福建省晋江市永和中学高中数学 4.2直线、圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4 2 直线 圆的位置关系 主要内容 4 2 2圆与圆的位置关系 4 2 3直线与圆的方程的应用 4 2 1直线与圆的位置关系 4 2 1 直线与圆的位置关系 问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 这样 受台风影响的圆区域所对应的圆心为o的圆的方程为 轮船航线所在直线l的方程为 问题归结为圆心为o的圆与直线l有无公共点 o 想一想 平面几何中 直线与圆有哪几种位置关系 平面几何中 直线与圆有三种位置关系 分析 方法一代数法 判断直线l与圆的位置关系 就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解 方法二几何法 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系 判断直线与圆的位置关系 解法一 由直线l与圆的方程 得 例1如下图 已知直线l 和圆心为c的圆 判断直线l与圆的位置关系 如果相交 求它们交点的坐标 因为 1 0 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 解法二 圆可化为 其圆心c的坐标为 0 1 半径长为 点c 0 1 到直线l的距离 代入 消去y 得 由 解得 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 所以 直线l与圆有两个交点 它们的坐标分别是 把代入方程 得 把代入方程 得 a 2 0 b 1 3 判断直线与圆的位置关系常用几何法 方法二 但如果求交点坐标就最好用代数方法 方法一 了 练习1 已知直线 圆 试判断直线与圆 有无公共点 有几个公共点 所以直线l与圆 无公共点 解 圆 的圆心坐标是 半径长 圆心到直线y x 6的距离 解 方程经过配方 得 练习2 判断直线与圆的位置关系 因为d r 所以直线3x 4y 2 与圆相切 圆心坐标是 半径长r 1 圆心到直线 x y 的距离 练习3 直线与圆心在原点的圆c相切 求圆c的方程 由题意圆心到直线的距离 所以圆的半径长 解 设圆c的方程为 圆方程为 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 典型例题 练习4 直线l过点 2 2 且与圆x2 y2 2x 0相切 求直线l的方程 例2 过点p 1 1 的直线l与圆m x 3 2 y 4 2 4 1 当直线和圆相切时 求切线方程和切线长 2 若直线的斜率为2 求直线被圆截得的弦ab的长 3 若圆的方程加上条件x 3 直线与圆有且只有一个交点 求直线的斜率的取值范围 演示 培养学生用数形结合的思想优化解题程序 用运动变化的观点分析解决问题的能力 解 将圆的方程写成标准形式 得 如图 因为直线l被圆所截得的弦长是 所以弦心距为 例3已知过点的直线被圆所截得的弦长为 求直线的方程 即圆心到所求直线的距离为 因为直线l过点 所以可设所求直线l的方程为 即 根据点到直线的距离公式 得到圆心到直线l的距离 因此 即 两边平方 并整理得到 解得 所以 所求直线l有两条 它们的方程分别为 或 即 直线方程化为一般式 1 设点m x0 y0 为圆x2 y2 r2上一点 如何求过点m的圆的切线方程 x0 x y0y r2 思考题 2 设点m x0 y0 为圆x2 y2 r2外一点 如何求过点m的圆的切线方程 思考题 小结 1 直线和圆的位置关系的判断 2 会求弦长和圆的切线 代数法 几何法 圆心到直线的距离和半径的关系 解直线和圆方程联立的方程组 判断直线和圆的位置关系 几何方法 求圆心坐标及半径r 配方法 圆心到直线的距离d 点到直线距离公式 代数方法 消去y 或x 作业 p128练习 2 3 4 p132习题4 2a组 1 2 3 5 4 2 2 圆与圆的位置关系 思考 圆与圆的位置关系有哪几种 如何根据圆的方程 判断它们之间的位置关系 圆与圆的位置关系 外离 o1o2 r r o1o2 r r r r o1o2 r r o1o2 r r 0 o1o2 r r o1o2 0 外切 相交 内切 内含 同心圆 内含 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 几何方法 两圆心坐标及半径 配方法 圆心距d 两点间距离公式 比较d和r1 r2的大小 下结论 代数方法 消去y 或x 两个圆的方程联立解方程组 根据解的个数判定两圆的位置关系 例1已知圆c1 x2 y2 2x 8y 8 0 圆c2 x2 y2 4x 4y 2 0 判断圆c1与圆c2的位置关系 分析 方法一圆c1圆c2有几个公共点 