均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧用均值不等式求最值的方法和技巧 一 几个重要的均值不等式一 几个重要的均值不等式 当且仅当a b时 号成立 2 2 22 22 Rba ba ababba 当且仅当a b时 号成立 2 2 2 Rba ba ababba 当且仅当a b c时 号成立 3 3 333 333 Rcba cba abcabccba 当且仅当a b c时 号成立 3 3 3 3 Rcba cba abcabccba 注 注 注意运用均值不等式求最值时的条件 一 正 二 定 三 等 熟悉一个重要的不等式链 ba 11 2 2 ab ab 2 22 ba 一 拼凑定和一 拼凑定和 通过因式分解 纳入根号内 升幂等手段 变为通过因式分解 纳入根号内 升幂等手段 变为 积积 的形式 然后以均值不等式的取等条件为出发的形式 然后以均值不等式的取等条件为出发 点 均分系数 拼凑定和 求积的最大值 点 均分系数 拼凑定和 求积的最大值 例 例 1 1 当时 求的最大值 82 yxx 2 2 已知 求函数的最大值 01x 32 1yxxx 解 解 2 22 111 111yxxxxxxx 3 11 1 1132 22 414 22327 xx x xx x 当且仅当 即时 上式取 故 1 1 2 x x 1 3 x max 32 27 y 评注 通过因式分解 将函数解析式由评注 通过因式分解 将函数解析式由 和和 的形式 变为的形式 变为 积积 的形式 然后利用隐含的的形式 然后利用隐含的 定和定和 关系 关系 求求 积积 的最大值 的最大值 例例 2 2 求函数的最大值 22 101yxxx 解解 22 422 141 22 xx yxxx 因 3 22 2 22 2 1 1 22 1 22327 xx x xx x 当且仅当 即时 上式取 故 2 2 1 2 x x 6 3 x max 2 3 9 y 评注 将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元 为评注 将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元 为 拼凑定和拼凑定和 创造条件创造条件 例 3已知 求函数的最大值 02x 2 64yxx 解 解 2 222222 36418 244yxxxxx 3 222 3 244 18 8 18 327 xxx 当且仅当 即时 上式取 22 24xx 2 3 3 x 故 又 max 3 2 18 8 27 y max 32 3 0 3 yy 二 二 拼凑定积拼凑定积 通过裂项 分子常数化 有理代换等手段 变为通过裂项 分子常数化 有理代换等手段 变为 和和 的形式 然后以均值不等式的取等条件为出发点 的形式 然后以均值不等式的取等条件为出发点 配项凑定积 创造运用均值不等式的条件配项凑定积 创造运用均值不等式的条件 例 4 1 已知 求函数的最大值 5 4 x 1 42 45 yx x 2 设 求函数的最小值 1x 52 1 xx y x 解 解 1411 44 152159 111 xx yxx xxx A 当且仅当时 上式取 故 1x min 9y 评注 有关分式的最值问题 若分子的次数高于分母的次数 则可考虑裂项 变为和的形式 然后评注 有关分式的最值问题 若分子的次数高于分母的次数 则可考虑裂项 变为和的形式 然后 拼凑拼凑 定积定积 往往是十分方便的 往往是十分方便的 例 5已知 求函数的最大值 1x 2 241 3 x y x 解 解 1 10 xx 2 2412424 3 4 2 24 1414 14 1 x y xx x x 当且仅当时 上式取 故 1x max 3y 评注 有关的最值问题 若分子的次数低于分母的次数 可考虑改变原式的结构 将分子化为常数 再设评注 有关的最值问题 若分子的次数低于分母的次数 可考虑改变原式的结构 将分子化为常数 再设 法将分母法将分母 拼凑定积拼凑定积 例 6已知 求函数的最小值 0 x 2cos sin x y x 解 解 因为 所以 令 则 0 x 0 22 x tan 2 x t 0t 所以 2 11 cos1131 3 23 sinsin22222 xttt yt xxttt A 当且仅当 即时 上式取 故 13 22 t t 3 33 tx min 3y 评注 通过有理代换 化无理为有理 化三角为代数 从而化繁为简 化难为易 创造出运用均值不等式评注 通过有理代换 化无理为有理 化三角为代数 从而化繁为简 化难为易 创造出运用均值不等式 的环境 的环境 三 利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题 三 利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题 例例 5 5 已知正数满足 试求 的范围xy 3xyxy xyxy 四 拼凑常数降幂四 拼凑常数降幂 例 7若 求证 33 2 aba bR 2ab 分析 基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能 它能在分析 基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能 它能在 等等 与与 不等不等 的互化中架设桥梁 的互化中架设桥梁 能为解题提供信息 开辟捷径 本题已知与要求证的条件是能为解题提供信息 开辟捷径 本题已知与要求证的条件是 为解题提供了信息 发现应拼 为解题提供了信息 发现应拼1ab 凑项 巧妙降次 迅速促成凑项 巧妙降次 迅速促成 等等 与与 不等不等 的辩证转化 的辩证转化 证明 证明 33333333333333 1131 13 1131 13aaa bbb A AA A 当且仅当时 上述各式取 33 463 2 ababab 1ab 故原不等式得证 评注 本题借助取等号的条件 创造性地使用基本不等式 简洁明了 评注 本题借助取等号的条件 创造性地使用基本不等式 简洁明了 例 8若 求的最大值 33 2 xyx yR 22 