一元一次方程应用题的解法

一元一次方程应用题的解法 一 直列法 即由题中的 和 少 倍 等表示数量关系的字眼 直接列出 相关的方程 例1 在甲处劳动的有27人 在乙处劳动的有19人 现在另调20人去支援 使在甲处人数为在乙处的人数的2倍 应调往甲 乙两处各多少人 分析 显然 人员调动完成后 甲处人数 2 乙处人数 解 设调 x 人到甲处 则调 20 x 人到乙处 由题意得 27 x 2 19 20 x 解之得 x 17 20 x 20 17 3 人 答 应调往甲处17人 乙处3人 二 公式法 学生熟识的公式诸如 路程 速度 时间 工作总量 工作效 率 工作时间 利润 售价 进价 利润率 利润 进价 等都是解答相关方程 应用题的工具 例2 商品进价1800元 原价2250元 要求以利润率不低于5 的售价打 折出售 则此商品最低可打几折出售 分析 根据利润率公式 列出方程即可 解 设最低可打 x 折 据题意有 5 2250 x 1800 1800 解之得 x 0 84 答 最低可打8 4折 三 总分法 即根据总量等于各分量之和来列出方程 用此法要注意分量不 可有所遗漏 例3 过路的人 这儿埋葬着丢番图 请计算下列题目 便可知他一生经 过了多少寒暑 他一生的六分之一是幸福的童年 十二分之一是无忧无虑的少 年 再过去七分之一的年程 他建立了幸福的家庭 五年后儿子出生 不料儿 子竟先其父四年而终 只活到父亲岁数的一半 晚年丧子老人真可怜 悲痛之 中度过了风烛残年 请你算一算 丢番图活到多大 才和死神见面 分析 本题即是著名的丢番图的 墓志铭 题中巧妙地把丢番图的总年龄划 分为了几个部分 解题时只需运用其总年龄 各部分年龄的和即可得出解答 解 设丢番图活了 x 年 据题意可得 x x 6 x 12 x 7 5 x 2 4 解之得 x 84 答 丢番图共活了84岁 由此题的解答 我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚 38 岁得子 80岁死了儿子 儿子活了42岁等 四 同一法 这类题目的解题原理是 如果同一个量能用两个不同的代数式 表达 则这两个代数式必然相等 例4 一队学生从学校出发去部队军训 行进速度是5千米 时 走了4 5千 米时 一名通讯员按原路返回学校报信 然后他随即追赶队伍 通讯员的速度 是14千米 时 他在距离部队6千米处追上队伍 问学校到部队的距离是多少 报信时间忽略不计 分析 该题的解答关键在于 通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍 走了4 5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的 同一段时间 解 设学校到部队的距离是 x 千米 据题意得 x 4 5 6 5 x 4 5 6 14 解之得 x 15 5 答 学校到部队的距离是15 5千米 当然 以上四种方法不是孤立使用的 如例4的解答必然要用到公式 路程 速度 时间 并且一个题目的解法往往也不是唯一的 如例1的解答也可以用 总分法 解 设人员分配后乙处人数为 x 人 甲处为2x 人 分配后的总人数为 27 19 20 66人 据题意有 x 2x 27 19 20 解之得 x 22 2x 44 故44 27 17 人 22 19 39 人 答 应调往甲处17人 乙处3人 可见 方程应用题方法论的训练 不仅使大多数学生在解答相关问题时能 按图索骥 而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义 使一 题多解成为可能 分式方程应用题 1 有一项工程 若甲队单独做 恰好在规定日期完成 若乙队单独做要超过 规定日期3天完成 现在先由甲 乙两队合做2天后 剩下的工程再由乙队单独 做 也刚好在规定日期完成 问规定日期多少天 2 为加快西部大开发 某自治区决定新修一条公路 甲 乙两工程队承包此 项工程 如果甲工程队单独施工 则刚好如期完成 如果乙工程队单独施工就 要超过6个月才能完成 现在甲 乙两队先共同施工4个月 剩下的由乙队单独 施工 则刚好如期完成 问原来规定修好这条公路需多长时间 3 某人生产一种零件 计划在30天内完成 若每天多生产6个 则25天完成且还 多生产10个 问原计划每天生产多少个零件 4 在社会主义新农村建设中 某乡镇决定对一段公路进行改造 