北京市朝阳区2018届高三第一学期期末理科数学试题（解析版）

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则是A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故选B.2.已知为虚数单位，设复数满足，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C.3.在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式表示的平面区域内的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】将代入，得，不合题意；将代入，得，不合题意；将代入，得，不合题意；将代入，得，符合题意，故选D.4.“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由或 此时 ；但当 不一定得到，故“”是“”的充分而不必要条件选A5.某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三视图得到几何体为如图所示的四棱锥，利用公式可求其体积.【详解】由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为，高为，为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形，高为的四棱锥，体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6.已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分【答案】B【解析】，又由圆的几何性质可得，且， 点到定点与的差为定值，根据双曲线的定义可得点的轨迹是双曲线的一部分，故选7.已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】用排除法，当时，时，解方程，得；时，解方程，得，有两个解，即符合题意，排除，当时，时，解方程，无解；时，解方程，即，只有一个根，不合题意，排除，故选B8.如图矩形中，.点在边上， 且，沿直线向上折起成记二面角的平面角为，当时， 存在某个位置，使；存在某个位置，使；任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于，当平面面时，面，故正确；对于，若存在某个位置，使，面与为锐角相矛盾，错误；对于，设于，则在以 为圆心以 为半径的半圆上，且与半圆所在的平面垂直，所以与半圆所在的圆为底面的圆锥母线成的角都相等，而直线任何位置都不是满足条件的圆锥的两条母线，所以任意两个位置，直线与所成的角都不相等，故正确，故选C. 【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、异面直线所成的角以及空间想象能力与抽象思维能力，属于难题. 这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】因为双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，所以可设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，双曲线的方程为渐近线方程为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率及双曲线的渐近线，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题中，根据离心率的值得到之间的关系，进而得到 、的等量关系，从而可得双曲线的渐近线方程.10.执行如图所示程序框图，输出的值为_.【答案】48【解析】第1次运行，成立第2次运行，成立第3次运行，成立第3次运行，不成立，故输出的值为4811.正方形中，分别为边中点，若 （），则_.【答案】【解析】设正方形边长为，以为原点，为轴，为轴，建立坐标系，则，故答案为.12.已知数列满足（），().设，则_;_.（用含的式子表示）【答案】 (1). (2). 【解析】由可得，两式相加可得，即，所以数列是周期为 的周期数列，；由可得，所以，故答案为 ，.13.伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”证明思路：图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设，图2阴影区域的面积可表示为_用含a，b，c，d，的式子表示；由图中阴影面积相等，即可导出不等式当且仅当a，b，c，d满足条件_时，等号成立【答案】 (1). (2). 【解析】根据勾股定理可得,所以可得 ， ，可得图阴影部分的面积是;由可得+,- ,所以当且仅当满足条件时，等号成立.故答案为 ， .14.如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，三点在同一条水平线上，则塔的高为 _ m；旗杆的高为 _ m.（用含有和的式子表示）【答案】 (1). (2). 【解析】设 在中， 在中， ，即为等腰三角形， 中，则 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围.【答案】（）（）（）. 【解析】试题分析：（）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数，在根据正弦函数的单调性解不等式（），即可得到f(x)的单调递增区间；（）由，根据正弦定理可得，再根据三角形的性质以及二倍角的余弦公式可得，求出.从而可得，进而利用正弦函数的单调性可得的取值范围.试题解析：（）由题知 .由（），解得 . 所以单调递增区间为（）. （）依题意，由正弦定理，.因为在三角形中，所以即当时，；当时，.由于，所以.则.则.又，所以.由，则的取值范围是. 16.为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国，轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI指数表：单位（）日期1234567891011AQI47123232291781031591323767204日期1213141516171819202122AQI270784051135229270265409429151日期232425262728293031AQI4715519164548575249329表2：2017年12月AQI指数表：单位（）日期1234567891011AQI91187792844492741564328日期1213141516171819202122AQI2849946240464855447462日期232425262728293031AQI5050464110114022115755根据表中数据回答下列问题：（）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（）根据环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）规定：当空气质量指数为050时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.【答案】（）194（）见解析（）见解析【解析】试题分析：（）根据表格中的数据，找出最大值与最小值作差即可求出空气质量指数的极差；（）根据表格中的数据，可得可取 ，根据组合的有关知识及古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而根据期望公式可求的数学期望；（）比较两年 月的环境空气质量指数平均数，可得这些措施是有效.试题解析：（）2017年12月空气质量指数的极差为194. （）可取1，2，3；.的分布列为123所以 . （）因为2016年12月AQI指数平均数为144，2017年12月AQI指数81.所以可得这些措施是有效.17.如图，在三棱柱中，是线段的中点，且 平面（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）若，求二面角的余弦值.【答案】（）见解析（）见解析（）【解析】试题分析：（）由，可得，由 平面可得根据线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（）连接，设，根据三角形中位线定理可得，从而根据线面平行的判定定理可得平面；（）取的中点，则，因为，所以，又因为平面，所以两两垂直以为原点，分别以为轴建立空间坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（）证明：因为，所以 根据题意， 平面，平面，所以因为，所以平面 又因为平面，所以平面平面 （）证明：连接，设，连接根据棱柱的性质可知，为的中点，因为是的中点，所以又因为平面，平面，所以平面 （）如图，取的中点，则，因为，所以，又因为平面，所以两两垂直以为原点，分别以为轴建立空间坐标系（如图）.由（）可知，平面,所以又因为，,所以平面，所以，所以四边形为菱形由已知，则，设平面的一个法向量为，因为，所以，即设，则再设平面的一个法向量为，因为，所以，即设，则故由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知函数，（）求曲线在点处的切线的斜率；（）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围【答案】（）（）见解析（） 【解析】试题分析：（）求导.根据导数的几何意义可得. （）设，.由单调性及因为，,可知有且只有一个，使成立.即方程在区间内有且只有一个实数根. （）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.由的单调性可知函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即可得到的取值范围 试题解析：（）. （）设，.当时，则函数为减函数.又因为，,所以有且只有一个，使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根. （）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，即成立，函数为增函数；在上， ，即成立，函数为减函数.则函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于 ，显然.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即，解得. 19.已知抛物线焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.（）求焦点的坐标；（）求证：；（）求线段的长.【答案】（）（）见解析（）.【解析】试题分析：（）由抛物线方程，可得 ，从而得焦点的坐标；（）设，利用导数的几何意义可得过点的切线的斜率为，从而得，根据过两点的斜率公式可得，从而可得结论；（）由()可设直线的方程为，.直线的方程为 .设和交点的坐标为，联立直线方程可得，代入圆的方程结果.试题解析：（）由抛物线方程，可得 ，可得 （）设.由，得，则过点的切线的斜率为.则过点的切线方程为.令，得，即.又点为抛物线上除顶点外的动点，则.而由已知得，则.又，即与不重合，即. （）由()问，直线的方程为，.直线的方程为 .设和交点的坐标为则由（1）式得，（由于不与原点重合，故）.代入（2），化简得 .又，化简得, （）.即点在以为圆心，1为半径的圆上.（原点与除外）即. 20.已知集合，其中.表示中所有不同值的个数.（）若集合，求；（）若集合，求证：的值两两不同，并求；（）求