三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 椭圆课件.ppt

8 4椭圆 1 椭圆的定义把平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 符号表示 pf1 pf2 2a 注意 1 当2a f1f2 时 轨迹是线段 f1f2 2 当2a f1f2 时 轨迹不存在 2a f1f2 2 椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 1 a b 0 焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 1 a b 0 给定椭圆 1 m 0 n 0 且m n 根据m n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上 当m n时 焦点在x轴上 当n m时 焦点在y轴上 2 若焦点的位置不确定 则可设椭圆方程为ax2 by2 1 a 0 b 0且a b 3 椭圆的几何性质 2a 2b 0 1 a2 b2 4 点p x0 y0 和椭圆 1 a b 0 的关系 1 点p x0 y0 在椭圆内 1 5 焦半径 椭圆上的点p x0 y0 与左 下 焦点f1或右 上 焦点f2之间的线段长度称作焦半径 分别记作r1 pf1 r2 pf2 1 1 a b 0 r1 a ex0 r2 a ex0 2 1 a b 0 r1 a ey0 r2 a ey0 6 焦点三角形 椭圆上的点p x0 y0 与两焦点构成的 pf1f2称作焦点三角形 如图 设 f1pf2 pf1 r1 pf2 r2 1 cos 1 2 r1r2sin b2 b2 tan c y0 当 y0 b 即p为短轴端点时 最大 且最大值为bc 7 ab为椭圆 1 a b 0 的弦 设直线ab的斜率存在且为k k 0 且a x1 y1 b x2 y2 弦中点m x0 y0 1 弦长l x1 x2 y1 y2 k 0 2 k 3 直线ab的方程 y y0 x x0 4 线段ab的垂直平分线方程 y y0 x x0 c c 1 已知椭圆的方程为2x2 3y2 m m 0 则此椭圆的离心率为 a b c d 答案b2x2 3y2 m m 0 1 c2 e2 e 故选b c 2 2015广东惠州一中模拟 已知椭圆g的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 且椭圆g上一点到其两个焦点的距离之和为12 则椭圆g的方程为 a 1b 1c 1d 1答案c由已知得2a 12 a 6 e c 3 b2 a2 c2 9 又 椭圆的长轴在x轴上 椭圆g的方程为 1 c 3 已知椭圆 1的两个焦点为f1 f2 若椭圆上存在一点p 使得pf1 pf2 则椭圆离心率的取值范围为 a b c d 答案b设p x y 所以 1 又因为pf1 pf2 0 x2 y2 c2 联立 解得又因为y2 b2 即 b2 b c a c e 所以 e 1 c 4 已知f1 f2为椭圆 1的两焦点 a b为过f1的直线与椭圆的两个交点 则 af1f2的周长为 abf2的周长为 答案18 20解析由 1得a 5 b 3 则c 4 af1f2的周长为 af1 af2 f1f2 2a 2c 18 abf2的周长为4a 20 c 5 已知p是椭圆 y2 1上的一点 f1 f2是椭圆的两个焦点 且 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是 答案解析设 pf1 r1 pf2 r2 则r1 r2 4 又 2r1r2cos60 f1f2 2 即 r1 r2 2 3r1r2 12 r1r2 r1r2sin60 c 6 已知动点p在椭圆 1上 若点a的坐标为 1 0 1 且 0 则 的最小值为 答案解析设p x y 则 pm 2 pa 2 1 x 1 2 y2 1 x2 2x 16 x2 x2 2x 16 因为 5 x 5 所以 pm 2的最小值为 则 的最小值为 c 椭圆的定义与标准方程典例1 2015重庆 21 12分 如图 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 过f2的直线交椭圆于p q两点 且pq pf1 1 若 pf1 2 pf2 2 求椭圆的标准方程 2 若 pf1 pq 求椭圆的离心率e 解析 1 由椭圆的定义 有2a pf1 pf2 2 2 4 故a 2 设椭圆的半焦距为c 由已知pf1 pf2 得2c f1f2 2 即c 从而b 1 故所求椭圆的标准方程为 y2 1 2 解法一 连结f1q 如图 设点p x0 y0 在椭圆上 且pf1 pf2 则 1 c2 求得x0 y0 由 pf1 pq pf2 得x0 0 从而 pf1 2 2 a2 b2 2a a 2 由椭圆的定义 有 pf1 pf2 2a qf1 qf2 2a 从而由 pf1 pq pf2 qf2 有 qf1 4a 2 pf1 又由pf1 pf2 pf1 pq 知 qf1 pf1 因此 2 pf1 4a 即 2 a 4a 于是 2 1 4 解得e 解法二 连结f1q 由椭圆的定义 有 pf1 pf2 2a qf1 qf2 2a 从而由 pf1 pq pf2 qf2 有 qf1 4a 2 pf1 又由pf1 pq pf1 pq 知 qf1 pf1 因此 4a 2 pf1 pf1 得 pf1 2 2 a 从而 pf2 2a pf1 2a 2 2 a 2 1 a 由pf1 pf2 知 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 