已知这项工 程由甲工程队单独做需要40天完成 如果由乙工程队先单独做10天 那么剩 下的工程还需要两队合做20天才能完成 1 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数 2 求两队合做完成这项工程所需的天数 5 怀化市某乡积极响应党中央提出的 建设社会主义新农村 的号召 在本乡 建起了农民文化活动室 现要将其装修 若甲 乙两个装修公司合做需8天完 成 需工钱8000元 若甲公司单独做6天后 剩下的由乙公司来做 还需12天 完成 共需工钱7500元 若只选一个公司单独完成 从节约开始角度考虑 该 乡是选甲公司还是选乙公司 请你说明理由 6 一项工程 甲单独做 x 小时完成 乙单独做 y 小时完成 则两人一起完成 这项工程需要 小时 7 某农场开挖一条480米的渠道 开工后 每天比原计划多挖20米 结果提 前4天完成任务 求原计划每天挖多少米 8 为加快西部大开发 某自治区决定新修一条公路 甲 乙两工程队承包此 项工程 如果甲工程队单独施工 则刚好如期完成 如果乙工程队单独施工就 要超过6个月才能完成 现在甲 乙两队先共同施工4个月 剩下的由乙队单独 施工 则刚好如期完成 问原来规定修好这条公路需多长时间 9 某工人师傅先后两次加工零件各1500个 当第二次加工时 他革新了工 具 改进了操作方法 结果比第一次少用了18个小时 已知他第二次加工效率是 第一次的2 5倍 求他第二次加工时每小时加工多少零件 10 甲 乙两个工程队共同完成一项工程 乙队先单独做1天 再由两队合作2 天就完成全部工程 已知甲队与乙队的工作效率之比是3 2 求甲 乙两队单独完 成此项工程各需多少天 应用题归纳 1 列方程解比较容易的两步应用题 1 列方程解应用题的步骤 弄清题意 找出未知数并用 x 表示 找出应用题中数量间的相等关系 列方程 解方程 检查 写出答案 2 列方程解应用题的关键 弄清题意后 找出应用题中数量间的相等关系 恰当地设未知数 列出方程 3 运用一般的数量关系列方程解应用题 列方程解加 减法应用题 如 甲乙两人年龄的和为29岁 已知甲比乙小3岁 甲 乙两人各多少岁 数量间的等量关系 甲的年龄 乙的年龄 甲乙二人的年龄和 解 设甲的年龄是 x 岁 则乙的年龄为 x 3 岁 x x 3 29 x x 3 29 2x 29 3 x 26 2 x 13 甲的年龄 13 3 16 岁 乙的年龄 答 甲的年龄是13岁 乙的年龄是16岁 列方程解乘 除法应用题 如 学校图书馆买来故事书240本 相当于科技书的3倍 买来科技书多少本 科技书的本数 3 故事书的本数 解 设买来科技书 x 本 3x 240 x 80 答 买来科技书80本 4 用计算公式 性质 数位及计数单位等做数量间的等量关系 列方程解应用 题 一长方形的周长是240米 长是宽的1 4倍 求长方形的面积 长 宽 2 周长 解 设宽是 x 米 则长是 1 4x 米 1 4x x 2 240 2 4x 240 2 x 120 2 4 x 50 长方形的宽 50 1 4 70 米 长方形的长 70 50 3500 平方米 答 长方形的面积是3500平方米 三角形 ABC 中 角 A 是角 B 的2倍 角 A 与角 B 的和比角 C 小18 求三 个角的度数 这是一个什么三角形 角 A 角 B 角 C 180度 解 设角 B 是 x 度 则角 A 是 2x 度 角 C 是 2x x 18 度 2x x 2x x 18 180 6x 18 180 6x 180 18 x 162 6 x 27 角 B 的度数 27 2 54 度 角 A 的度数 54 27 18 99 度 角 C 的度数 答 角 A 是54度 角 B 是27度 角 C 是99度 因为 角 B 角 A 角 C 90 角 C 180 所以这个三角形是钝角三角形 一个两位数 十位数字与个位数字的和是6 若以原数减去7 十位数与个位 数字相同 求原数 十位上的数字 个位上的数字 解 设原数的个位数字为 x 则原数十位上的数字为 6 x 若从原数中减去 7 则个位上的数字变为 10 x 7 十位上的数字变为 6 x 1 6 x 1 10 x 7 5 x 3 x 2x 2 x 1 原数的个位数字 6 1 5 原数的十位上的数 因此 原数是 51 2 列方程解二 三步计算的应用题 广水电影院原有座位32排 平均每排坐38人 