高三数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系课件 文.ppt

文数课标版 第一节坐标系 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 教材研读 2 极坐标系与极坐标 1 极坐标系如图所示 在平面内取一个 定点o 叫做极点 自极点o引一条 射线ox 叫做极轴 再选定一个 长度单位 一个 角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 2 极坐标 i 极径 设m是平面内一点 极点o与点m的 距离 om 叫做点m的极径 记为 ii 极角 以极轴ox为始边 射线om为终边的角xom叫做点m的极角 记为 iii 极坐标 有序数对 叫做点m的极坐标 记为m 3 极坐标与直角坐标的互化设m是平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标是 则它们之间的关系为 1 曲线y sinx经过变换后得到曲线c 则曲线c的周期t和ymax分别为 a t ymax 3b t 4 ymax 3c t ymax d t 4 ymax 答案a由得将其代入y sinx得y sin2x 即y 3sin2x 即曲线c的解析式为y 3sin2x 故t ymax 3 故选a 2 椭圆c x2 9y2 9经过变换 后变成圆x2 y2 1 则变换 为 a b c d 答案b设变换 则将其代入x2 9y2 9得 9 9 即x 2 y 2 1 由题意得 故选b 3 在极坐标系中 a b两点间的距离为 a 2b 3c 6d 3答案c解法一 数形结合 在极坐标系中 a b两点如图所示 ab oa ob 6 解法二 a b的直角坐标为a 即a 1 b 即b 2 2 ab 6 故选c 4 在极坐标系中 圆心为 且过极点的圆的方程为 答案 2cos 解析如图 o为极点 c为圆心 ob为直径 设a 则 abo 90 ob 2 化简得 2cos 5 2015北京 11 5分 在极坐标系中 点到直线 cos sin 6的距离为 答案1解析由极坐标与直角坐标的互化公式可得 点对应的直角坐标为 1 直线 cos sin 6对应的直角坐标方程为x y 6 由点到直线的距离公式可得 所求距离为 1 考点一平面直角坐标系中的伸缩变换典例1在同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换后 曲线c1 x2 y2 36变为曲线c2 1 求c2的方程 2 p q分别为c1与c2上的点 求 pq 的最小值与最大值 解析 1 设圆x2 y2 36上任一点为a x y 伸缩变换后对应的点的坐标为a x y 则 4x 2 9y 2 36 考点突破 即 1 曲线c2的方程为 1 2 c1是以o为圆心 半径r 6的圆 c2是以o为中心 长半轴长a 3 短半轴长b 2的椭圆 如图 pq min r a 6 3 3 pq max r a 6 3 9 方法技巧平面上的曲线y f x 在变换 的作用下的变换方程的求法是将代入y f x 将 f整理之后得到y h x 即为所求变换之后的方程 1 1在同一平面直角坐标系中 将直线x 2y 2变成直线2x y 4 则满足图象变换的伸缩变换为 a b c d 答案d设伸缩变换为又2x y 4 所以2 x y 4 即 x y 2 又x 2y 2 故 1 4 所以伸缩变换为 1 2双曲线c x2 1经过 变换后所得曲线c 的焦点坐标为 答案 5 0 5 0 解析设曲线c 上任意一点为p x y 由题意可知 将代入x2 1 得 1 化简得 1 即 1为曲线c 的方程 其焦点坐标为 5 0 5 0 考点二极坐标方程与直角坐标方程的互化典例2 2015课标 23 10分 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 2 若直线c3的极坐标方程为 r 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解析 1 因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 2 解法一 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 mn 由于c2的半径为1 所以 c2mn的面积为 解法二 直线c3的直角坐标方程为x y 0 圆c2的圆心c2 1 2 到直线c3的距离d 圆c2的半径为1 所以 mn 2 所以 c2mn的面积为 方法技巧极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧 1 巧用极坐标方程两边同乘 或同时平方的技巧 将极坐标方程构造成含有 cos sin 2的形式 然后利用互化公式进行转化 最后化简得到直角坐标方程 2 巧借两角和差公式 将 sin k或 cos k或 ksin 或 kcos 形式的极坐标方程进行转化 进而利用互化公式得到直角坐标方程 3 将直角坐标方程中的x换成 cos y换成 sin 即可得到其极坐标方程 2 1在极坐标系中 已知圆o cos sin 和直线l sin 1 求圆o和直线l的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线l与圆o的公共点的极坐标 解析 1 由 cos sin 可得 2 cos sin 把代入 2 cos sin 得 圆o的直角坐标方程为x2 y2 x y 0 由l sin 得 sin cos 1 因为所以直线l的直角坐标方程为x y 1 0 2 由解得进而由解得因为 0 所以 故公共点的极坐标为 考点三极坐标方程及应用典例3 2016课标全国 23 10分 在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 t为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 4cos 1 说明c1是哪一种曲线 并将c1的方程化为极坐标方程 2 直线c3的极坐标方程为 0 其中 0满足tan 0 2 若曲线c1与c2的公共点都在c3上 求a 解析 1 消去参数t得到c1的普通方程 x2 y 1 2 a2 c1是以 0 1 为圆心 a为半径的圆 将x cos y sin 代入c1的普通方程中 得到c1的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 2 曲线c1 c2的公共点的极坐标满足方程组若 0 由方程组得16cos2 8sin cos 1 a2 0 由已知tan 2 可得16cos2 8sin cos 0 从而1 a2 0 解得a 1 舍去 或a 1 a 1时 极点也为c1 c2的公共点 在c3上 所以a 1 方法技巧求曲线的极坐标方程的步骤 1 建立适当的极坐标系 设p 是曲线上任意一点 2 由曲线上的点所适合的条件 列出点p的极径 和极角 之间的关系式 3 将列出的关系式进行整理 化简 得出曲线的极坐标方程 3 2 2016福建福州五校第二次联考 已知曲线c的极坐标方程为 2 2 cos 2 0 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系xoy 1 若直线l过原点 且被曲线c截得的弦长最短 求直线l的直角坐标方程 2 若m是曲线c上的动点 且点m的直角坐标为 x y 求x y的最大值 解析 1 2 2 cos 2 0 即 2 2 cos 2 sin 2 0 将代入并整理得曲线