由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定 方法二 可以依据连心线的长与两个半径长的和r1 r2或两半径长的差的绝对值 r1 r2 的大小关系 判断两圆的位置关系 思考 比较上述两种解法的优劣 如果例1中要求公共点的坐标 用哪求法比较合适 显然上述例子中只要判断两圆的位置关系 用几何方法比较简单 但如果要求公共点的坐标 必须用代数方法求解方程组 例2 求经过点m 3 1 且与圆切于点n 1 2 的圆的方程 y o c1 m n c x d 分析 求圆的方程主要找到圆心c a b 和半径r即可 r cm 显然 圆心c在已知圆圆心c1和切点n的连线上 同时圆心c又在mn的垂直平分线上 所以只要写出直线c1n方程和mn的垂直平分线方程即可联立求得圆心 例3已知一个圆的圆心为m 2 1 且与圆c x2 y2 3x 0相交于a b两点 若圆心m到直线ab的距离为 求圆m的方程 x2 y2 4x 2y 1 0 例4 求圆关于直线对称的圆的方程 c e d a b 解 设对称圆圆心为d a b 半径同圆c 满足 1 若两圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0和c2 x2 y2 d2x e2y f2 0相交 则其公共弦所在直线的方程是 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 那么过交点的圆系方程是什么 m x2 y2 d1x e1y f1 n x2 y2 d2x e2y f2 0 拓展 2 若两圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0和c2 x2 y2 d2x e2y f2 0相切 则方程 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0表示的直线是什么 若两圆相离呢 拓展 小结 1 圆和圆的位置关系的判断 2 会求相交圆的公共交点坐标 代数法 几何法 圆心到直线的距离和半径的关系 解直线和圆方程联立的方程组 作业 p132习题4 2a组 4 6 9 11 4 2 3 直线与圆的方程的应用 1 平面几何 立体几何和解析几何在研究问题时的本质区别是什么 2 坐标在几何学和代数学之间的联系起了什么作用 复习 在平面直角坐标系下 与坐标有关的问题 1 两点间距离公式 2 直线的方程点到直线的距离 平行直线间距离 3 圆的方程点 直线 圆和圆的位置关系 4 解决问题的出发点 2 几何方法 1 代数方法 譬如 用解方程组的方法判断直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 譬如 用平面几何相切的意义来判断直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 5 用建立坐标系的方法解决实际问题或平面几何中问题 例1 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图 这个圆的圆拱跨度ab 20m 拱高op 4m 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑 求支柱a2p2的高度 精确到0 01m 分析 如图所示 建立直角坐标系 求出圆弧所在的圆的方程 那么只要知道点p2的坐标 就可得出支柱a2p2的高度 化几何问题为代数问题 例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直 求证 圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 分析 许多平面几何问题常利用 坐标法 来解决 首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系 由于四边形的对角线互相垂直 以对角线为坐标轴较好 进而设定四个顶点坐标 随后用坐标法验证本题的结论 a o d c b 例3如图 在rt aob中 oa 4 ob 3 aob 90 点p是 aob内切圆上任意一点 求点p到顶点a o b的距离的平方和的最大值和最小值 分析 建立适当的坐标系 求出点p所在的圆的方程 再写出点p到顶点的距离的平方和 用代数方法求出最值 例4如图 圆o1和圆o2的半径都等于1 圆心距为4 过动点p分别作圆o1和圆o2的切线 切点为m n 且使得 pm pn 试求点p的运动轨迹是什么曲线 分析 建立适当的坐标系 求出点p的轨迹方程 在依据方程判断点p的运动轨迹 思想方法小结 用坐标法解决几何问题时 先用坐标和方程表示相应的几何元素 点 直线 圆 将几何问题转化为代数问题 然后通过代数运算解