扩建后增加到40排 可比原来多 坐584人 扩建后平均每排可以坐多少人 解 设扩建后平均每排坐 x 人 x 40 38 32 584 40 x 1216 584 40 x 584 1216 x 1800 40 x 45 答 扩建后平均每排可以坐45人 3 列方程解含有两个未知数的应用题 某班学生合买一种纪念品 每人出1元 多4元6角 每人出9角 就差5角 求 这件纪念品多少钱 这个班共有多少名学生 解 设这个班共有 x 名学生 x 4 6 9 10 x 5 10 x 4 6 0 9x 0 5 0 1x 5 1 x 51 这个班学生人数 51 4 6 46 4 元 纪念品的单价 答 这件纪念品46 4元 这个班共有学生51名 4 用方程解和用算术法解应用题的比较 用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别 它们之间的主要区别在于思 路不同 用方程解应用题 要设未知数 x 并且把未知数 x 与已知数放在一起 分析应 用题所叙述的数量关系 再根据数量关系和方程的意义 列出方程式 用算术法解应用题 要把已知数集中起来 加以分析 找出已知数与未知数之 间的联系 列出算式表示未知数 例如 小华身高160厘米 比小兰高15厘米 小兰的身高是多少厘米 用方程解 解 设小兰的身高 x 厘米 160 x 15 x 160 15 x 145 或 x 15 160 x 160 15 x 145 用算术法解 160 15 145 通过比较 同学们可以看出 这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列 式之中 列算术式 是根据题中的条件 由已知推出未知 用已知数之间的关 系来表示未知数 未知数是运算的结果 已知与未知数用等号隔开 列方程式 是根据题目叙述的顺序 未知数参加列式 未知数与已知数用运算符号相连接 从整体上反映数量关系的各个方面 所以 解题方式灵活多样 适用面广 用 来解答那些反叙的问题更显得方便 典型范例剖析 例1 甲乙两桶油 甲桶里有油45千克 乙桶里有油24千克 问从甲桶里倒多少 千克的油到乙桶里 才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1 5倍 分析 根据变动以后 甲桶里油的重量是乙桶的1 5倍 可以列出等量关系式 现在乙桶里油的重量 1 5 现在甲桶里油的重量 设从甲桶里倒 x 千克的油到乙桶里 那么 现在甲桶里的油是 45 x 千克 现 在乙桶里的油是 24 x 千克 解 设从甲桶里倒 x 千克油到乙桶里 24 x 1 5 45 x 36 1 5x 45 x 36 1 5x x 45 36 2 5x 45 x 45 36 2 5 x 3 6 答 从甲桶里倒3 6千克的油到乙桶里 才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍 例2 一位三位数 个位上的数字是5 如果把个位上的数字移到百位上 原百 位上的数字移到十位上 原十位上的数字移到个位上 那么所成的新数比原数 小108 原数是多少 分析 原三位数中只知道个位数字 百位和十位上的数字都不知道 如果设原 三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为 x 则原三位数可表示为 10 x 5 那么新数就可以表示为 5 100 x 解 设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为 x 可得方程 10 x 5 5 100 x 108 10 x x 500 108 5 9x 603 x 67 10 67 5 675 原三位数 答 原三位数是675 例3 某校附小举行了两次数学竞赛 第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4 人 第二次及格人数增加5人 正好是不及格人数的6倍 问参加竞赛的有多少 人 分析 本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数 而第二次的参赛人 数与第一次参赛人数有直接关系的条件 总人数又不变 所以我们设第一次参 赛的不及格人数为 x 人 那么第一次参赛及格的人数可以用 3x 4 人来表示 总数是 