上海市浦东新区2017届高三上学期期中联考数学试题（解析版）

浦东新区高三期中联考数学卷一、填空题1.设全集U=R，集合= .【答案】【解析】【详解】由题意知，B=y|y=x2+1，xR=y|y1=1，+），则CUB=（-，1），又A=x|x2，ACUB=x|x2，故答案为（-，2）2.函数的反函数为，则_.【答案】【解析】【分析】令后求出的值，结合定义域可得的值.【详解】令，则，故，又，所以.故答案为：.【点睛】本题考查反函数的函数值的计算，注意原函数与反函数的定义域与值域是互换的，且等价于，本题属于基础题.3.，则函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求函数的值域.【详解】,当且仅当时等号成立，故函数的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数值域的求法，注意根据解析式的形式构造乘积为定值的代数式，从而可以利用基本不等式来求最值，本题属于基础题.4.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】计算出后可求.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查集合的交集及无理不等式、绝对值不等式的解法，解无理不等式时注意根号下的代数式有意义，本题属于中档题.5.正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为 【答案】【解析】【详解】试题分析：取BC中点O，连结AO,C1O，正三棱柱ABCA1B1C1中可得到平面BB1C1C,所以AC1与平面BB1C1C所成角为，设正三角形边长为，所以，考点：线面所成角6.已知一组数据7、8、9、的平均数是8，则这组数据的中位数是_.【答案】8【解析】【分析】先求出，再就的大小关系分类讨论后可得中位数.【详解】因为7、8、9、的平均数是8，故，故.当，5个数的由小到大的排列为，故中位数为8，当，则或，此时5个数按由小到大的排列的中位数仍为8，故答案为：.【点睛】本题考查中位数的计算，注意中位数是排序后位于中间位置的数（或中间两数的平均数），必要时需分类讨论以确定中间位置的数，本题属于基础题.7.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是 【答案】【解析】【详解】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得【此处有视频，请去附件查看】8.二项展开式中的系数为_【答案】21【解析】 的系数为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9.从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为_.【答案】【解析】【分析】利用公式计算即可.【详解】3、7、4、6、5这5个数的均值为，故方差为，所以总体标准差的点估计值为.故答案为：.【点睛】本题考查样本方差、样本标准方差的计算，理解公式是关键，此类问题属于基础题.10.已知是奇函数，且（1），若，则_【答案】-1【解析】试题解析：因为是奇函数且，所以，则，所以考点：函数的奇偶性11.已知，且，则使成立的的集合是_.【答案】当时，；当时，.【解析】【分析】可化为，就、分类讨论可得不等式的解集.【详解】可化为，其中.等价于，当时，有，故即不等式的解集为.当时，有，故即不等式的解集为.故答案为：当时，；当时，.【点睛】本题考查对数不等式，注意先考虑不等式有意义时的取值范围，再变形利用对数函数的单调性把不等式转化为分式不等式的解，本题属于中档题.12.在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、两两垂直，且长度分别为、，设棱锥底面上的高为，则【答案】【解析】【详解】试题分析：立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面空间，点点或直线，直线直线或平面，平面图形平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可解：PA、PB、PC两两互相垂直，PA平面PBC设PD为直角三角行PCB的边BC上的高，O为点P在底面ABC上的投影，由已知有,所以，故可知答案为考点：类比推理点评: 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论二、选择题13.“”是“在定义域内为增函数”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】设， 在定义域内为增函数，考虑若则及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系.【详解】设， 在定义域内为增函数.若，则为上的增函数，而，故在为上的增函数，故 “若则”为真命题.若在为上的增函数,当时，由前述讨论可知，符合；当时，有为上的减函数，而，为上的增函数,符合，故“若则”为假命题.故“”是“在定义域内为增函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.14.直线、相交于点，、成角，过点与、都成角的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】就所求直线的不同位置分类讨论后可得满足条件的直线的条数.