上海市宝山区2015-2016学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

宝山区2015学年度第一学期期末高二年级数学学科教学质量监测试卷一填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1._.【答案】4【解析】【分析】先化简，再根据特殊数列极限求解.【详解】故答案为：4【点睛】本题考查数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题.2.若直线的一个方向向量为(1，1)，则的倾斜角为_.【答案】【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线的一个方向向量为(1，1)，所以直线斜率为，因此倾斜角为故答案为：【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率与倾斜角，考查基本分析求解能力，属基础题.3.等差数列-1，4，的前10项之和为_.【答案】215【解析】【分析】根据等差数列求和公式直接求解.【详解】等差数列-1，4，的首项为-1，公差为5，所以前10项之和为故答案为：215【点睛】本题考查等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4.设向量与，则与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角坐标公式直接求解.【详解】与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若直线与直线垂直，则实数_【答案】【解析】【分析】若,则,求解即可【详解】由题,可得,即,解得故答案为【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系,若,当,则需满足6.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则_.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以 故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.7.过圆上一点作圆的切线，则切线方程为_【答案】【解析】因为 ,所以切线斜率为 方程为 ,即8.已知为等差数列，则_【答案】1【解析】设的公差为d，首项为，根据题意得故答案为19.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是_.【答案】7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值z最小值=F(2,1)=7【此处有视频，请去附件查看】10.设和是两个不平行的向量，且，若三点共线，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据三点共线得向量共线，再根据向量共线列方程解得结果.【详解】因为三点共线，所以，而,因为和是两个不平行向量，所以故答案为：【点睛】本题考查根据三点共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列式的值为_【答案】19【解析】【分析】依题知，是方程的解，代入即可求得和的值代入行列式，按第一列展开，即可求得行列式的值【详解】由题意可知，是方程的解，解得，所以,故答案为：19【点睛】本题主要考查增广矩阵的求解以及三阶行列式的展开式，意在考查学生的计算能力，属于基础题12.已知为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先根据极化恒等式化简向量数量积，再根据椭圆上点到T点距离的范围求结果.【详解】设，则因为，所以故答案为：【点睛】本题考查向量数量积以及椭圆上点到定点取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.13.将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列，如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”.已知，设区间内的三个正整数，满足:数列，为“弱等比数列”，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】根据新定义列等量关系，再分解变形，根据正整数分解性质求最小值.【详解】因为，所以，依次成等比数列，即，因为，为区间内的三个正整数，所以设，且因为当时，最大，所以故答案为：2【点睛】本题考查等比数列、数列新定义以及正整数分解，考查综合分析求解能力，属难题.二选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.14.证明：，当时，中间式子等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：时中间式子的最后一项为，中间式子为考点：数学归纳法15.“点在曲线上”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】先将P点坐标代入曲线方程得取值范围，再比较两个范围包含关系得选项.【详解】因为点在曲线上，所以因此“点在曲线上”是“”的必要非充分条件，故选：B【点睛】本题考查充要关系的判断，考查基本分析判断能力，属基础题.16.给出以下命题:(1)若数列存极限，则该极限唯一;(2)若直线的倾斜角为，则的斜率存在且为;(3)设向量与的夹角为，若，则为锐角;(4)到轴轴距离相等的点的轨迹方程为.其中所有正确命题的序号为( )A. (1)(2)B. (2)(3)C. (1)(4)D. (2)(4)【答案】C【解析】【分析】(1)根据数列极限定义可判断正确;(2)根据倾斜角与斜率关系可判断错误;(3)根据向量夹角范围可判断错误;(4)根据直接法求轨迹方程可判断正确.