5xyxy 解 解 333333 3 11 3 11 3 11 xxxxyyyyxyxy 33333333 22 115 177 57 33 xxyyxyxy xyxy 当且仅当时 上述各式取 故的最大值为 7 1ab 22 5xyxy 例 9已知 求证 0 1a b cabc 333 abcabbcca 证明 证明 333333 13 1 13 1 13 1aba bbcb ccac a 又 333 323abcabbcca 3222 33abbccaa b c 333333 3223 abcabbccaabcabbcca 当且仅当时 上述各式取 故原不等式得证 1abc 五 拼凑常数升幂五 拼凑常数升幂 例 10若 且 求证 a b cR 1abc 5554 3abc 分析 已知与要求证的不等式都是关于分析 已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式 容易发现等号成立的条件是的轮换对称式 容易发现等号成立的条件是 a b c 故应拼凑 故应拼凑 巧妙升次 迅速促成 巧妙升次 迅速促成 等等 与与 不等不等 的辩证转化 的辩证转化 1 3 abc 16 3 证明 证明 161616161616 255 255 255 333333 aabbcc AAAAAA 16 25553132 5554 3 3 abcabcabc A 当且仅当时 上述各式取 故原不等式得证 1 3 abc 例 11若 求证 2 aba bR 33 2ab 证明 证明 333333 3 1 111 3 1 111 aabb AA 33 34abab 又 当且仅当时 上述各式取 故原不等式得证 33 2 2abab 1ab 六 约分配凑六 约分配凑 通过通过 1 1 变换或添项进行拼凑 使分母能约去或分子能降次 变换或添项进行拼凑 使分母能约去或分子能降次 例 12已知 求的最小值 28 0 1x y xy xy 解 解 2 2 28464464 13223264 yxyx xyxyxy xyxyxy AAA 当且仅当时 即 上式取 故 281 2xy 4 16xy min64xy 例 13已知 求函数的最小值 01x 41 1 y xx 解 解 因为 所以 01x 10 x 所以 4 14141 159 111 xx yxx xxxxxx 当且仅当时 即 上式取 故 4 1 1 xx xx 2 3 x min 9y 例 14若 求证 a b cR 222 1 2 abc abc bccaab 分析 注意结构特征 要求证的不等式是关于分析 注意结构特征 要求证的不等式是关于的轮换对称式 当的轮换对称式 当时 等式成立 时 等式成立 a b cabc 此时此时 2 2 aa bc 设设 解得 解得 所以 所以应拼凑辅助式应拼凑辅助式为拼凑的需要而添 解题可见眉目 为拼凑的需要而添 解题可见眉目 2 a m bc 1 4 m 2 a bc 4 bc 证明 证明 222222 2 2 2 444444 abcabcbcabcacabcab abc bcbccacaabab AAA 当且仅当时 上述各式取 故原不等式得证 222 1 2 abc abc bccaab abc 七 引入参数拼凑七 引入参数拼凑 某些复杂的问题难以观察出匹配的系数 但利用某些复杂的问题难以观察出匹配的系数 但利用 等等 与与 定定 的条件 建立方程组 解地待定的条件 建立方程组 解地待定 系数 可开辟解题捷径 系数 可开辟解题捷径 例 15已知 且 求的最小值 x y zR 1xyz 149 xyz 解 解 设 故有 0 10 xyz 149149149 1xyzxxx xyzxyzxyz 当且仅当同时成立时上述不等24612 149 xyz xyz 式取 即 代入 解得 此时 故 123 xyz 1xyz 36 1236 的最小值为 36 149 xyz 八 八 引入对偶式拼凑引入对偶式拼凑 根据已知不等式的结构 给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子 然后一起参与运算 创造运根据已知不等式的结构 给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子 然后一起参与运算 创造运 用均值不等式的条件 用均值不等式的条件 例 16设为互不相等的正整数 求证 12 n a aa 312 2222 1111 123123 n aaaa nn 证明 证明 记 构造对偶式 312 2222 123 n n aaaa b n 123 1111 n n d aaaa 则 312 2222 123 11111111 2 123123 n nn n aaaa bd aaanan 当且仅当时 等号成立 又因为为互不相等的正整数 i ai iNin 12 n a aa 所以 因此 1111 123 n d n 1111 123 n b n 评注 本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式 评注 本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式 九 确立主元拼凑九 确立主元拼凑 在解答多元问题时 如果不分主次来研究 问题很难解决 如果根据具体条件和解题需要 确立主元 在解答多元问题时 如果不分主次来研究 问题很难解决 如果根据具体条件和解题需要 确立主元 减少变元个数 恰当拼凑 可创造性地使用均值不等式 减少变元个数 恰当拼凑 可创造性地使用均值不等式 例 17在中 证明 ABC 1 coscoscos 8 ABC 分析 分析 为轮换对称式 即为轮换对称式 即的地位相同 因此可选一个变元为主元 将其它变元看的地位相同 因此可选一个变元为主元 将其它变元看coscoscosABC A B C 作常量 固定 作常量 固定 减少变元个数 化陌生为熟悉 减少变元个数 化陌生为熟悉 证明 证明 当时 原不等式显然成立 cos0A 当时 cos0A 1 coscoscoscoscoscos 2 ABCABCBC 1 coscoscos 2 ABCA 2 cos1 cos111 c