三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.3 简单的线性规划课件.ppt

6 3简单的线性规划 1 二元一次不等式表示的平面区域一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 我们把直线画成 以表示区域不包括边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示 虚线 的平面区域时 此区域应包括边界直线 则把边界直线画成 对在直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 把坐标 x y 代入ax by c 所得到实数的符号都 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 由ax0 by0 c的正负即可判断ax by c 0表示直线哪一侧的平面区域 通常采用下面的办法快速作出判断 1 特殊点法 i 当c 0时 取原点 0 0 ax by c 0成立时 就是含原点的区域 不成立时 就是不含原点的区域 ii 当c 0时 取 0 1 或 1 0 不等式成立时 就是含取点的一侧 不成立时 是另一侧 实线 相同 2 快速判断法 2 线性规划的有关概念 3 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 1 作出可行域 将约束条件中的每一个不等式当作等式 作出相应的直线 并确定原不等式表示的半平面 然后求出所有半平面的交集 2 作出目标函数的等值线 3 求出最终结果 在可行域内平行移动目标函数等值线 从图中能判定问题有唯一最优解 或者是无穷最优解 或者是无最优解 1 不等式 x 2y 1 x y 3 0在坐标平面内表示的区域 用阴影部分表示 应是 答案c x 2y 1 x y 3 0 或结合选项可知选c c 2 下列二元一次不等式组可表示成如图所示的阴影部分区域的是 a b c d 答案a两条直线方程为x y 1 0 x 2y 2 0 将点 1 1 代入x y 1得1 0 代入x 2y 2得1 0 即点 1 1 在x 2y 2 0的内部 在x y 1 0的内部 故所 求二元一次不等式组为 c 3 已知直线l m 2 x m 1 y 1 0上存在点 x y 满足 则m的取值范围为 a b c d 答案b直线l m 2 x m 1 y 1 0过定点 1 1 由题意得点 1 2 1 1 在l的两侧或其中一点在l上 m 2 1 m 1 2 1 m 2 1 m 1 1 1 0 解得m c 4 设变量x y满足约束条件则目标函数z 3x y的最大值为 a 7b 8c 9d 14答案c由x y的约束条件画出可行域 如图 其中a 2 3 b 2 1 当直线3x y z 0经过点a 2 3 时 z取最大值9 故选c c 5 若x y满足约束条件目标函数z ax 2y仅在点 1 0 处取得最小值 则a的取值范围是 a 1 2 b 4 2 c 4 0 d 2 4 答案b可行域如图所示 当a 0时 显然成立 当a 0时 直线ax 2y z 0的斜率k kac 1 得a 2 0 a 2 当a 4 4 a 0 综上得 4 a 2 故选b c 6 已知f x 4a 3 x b 2a x 0 1 若f x 2恒成立 则t a b的最大值为 答案解析由已知得即由线性规划知识知 当a b 时 t a b达到最大值 c 二元一次不等式 组 表示的平面区域典例1 2015重庆 10 5分 若不等式组表示的平面区域为三角形 且其面积等于 则m的值为 a 3b 1c d 3答案b解析如图 要使不等式组表示的平面区域为三角形 则 2m 1 所围成的区域为 abc s abc s adc s bdc c 点a的纵坐标为1 m 点b的纵坐标为 1 m c d两点的横坐标分别为2 2m 所以s abc 2 2m 1 m 2 2m 1 m 1 m 2 解得m 3 舍去 或m 1 故选b 1 直线定界 特殊点定域注意不等式中不等号有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 若直线不过原点 则特殊点常选取原点 若直线过原点 则特殊点常选取 1 0 或 0 1 2 同号上 异号下当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的上方 当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的下方 二元一次不等式 组 表示平面区域的判断方法 1 1 2015学军中学仿真考 5 5分 已知点p 3 3 q 3 3 o为坐标原点 动点m x y 满足则点m所构成的平面区域的面积是 a 12b 16c 32d 64答案c解析由条件知x y满足即点m所构成的平面区域是边长为4的正方形 其面积为32 1 2 2015稽阳联考 12 6分 设区域 内的点 x y 满足则区域 的面积是 若x y z 则2x y的最 c 大值是 答案8 2解析表示的区域是如图所示的阴影部分 所以面积为8 设z 2x y 在区域中 能使直线y 2x z在y上的截距最大的整点是 1 0 所以2x y的最大值为 2 