天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

20172018学年度第一学期期中联考高二数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上.2.选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂.其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上.一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线与圆C：的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】A【解析】【详解】试题分析：由直线，得，因此直线恒过点，又点是圆的圆心，所以直线与圆的位置关系是相交.故正确答案为A.考点：直线与圆2.在梯形中，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【此处有视频，请去附件查看】3.已知平面，直线，且有，则下列四个命题正确的个数为（ ）若，则； 若，则； 若，则； 若，则；A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐项判断后可得正确选项.【详解】若，则；因为,所以；对，若，则或，若，则与平行、异面或相交，若，则与相交、平行或在内，故选：A.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，注意动态考虑位置关系，本题为基础题.4.已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆和圆的公共弦方程为 选D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x轴平行或重合的线段与x轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意故应选A考点：斜二测画法点评：注意斜二测画法中线段长度变化6.如图，直三棱柱，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式直接求解即可.【详解】以所在直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.设，所以有，设直线与直线所成角为，.故选：A【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.7.设点是函数的图象上的任意一点，点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数的图象为半圆 在直线 上,所以的最大值为圆心到直线距离加半径,即 ,选B点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题8.已知圆上的两点，关于直线对称，且（为坐标原点），则直线的方程为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】由题意得直线过圆心 ,所以 所以设 因为,所以 代入得 所以 ,选D点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算第卷二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡上）9.如图，直三棱柱的所有棱长都是，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是_【答案】【解析】 ,即顶点的坐标是10.经过点、的直线的斜率等于，则的值为_【答案】1【解析】 11.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为 【答案】【解析】【分析】如图，过作交于，连接，求出后利用公式可求体积.【详解】如图，过作交于，连接，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，由于，故.而，所以，故，因为，底面，又，故.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，求出点到面的距离是关键，本题属于基础题.12.一只虫子从点出发，先爬行到直线上的点，再从点出发爬行到点，则虫子爬行的最短路程是_【答案】2【解析】点关于直线对称点为 ,所以虫子爬行的最短路程是AB=213.一个几何体三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_.【答案】；【解析】【分析】根据几何的三视图还原成空间几何体，利用体积公式直接求解即可.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是四棱柱上面有个圆锥，所以该几何体的体积为：.故答案为：【点睛】本题考查通过几何的三视图求几何体的体积，考查了圆锥和棱柱的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.14.若圆与圆恰有三条公切线，则的最大值为_【答案】6【解析】由题意得两圆相外切,即 , 点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系(2)切线法：根据公切线条数确定（3）数形结合法：直接根据图形确定三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知圆和直线（）求圆的圆心坐标及半径（）求圆上的点到直线距离的最大值【答案】（1）圆心坐标为，半径；（2）5【解析】试题分析:（1）先配方将圆方程化为标准式，即得圆的圆心坐标及半径（2）圆上的点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离加上半径，再根据点到直线距离公式计算可得结论试题解析：（）圆，转化为：，则：圆心坐标为，半径（）利用（）的结论，圆心到直线的距离，最大距离为：16.如图，四棱锥的底面是菱形，平面，是的中点，是的中点（）求证：平面平面（）求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析:（1）根据平几知识计算得，再根据条件由线面垂直得，最后根据线面垂直判定定理得平面，由面面垂直判定定理得结论（2）取的中点，由平几知识得，再根据线面平行判定定理得结论试题解析：（）底面是菱形，为正三角形，是的中点，平面，平面，平面，平面，平面平面（）取的中点，连结，是中点，且，与平行且相等，平面，平面，平面17.已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【答案】（1）x2或3x4y100； （2） 【解析】试题分析：第一步首先考虑直线的斜率不存在的情况，然后可设直线方程的点斜式，根据原点到直线的距离为2，列方程求出斜率，得出直线方程；第二步过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线，P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值，OP长即为所求.试题解析：(1)当l的斜率k不存在时显然满足要求，l的方程为x2；当l的斜率k存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由点到直线距离公式得，k，l的方程为3x4y100.故所求l的方程为x2或3x4y100.(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由lOP得klkOP1，所以2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.【点睛】利用直线方程的点斜式解决问题，首先要考虑直线的斜率不存在的情况，然后再设直线方程的点斜式，根据原点到直线的距离为2，列方程求出斜率，得出直线方程；求过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线，P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值，OP长即为所求.18.如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)30.【解析】试题分析:（1）根据矩形性质得，再由条件，利用线面垂直判定定理得平面，即得结论（2）先根据线线平行得线面平行：平面，平面，再根据线面平行得面面平行：平面平面，即得线面平行（3）过作与的延长线垂直，则根据二面角定义得就是二面角的平面角，再根据面面垂直判定与性质定理得平面，即是直线与平面所成的角，最后通过解三角形得结果试题解析：证明：（）四边形为矩形，又，平面，平面，平面，（），平面，平面，平面四边形是矩形，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，平面，平面（）过作与的延长线垂直，是垂足，连结 ，就是二面角的平面角，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，是直线与平面所成的角，直线与平面所成的角为19.如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别是，的中点（）求证：平面（）求二面角的余弦值（）求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）；（3）1【解析】试题分析:（1）根据三角形相似得，根据直棱柱性质得，又由等边三角形性质得，所以由线面垂直判定定理得平面，即，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角的余弦值（3）根据向量投影得点到平面的距离为，再利用向量数量积求夹角可得结果试题解析：（）证明：平面，平面，是等边三角形，又，平面，以为原点建立空间直角坐标系如图所示：则，又，平面（），设平面法向量为，则，令得，又为平面的法向量，二面角的余弦值为 （），直线与平面所成角的正弦值为，点到平面的距离为20.已知圆，是轴上动点，分别切圆于两点（1）若，求切线的方程；（2）求四边形面积的最小值；（3）若，求直线的方程【答案】（1）和；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率；（2）根据面积