4x 4 人 第二次参赛及格的人数是 3x 4 5 人 不及格的人数是 x 5 人 根据 第二次及格人数是不及格人数的6倍 这一等量关系 可列方程 解 设第一次参赛不及格的人数为 x 依据题意可得方程 3x 4 5 x 5 6 3x 9 6x 30 3x 39 x 13 则 4x 4 13 4 4 56 参加竞赛的人数 答 参加竞赛的有56人 易错题解举例 例1 吉阳村有粮食作物84公顷 比经济作物的4倍多2公顷 经济作物有多少公 顷 错误 设经济作物有 x 公顷 x 84 2 4 x 82 4 x 20 5 答 经济作物有20 5公顷 分析 这题列出的式子是一个算术式 不是方程 错误在于没有弄清方程和算 术式的区别 算术式是由已知数和运算符号组成的 用来表示未知数 如本题 的 x 84 2 4 而在方程里 未知数则是参加运算的 本题中的 x 则没有参 加运算 改正 设经济作物有 x 公顷 4x 2 84 或4x 84 2 4x 82 x 20 5 答 经济作物有20 5公顷 例2 食堂运来一批煤 原计划每天烧210千克 可以烧24天 改进炉灶后这批 煤可烧28天 问 改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克 错误 设每天比原计划节约 x 千克 28x 210 24 x 180 210 180 30 千克 答 改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克 分析 题中所设未知数 x 与方程式中的 x 所表示的意义不同 题目中的方程式 的 x 所表示的是 改进炉灶后平均每天烧煤数 并不表示 节约 的数 本题可 以采用 间接设未知数法 或 直接设未知数法 改正 1 间接设未知数 解 设改进炉灶后每天烧煤 x 千克 则每天比原计划节约 210 x 千克 28x 210 24 28x 5040 x 180 210 x 210 180 30 2 直接设未知数 解 设改进炉灶后平均每天比原计划节约 x 千克 210 x 28 210 24 210 x 180 x 210 180 x 30 答 改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克 例3 王兰有64张画片 雷江又送给她12张 这时王兰和雷江的画片数相等 雷 江原有画片多少张 用方程解 错误 设雷江原有画片 x 张 x 12 64 x 76 分析 雷江送12张画片给王兰后 两人的画片数才相等 也就是说 雷江减少 12张 王兰增加12张之后 他们的画片数才同样多 此解法把等量关系弄错了 误认为雷江的画片减少12张后与王兰原有的画片数相等 改正 设雷江原有画片 x 张 x 12 64 12 x 76 12 x 88 答 雷江原有画片88张 解题技巧指点 1 列方程解应用题时 往往列出来的是一个算术式 误以为是方程 如 广水 市吉阳村有粮食作物84公顷 比经济作物的4倍多2公顷 经济作物有多少公顷 解 设经济作物有 x 公顷 x 84 2 4 x 82 4 x 20 5 答 经济作物有20 5公顷 本题中的 x 84 2 4 是一个算术式 出现上述错误 原因在于没有弄清方程式 和算术式的区别 算术式是由已知数和运算符号组成的 用来表示未知数 而 在方程里 未知数则是参加运算的 本题的方程应该列为 4x 2 84或4x 84 2或84 4x 2 2 按照题意 恰当地设未知数 如 第一教工食堂运来一批煤 原计划每天烧 煤210千克 可烧24天 改进炉灶后这批煤可烧28天 问 改进炉灶后平均每 天比原计划节约多少千克 设未知数时一般有两种方法 一种是直接设未知数为 x 题目中问什么 就设 什么为 x 另一种是间接设未知数为 x 再通过这个量与所求问题的关系 求出 应用题中要求的未知量 如果按直接设未知数为 x 的方法解答 那么本题中所列方程应该是 解 设每天比原计划节约 x 千克煤 210 x 28 210 24 210 x 180 x 210 180 x 30 如果采用间接设未知数 x 的方法 解 设改进炉灶后每天烧煤 x 千克 则每天比原计划节约 210 x 千克 28x 210 24 x 180 210 180 30 千克 答 每天比原计划节约30千克 解一元一次方程应用题的方法 一 一般在解决问题时第一步就是要设出未知数 未知数的设法主要