知：O是ABC的外接圆，BAC50，ABC47，求AOB.分析要求AOB的大小，只要能求出C，此时的C是ABC的内角，结合已知条件即可求解.解因为O是ABC的外接圆，所以CAB、ABC、C都是圆周角，AOB是圆心角.又因为BAC50，ABC47，所以C180(A+B)180(50+47)83.由圆周角定理，得CAOB，所以AOB2C283166.说明求解此类问题时，一定要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其证明的思路，另外，圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍.”例3已知O的弦AB长等于O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数.分析本题虽然给出了明确的已知条件，但由于没有提供图形，所以要分情况求解.解下面分两种情况：如图3所示，连接OA，OB，在O上任取一点C，连接CA，CB.因为ABOAOB，所以AOB60，所以ACBAOB30.即弦AB所对的圆周角等于30.图4ODBA图3OCBA 如图4所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则BADBOD，ABDAOD.所以BAD+ABD(BOD+AOD)AOB.因为AB的长等于O的半径，所以AOB为等边三角形，AOB60.所以BAD+ABD30，ADB180(BAD+ABD)150，即弦AB所对的圆周角为150.说明分类讨论是研究与圆有关问题的重要思想方法，当给出的问题不够明确时一定要考虑分情况来解决，以防漏解.下面两道题目供同学们自己练习：1.如图5中，BOD的度数是（ ）A.55B.110C.125D.150图6CODFEG图52530OEADCB2.如图6，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD40，则DCF等于（ ）A.80 B.50 C.40 D.20参考答案：1，点拨：要求BOD的度数，由图形可知，只要能求出的大小，而事实上的大小是由与构成的，此时由已知条件可以分别求出与的大小，从而可以求解.即因为A25，E30，所以的大小是50，的大小是60，即的大小是110.又因为BOD的度数等于的大小，所以BOD110.故应选B.2，点拨：要求DCF的大小，而已知条件中只知道一个圆心角，且这个圆心角与要求的圆周角好象不存在关系，但条件中给出了O的直径CD过弦EF的中点G，于是，我们可以利用垂径定理，使问题转换，这样即可求解.即因为