【详解】因为直线、相交于点，设直线、共面于，过且垂直平分两条直线的夹角的平面记为，过且与垂直的平面记为，设过点与、都成角的直线为，则或，如图所示：，故在平面内有两条直线与直线所成的角为，而，故在平面内有一条直线与直线所成的角为，故过点与、都成角的直线有3条，故选：C.【点睛】一般地，如果异面直线所成的角为（），过定点的直线与它们所成的角都是，记满足条件的直线的条数为 （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则15.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则问一科目的书都相邻的概率为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件的总数，再求出随机事件中含有的基本事件的个数，从而可得所求的概率.【详解】“同一科目的书都相邻” 为事件，5本不同的书并排放到书架的同一层上，共有种排法，同一科目的书都相邻，共有，故,故选：A.【点睛】本题考查古典概型概率的计算以及排列数的计算，计算排列数时应根据相邻选择捆绑法来计数，本题属于基础题.16.已知三个球的半径、满足，则它们的表面积、满足的等量关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用面积表示半径后可得正确的选项.【详解】因为，故，因为，故，即.故选：C.【点睛】本题考查球的表面积的计算，此问题为基础题.17.已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意得，选A【此处有视频，请去附件查看】18.我们定义渐近线：已知曲线，如果存在一条直线，当曲线上任意一点沿曲线运动时，可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线；下列函数：；，其中有渐近线的函数的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】就各选项中的函数图象分析后可得正确的选项.【详解】对于，为幂函数，它没有渐近线，对于，的图象有渐近线且为，对应，的图象有渐近线且为，对应，该函数图象有渐近线且分别为，.故选：C.【点睛】本题考查函数图象的性质，注意根据基本函数图象并结合图象变换来考虑，本题属于中档题.三、解答题19.用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离.【答案】【解析】【分析】先求出圆锥底面的半径，再在轴截面中利用解三角形的方法可求倒放的圆锥的最高点到桌面的距离.【详解】设底面半径为，母线的长为 ，则，且，故.所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10，如图：最高点到底面的距离为等边三角形的高，此高为.【点睛】本题考查空间中距离的计算，注意把距离放置在可解的三角形中，同时关注旋转体的轴截面，因为它集中了旋转体的几何量，本题属于基础题.20.已知全集，集合求和【答案】，【解析】【分析】分别解指数不等式，分式不等式，绝对值不等式得集合，然后根据集合的运算法则计算【详解】， ，【点睛】本题考查集合的运算，考查解指数不等式，分式不等式，绝对值不等式，在集合问题中第一步就是要确定集合中的元素，然后才能分析集合的关系，进行集合的运算21.如图，三棱锥中，底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为. 求：（1）三棱锥体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】（1）2;（2）【解析】试题分析：（1）欲求三棱锥P-ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入中，求出角即可试题解析：（1）因为底面，与底面所成的角为所以, 因为，所以（2）连接，取的中点，记为，连接，则所以为异面直线与所成的角计算可得：，异面直线与所成的角为考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积22.甲厂以千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.（1）写出生产该产品小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围.【答案】（1）设生产该产品小时可获得利润为,，；（2）.【解析】【分析】（1）利用每小时获得的利润可得生产该产品小时获得利润的表达式.（2）解不等式组可得所求的的取值范围.【详解】（1）设生产该产品小时可获得利润为，因为每小时可获得利润是元，故生产该产品小时可获得利润的表达式为，.（2）令，故，解得.【点睛】本题考查分式函数在实际问题中的应用以及分式不等式的解，注意利用题设中的公式来求解析式，本题属于基础题.23.已知函数.（1）作出函数的图像；（2）根据（1）所得图像，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点（3）关于的方程恰有6个不同的实数解，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）定义域，值域，在和上单调递增，在和上单调递减，偶函数，无零点；（3）.【解析】分析】（1）利用分类讨论求出分段函数后可得其图象.（2）根据（1）的图象可得的单调区间、值域、奇偶性和零点情况.（3）令，则有两个不同的解和，且，根据根的分布可求的取值范围.【详解】（1）.当时，当时，当时，当时，故的图象如图所示：（2）由（1）得函数的定义域为.函数的单调增区间为和，单调减区间为和.为偶函数，其值域为.无零点