上海市五校2016届高三下学期3月联考数学试题（解析版）

上海市高三五校联考数学试卷一、填空题1.已知集合，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对集合进行化简，根据，得到关于的不等式，解得的范围.【详解】集合，因为，且，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题.2.已知幂函数的图象经过点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义得到，代入点，得到的值，从而得到答案.【详解】因为为幂函数，所以，即代入点，得，即，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据函数过的点求解析式，属于简单题.3.已知双曲线的一条渐近线方程为则_【答案】【解析】渐近线方程为,所以 4.甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率为_.【答案】【解析】【分析】分别得到从甲箱子里摸1个白球的概率，和从乙箱子里摸1个白球的概率，再根据分步计数原理得到答案.【详解】因甲箱子里有3个白球，2个黑球，所以从甲箱子里摸1个白球的概率为，因为乙箱子里有2个白球，3个黑球，所以从乙箱子里摸1个白球的概率为，所以从甲、乙两个箱子里分别摸出1个白球的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查了相互独立事件概率的求解，属于简单题.5.的展开式中常数项为_.【答案】-15【解析】【分析】分别得到中项的系数和常数项，从而求出答案.【详解】所以要求的展开式中常数项，则求中项的系数和常数项，展开式通项为令，得（舍），即没有项令，得，所以常数项为，所以的展开式中常数项为.故答案：.【点睛】本题考查二项式定理中指定项的系数，属于简单题.6.已知向量，若，则_.【答案】2【解析】【分析】根据得到，从而得到的值.【详解】因为向量，且，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，同角三角函数关系，属于简单题.7.在极坐标中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为，则圆E的圆心与点A的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据，将极坐标转化为直角坐标，得到点和点的坐标，然后得到的距离.【详解】因为A的极坐标为，所以，所以点的直角坐标为，圆E的极坐标方程为，所以，即，所以，故点的坐标为，所以.故答案为：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，属于简单题.8.已知等差数列的公差为3，随机变量等可能地取值，则方差_.【答案】60【解析】【分析】先得到的平均数，再根据方差的计算公式进行计算，得到答案.【详解】设等差数列的公差为，则，其平均数为，因为随机变量等可能地取值所以方差.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的性质,求随机变量的方差，属于简单题.9.将半径为5的圆分割长面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则_.【答案】5【解析】【分析】根据三个扇形的面积比，得到三段弧长之比，根据圆锥与展开扇形的关系，得到，从而得到答案.【详解】将半径为的圆分割成面积比为得到三段弧的长度之比为：，所以在第一个圆锥中：，得，在第二个圆锥中：，得，在第三个圆锥中：，得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥与侧面展开扇形之间的关系，属于简单题.10.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为x|xc，则（其中a+c0）的取值范围为_【答案】（，66，+）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=1，ab=1, 即c=-b将转为（ab）+，利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为x|xc，由二次函数图像的性质可得a0，二次函数的对称轴为x=c，=44ab=0，ac=1，ab=1，c=，b=，即c=-b,则=（ab）+，当ab0时，由基本不等式求得（ab）+6，当ab0时，由基本不等式求得（ab）6，即（ab）+6,故（其中a+c0）的取值范围为：（，66，+），故答案为（，66，+）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.11.设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，若的内切圆的面积为.设A，B的两点坐标分别为，则值为_.【答案】5【解析】【分析】由已知求出椭圆的焦点分别为，根据的内切圆的面积，得到的面积，再根据，从而得到的值.【详解】因为椭圆中，所以焦点为，设的内切圆的半径为，所以，得，根据椭圆的定义，所以，又因为所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆中的三角形的面积问题，三角形内切圆的性质，属于中档题.12.函数，满足，其中，则n的最大值为_.【答案】12【解析】【分析】根据得到点与原点的连线的斜率为定值，再根据的周期，得到与轴的交点（原点除外）有个，从而得到答案.【详解】函数，满足，其中，可得图像上的点与原点的连线的斜率为定值，要使取得最大，则，点为的图像与轴的交点（原点除外），因为函数，其周期，故包含个周期，所以与轴的交点（原点除外）有个，故满足题意的点，有个，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，直线的斜率公式，属于中档题.13.已知函数 ，则满足的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】当时，满足；当时，求出，进而可得答案.【详解】由题意，当时，满足成立；当时，若，则，即，解得，即，综上可知实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数和函数的值域的应用问题，其中解答中根据实数的取值范围，合理分类讨论，分别求得实数的范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，以及推理与运算能力.14.如图，记棱长为1的正方体，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以此类推得一系列的多面体，设的棱长为，则数列的各项和为_.【答案】【解析】【分析】根据条件求出，然后归纳得到：奇数项与偶数项都是等比数列，然后求和即可.【详解】正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，它的中截面（垂直平分对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线的长度等于正方体的棱长，所以，以各个面的中心为顶点的凸多面体为正方体，正方体面对角线长等于棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以，以上方式类推得到，所以各项为，奇数项是以为首项，以为公比的等比数列，偶数项是以为首项，以为公比的等比数列，所以数列的各项和为.