【详解】(1)根据数列极限定义得数列极限是唯一确定的值，所以正确;(2) 当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以错误;(3) 时向量与的夹角，不一定为锐角，所以错误;(4) 到轴轴距离相等的点满足，所以正确.故选：C【点睛】本题考查数列极限、直线倾斜角与斜率关系、向量数量积与夹角以及直接法求轨迹方程，考查综合分析求解判断能力，属中档题.17.记，.设关于实数的函数满足:，则可取的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】逐个验证以下情况：符号变化规律，何时单调递减，何时小于1，再借助计算器（上海可以使用计算器）计算对应区间函数值，即可判断选择.【详解】当时， ，；当时， ，；（借助计算器）当时，；（借助计算器）当时， ，；（借助计算器）；故选：D【点睛】本题考查根据递推关系研究数列相关性质以及借助计算器计算器进行估算，考查综合分析求解能力，属较难题.三解答题(本大题共5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.18.设直线过点，且与平行，若点（）到直线的距离为，求的值【答案】【解析】【分析】根据平行系，可设直线：，再根据直线过点，求出并得到直线的方程，然后根据点到直线的距离公式列式，即可求解【详解】设： 直线过点 ：且 【点睛】本题主要考查直线方程求法，点到直线的距离公式的应用，意在考查学生的运算能力，属于基础题19.已知向量、满足：，且（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式，即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值【详解】（1） （2），即【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题20.设是首项为，公比为等比数列，且是与的等差中项，数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) 【解析】【分析】(1)根据等差中项概念列方程解得公比，代入等比数列通项公式得结果;(2)先根据和项与通项关系求数列的通项公式，化简不等式并参变分离，再根据基本不等式求最值即得结果.【详解】(1)由题意得，则，解得或.因为，则.又，则，即数列的通项公式为.(2)当时，;当时，当时也符合，故.不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，亦即对一切恒成立.注意到，当且仅当，即时等号成立，从而，即实数的取值范围是.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项公式、根据和项求通项以及数列不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.21.设点，动点满足，的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过定点作直线交曲线于两点.设为坐标原点，若直线与轴垂直，求面积的最大值;(3)设，在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数?若存在，求出点的坐标和这个常数;若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)1;(3)存在，存在点，常数为【解析】【分析】(1)根据椭圆定义判断并根据对应量的含义求标准方程;(2)设直线方程，与椭圆方程联立解得交点坐标，表示出三角形面积，最后根据基本不等式求最值；(3)先用坐标化简直线和的斜率的乘积，再设直线方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理化简两斜率的乘积式，最后根据恒成立解得点的坐标和斜率的乘积常数值.【详解】(1)依题意可得:曲线为椭圆，其中心在原点，长轴的长，半焦距，故，因此，曲线的方程为.(2)不妨设直线与椭圆的交点为，由得则，当且仅当即，亦即时取等号，综上可得，面积的最大值为1.(3)设直线与椭圆的交点为.依题意，可设直线，由消去并整理得，则，()且，又，若存在定点符合题意，且(为非零常数)，则，把式代入此式并整理得:(这里为常数，且为非零常数).要使得上式对变量恒成立，只须(注意到)，解得或.即当定点是椭圆的右顶点时，非零常数;当定点是椭圆左顶点时，非零常数.综上，在轴上，存在点，使直线和的斜率的乘积为非零常数，或存在点，使直线和的斜率的乘积为非零常数.【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆方程、椭圆中三角形面积以及椭圆中定点定值问题，考查综合分析求解能力，属较难题.22.对于无穷数列，若正整数，使得当时，有，则称为“不减数列”.(1)设，均为正整数，且，甲:为“不减数列”，乙:为“不减数列”.试判断命题:“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由;(2)已知函数与函数的图象关于直线对称，数列满足，如果为“不减数列”，试求的最小值;(3)对于（2）中的，设，且.是否存在实数使得为“不减数列”?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.【答案】(1)假，理由见解析;(2)2;(3)【解析】【分析】(1)根据“不减数列”定义直接判断充要关系，即得结果;(2)先求，再探求的最小值，最后利用作差法证明；(3)先结合（2）化简，再根据新定义得不等式，并参变分离，根据奇偶性分类讨论，结合数列单调性求最值，即得结果.【详解】(1)对于甲:为“不减数列”，对于乙:为“不减数列”，设，均为正整数，且，乙甲，显然甲乙，因此，甲是乙的必要条件，从而“甲是乙的充分条件”是假命题.(2)函数与函数的图象关于直线对称，函数为函数的反函数，