2c 2 因此e 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 先定性 后定位 再定参 即首先确定焦点所在位置 然后根据条件建立关于a b的方程组 若焦点位置不确定 则要考虑是否有两解 为方便解题 可设椭圆方程为 1 m 0 n 0 或mx2 ny2 1 m 0 n 0 1 1 2014大纲全国 6 5分 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点为f1 f2 离心率为 过f2的直线l交c于a b两点 若 af1b的周长为4 则c的方程为 a 1b y2 1c 1d 1答案a解析由题意及椭圆的定义知4a 4 则a 又 c 1 b2 2 c的方程为 1 选a c111111 1 2 2014辽宁 15 5分 已知椭圆c 1 点m与c的焦点不重合 若m关于c的焦点的对称点分别为a b 线段mn的中点在c上 则 an bn 答案12解析根据已知条件画出图形 如图 设mn的中点为p f1 f2为椭圆c的焦点 连结pf1 pf2 显然pf1是 man的中位线 pf2是 mbn的中位线 an bn 2 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 6 12 c 椭圆的几何性质典例2 1 2015浙江杭州学军中学第五次月考 5 设斜率为的直线l与椭圆 1 a b 0 交于不同的两点 且这两个交点在x轴上的投影恰好是椭圆的两个焦点 则该椭圆的离心率为 a b c d 2 2015杭州一模 7 5分 设f1 f2为椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 直线l过焦点f2且与椭圆交于a b两点 若 abf1构成以a为直角顶点的等腰直角三角形 设椭圆的离心率为e 则e2 a 2 b 3 c 11 6d 9 6 答案 1 d 2 d解析 1 由直线l与椭圆的两个交点在x轴上的投影恰好是椭圆的两个焦点 可知直线l是过原点的直线 则l y x 设其中一个交点为 代入椭圆方程 得 1 又b2 a2 c2 所以 1 得e2 1 解得e 2 设 af1 ab m 则 bf1 m af2 2a m bf2 2a m 因为 ab af2 bf2 m 2a m 2a m 所以4a 2 m 即m 2 2 a 故 af2 2a 2 2 a 2 1 a 又 af1f2为直角三角形 f1f2 2 af1 2 af2 2 即4c2 2 2 a 2 2 1 a 2 整理得c2 9 6 a2 故e2 9 6 故选d 1 求椭圆离心率或其范围的方法求a b c的值 由e2 1 直接求 2 椭圆几何性质的应用技巧 1 与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析 即使画不出图形 思考时也要联想到一个图形 2 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式 例如 a x a b y b 0 e 1 在求椭圆相关量的范围时 要注意应用这些不等关系 2 1设p q分别是圆 x 1 2 y2 和椭圆 y2 1上的动点 则p q两点间的最小距离是 答案 解析设圆心为c 1 0 半径为r 设q x y 2 x 2 则 cq 所以p q两点间的最小距离为 cq min r 2 2 2015浙江六校联考 6 设a1 a2分别为椭圆 1 a b 0 的 c 左 右顶点 若在椭圆上存在点p 使得 则该椭圆的离心率的取值范围是 a b c d 答案c解析设p xp yp a 1 e c 直线与椭圆的位置关系典例3 2015浙江 19 15分 已知椭圆 y2 1上两个不同的点a b关于直线y mx 对称 1 求实数m的取值范围 2 求 aob面积的最大值 o为坐标原点 解析 1 由题意知m 0 可设直线ab的方程为y x b 由消去y 得x2 x b2 1 0 因为直线y x b与椭圆 y2 1有两个不同的交点 所以 2b2 2 0 将ab中点m代入直线方程y mx 解得b 由 得m 2 令t 则t 则 ab 且o到直线ab的距离为d 设 aob的面积为s t 所以s t ab d 当且仅当t2 时 等号成立 故 aob面积的最大值为 1 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立构成方程组 通过讨论此方程组的实数解的组数来确定 即用消元后的关于x 或y 的一元二次方程的判别式 的符号来确定 当 0时 直线和椭圆相交 当 0时 直线和椭圆相切 当 0时 直线和椭圆相离 2 直线和椭圆相交时的弦长公式 ab 或 ab k 0 3 直线与椭圆相交有关问题的处理方法当直线与椭圆相交时 涉及弦长问题 常用 根与系数的关系 设而不求的思想计算弦长 涉及求平行弦中点的轨迹 求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题 常用 点差法 设而不求 将动点的坐标 弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 3 1 2015浙江名校新高考研究联盟二联 18 15分 已知椭圆c 1 a b 0 的焦距为2 长轴的左 右端点分别为a b p是c上任意一点 不与a b重合 直线pa pb的斜率之积为 1 求椭圆c的方程 2 如图 过c的左焦点f作直线l交c于m n两点 设直线am bn的斜率分别为k1 k2 求证 k1 3k2 解析 1 焦距为2 c 1 由题意得a a 0 b a