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经典例题在直角三角形ABC中,A=90,ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作EDBC于D点,已知AC=10 cm,CDE的周长为16 cm,求CD的长. 解析根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以CDE的周长=AC+CD,根据CDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:BE为ABC的平分线,A=90,DEBC,AE=DE,DE+CE=AE+CE=AC=10 cm,CDE的周长为16 cm,DE+CE+CD=16 cm,CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知ADC+ABC=180,DC=BC.求证点C在DAB的平分线上. 解析作CEAB,CFAD,垂足分别为E,F,利用ADC+ABC=180,ADC+CDF=180,得出ABC=CDF,进而证得CBECDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CEAB,CFAD,垂足分别为E,F,BEC=DFC=90,ADC+ABC=180,ADC+CDF=180,ABC=CDF,在CBE和CDF中,CBECDF(AAS),FC=EC,点C在DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P是ABC三条角平分线的交点,PDAB,若PD=5,ABC的周长为20,求ABC的面积. 解析作PEBC于E,PFAC于F,根据角平分线的性质定理得PE=PF=PD=5,然后根据三角形面积公式和SABC=SPAB+SPBC+SPAC得到SABC=(AB+BC+AC),再把ABC的周长为20代入计算即可. 解:作PEBC于E,PFAC于F,如图(2)所示,点P是ABC三条角平分线的交点,PE=PF=PD=5,SABC=SPAB+SPBC+SPAC=PDAB+PEBC+PFAC=(AB+BC+AC)=20=50.如图(1)所示,在RtABC中,ACB=90,且AC=b,BC=a,AB=c,A与B的平分线交于点O,O到AB的距离为OD.试探究OD与a,b,c的数量关系. 解析过点O作OEAC于E,OFBC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OEAC于E,OFBC于F,BAC,ABC的平分线交于点O,ODAB,OD=OE,OD=OF,OD=OE=OF,ACB=90,四边形EOFC是正方形,OE=OF=FC=EC=OD,在RtOAE和RtOAD中,RtOAERtOAD,AE=AD,同理BD=BF,AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+O
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