求目标函数的最值或范围典例2 2015安徽文 5改编 已知实数x y满足约束条件 1 求 2x y的取值范围 2 求 2x y 的取值范围 3 求 x 2 2 y2的取值范围 4 求的取值范围 5 求xy的取值范围 解析根据题意作出约束条件确定的可行域 如下图 记l1 x y 0 l2 y 1 0 l3 x y 4 0 l1与l2的交点为a 1 1 l2与l3的交点为b 3 1 l1与l3的交点为c 2 2 c 1 令z 2x y 则y 2x z 平移直线y 2x z可知 当直线过点a时 z取到最大值 1 当直线过点b时 z取到最小值 5 2 解法一 由 1 可知 5 2x y 1 所以1 2x y 5 解法二 表示区域内的点到直线l 2x y 0的距离 结合图形可知 区域内点a到直线的距离最小 为 区域内点b到直线的距离最大 为 所以1 2x y 5 3 x 2 2 y2表示区域内点到定点 2 0 的距离的平方 令 x 2 2 y2 r2 r 0 结合图形可知 当动圆 x 2 2 y2 r2与直线l2 y 1 0相切时 r的最小值为1 当动圆 x 2 2 y2 r2过点c 2 2 时 r的最大值为2 所以1 x 2 2 y2 4 4 表示区域内动点与定点 0 1 连线的斜率 结合图形可知 区域内的点位于a时 斜率最大 最大值为2 区域内的点位于b时 斜率最小 最小值为 所以 2 5 令xy t 则y 为反比例函数 对应的图形为双曲线 结合图形可知 当双曲线过点a时 t取最小值 最小值为1 当双曲线与直线l3相切时 t取最大值 最大值为4 此时切点为c 2 2 所以1 xy 4 1 利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求 其关键是准确作出可行域 理解目标函数的意义 2 常见的目标函数有 1 截距型 如z 2x y z z 其中m x y 为区域内动点 p 2 1 等等 2 距离型 如z x 2 2 y2 z 2x y 等等 3 斜率型 如z z z z 等等 4 二次曲线型 如z xy z z y2 等等 3 解题时要注意可行解是区域内的所有点还是区域内的整点 2 1 2015浙江宁波模拟 8 5分 已知点 x y 的坐标满足且x y均为正整数 若4x y取到最大值8 则整数a的最大值为 a 4b 5c 6d 7答案b解析作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示 作出直线4x y 8 0 下图实线部分 可知要使得z 4x y取得最大值8 则最大值的最优解为a 4 8 不可能为b 3 4 因为若直线3x y a 0再向下平移一点 最大值的最优解则变为 5 7 最大值也变为13 不合题意 故只需b 3 c 4 不在平面区域内即可 即3 3 4 a 0 解得a 5 故整数a的最大值为5 故选b 2 2 2014浙江 13 4分 当实数x y满足时 1 ax y 4恒成立 则实数a的取值范围是 答案解析不等式组构成以a 1 0 b c 2 1 为顶点的三角形区域 包含边界 又1 x 2 所以1 ax y 4转化为 a 恒成立 而k1 表示可行域内点p x y 与定点 0 4 连线的斜率 其最大值为 同理 k2 表示可行域内点p x y 与定点 0 1 连线的斜率 其最小值为 1 故有 a 1 即1 a 值是 答案3解析 x2 y2 1 6 x 3y 0 令t 2x y 2 6 x 3y 当2x y 2 0时 t x 2y 4 点 x y 可取区域 内的点 含边界 通过作图可知 当直线t x 2y 4过点a时 t取最小值 tmin 4 3 2 3 2015浙江 14 4分 若实数x y满足x2 y2 1 则 2x y 2 6 x 3y 的最小 c 当2x y 28 3 4 3 综上 tmin 3 即 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 线性规划的综合应用典例3 2015湖州一模 18 15分 已知二次函数f x x2 bx c b c r 1 若f 1 f 2 且不等式x f x 2 x 1 1对x 0 2 恒成立 求函数f x 的解析式 2 若c 0 且函数f x 在 1 1 上有两个零点 求2b c的取值范围 解析 1 因为f 1 f 2 所以b 1 因为当x 0 2 时总有x f x 2 x 1 1 所以有f 1 1 即c 1 所以f x x2 x 1 2 因为f x 在 1 1 上有两个零点 且c 0 所以有 c 通过线性规划可得 2 2b c 2 3 1 2015浙江宁波效实中学模拟 已知函数f x 若实数x y满足f x y x 2 则2x y的取值范围为 a b c d 答案a解析据已知可得与原不等式等价的不等式组为或或据此作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 其中第2个不等式组对应的点不存在 如图易知点a为目标函数取得最小值的最优解 直线y x 2和抛物线y x2 1的交点b为目 标函数取得最大值的最优解 代入可得所求取值范围是 故选a 3 2 2014陕西 18 12分 在直角坐标系xoy中 已知点a 1 1 b 2 3 c 3 2 点p x y 在 abc三边围成的