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何的相关知识，归纳推理的应用，无穷等比数列各项和的求法，分奇数项、偶数项讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.二、选择题15.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算与的关系，作出判断，得到答案.【详解】A选项，定义域为，关于原点对称，但，因此为非奇非偶函数；B选项，定义域为，关于原点对称，又，因此为奇函数；C选项，定义域为，关于原点对称，又，因此为偶函数；D选项，定义域为，关于原点对称，又，因此为偶函数.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，属于简单题.16.已知A为的一个内角，且，则的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定【答案】B【解析】【分析】将平方，结合三角形内角的范围，得到，从而得到为钝角，得到答案.【详解】因为，所以平方得，即，得，因为为三角形内角，所以，所以，故为钝角.故选：B.【点睛】本题考查利用三角恒等变形判断三角形的形状，属于简单题.17.已知圆与直线相切与点，点同时从点出发，沿直线匀速向右、沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点运动到如图所示的位置时，点也停止运动，连接，则阴影部分的面积的大小关系是（ ）A. B. C. D. 先，再，最后【答案】C【解析】分析：由题意得到弧AO长度与AP相等，利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等，都减去扇形AOB面积即可得到的大小关系.详解：圆与直线相切，即，则.故选C点睛：本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.18.设函数，其中（，）为已知实常数，下列关于函数的性质判断正确的个数是（ ）若，则对任意实数x恒成立；若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数；当时，若，则；A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】由，得出，通过判断，得到为奇函数；由，得到，通过判断，得到为偶函数，然后对四个命题进行判断，得到答案.【详解】函数，其中（，）为已知实常数，若，则，所以函数为奇函数，故正确；若，则，所以，所以函数为偶函数，故正确；若，则函数为奇函数，也为偶函数，所以对任意实数恒成立，故正确；当时，若，则，所以，所以，可得，故正确.故选：A.【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，主要考查的三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，对题意的理解和计算能力要求较高，属于难题.三、解答题19.如图所示，棱长为a的正方体，N是棱的中点；（1）求直线AN与平面所成角的大小；（2）求到平面ANC的距离.【答案】（1）；（2）a；【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，得到与法向量的夹角，从而得到答案；（2）求出平面的一个法向量，到平面的距离等于在此法向量方向上投影的绝对值，从而得到答案.【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为平面，平面，所以，因为正方形，所以平面，所以平面，故为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成的角为.（2）设平面的一个法向量，则，所以，取，因为，所以到平面的距离.【点睛】本题考查利用空间向量求线面角的大小，点到面的距离，属于中档题.20.已知复数是方程的解，且，若（其中、为实数，为虚数单位，表示的虚部）（1）求复数的模；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）10（2）【解析】【分析】（1）在复数集范围内求解一元二次方程得,代入,由复数相等的条件即可求得,的值,即可求得复数的模;（2）把代入不等式,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求得实数的取值范围.【详解】（1） 将 代入得:化简可得: 则: 根据 得:（2） 不等式在上恒成立 即在上恒成成立 当时,不等式成立; 当时 可化简为: (当且仅当等号成立) (当且仅当等号成立)综上所述,的取值范围为:.【点睛】本题考查了在复数集求解一元二次方程和含参数的一元二次不等式恒成立问题.求解含参数的一元二次不等式要采用分离参数法进行求解是解本题的关键.21.对于定义在上的函数，若函数满足：在区间上单调递减；存在常数p，使其值域为，则称函数为的“渐近函数”；（1）证明：函数是函数的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数，证明：当时，不是的渐近函数.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）通过令，利用“渐近函数”的定义逐条验证即可；（2）通过记，结合“渐近函数”的定义可知，问题转化为求时，的最大值问题，进而计算可得的范围，从而证明结论.【详解】（1）根据题意，令，则，所以，所以在区间上单调递减，且，所以，于是函数是函数，的渐近函数，此时实数.（2）即，假设函数，的渐近函数是，则当时，即，令函数，则，当时，当时，在区间上单调递增，且所以，所以，所以当时，不是的渐近函数.【点睛】本题考查新定义函数的理解与应用，利用导数求函数的单调性，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点到点的距离与它到直线的距离之比为，圆O的方程为，曲线C与x轴的正半轴的交点为A，过原点O且异于坐标轴的直线与曲线C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中，设直线AB，AC的斜率分别为；（1）求曲线C的方程，并证明到点M的距离；（2）求的值；（3）记直线PQ，BC的斜率分别为、，是否存在常数，使得？若存在，求的值，若不存在，说明理由.【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）存在；【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，从而求出曲线的方程，并能证明到点的距离；（2）设，则，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（3）联立直线和椭圆方程，求得点坐标，再求出直线和直线的斜率，从而得到的值.【详解】（1）曲线上的点到点的距离与它到直线的距离之比为，所以可得，整理得曲线的方程为：，而是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，所以到点的距离.（2）设，则，所以，所以.（3）联立，得到，所以，其中，所以，联立，得到，所以，其中，所以，所以，所以，所以存在常数，使得.【点睛】本题考查求椭圆方程，椭圆上的点到焦点的范围，直线与圆和椭圆的交点，椭圆中的定值问题，属于中档题.23.等差数列首项和公差都是，记的前n项和为，等比数列各项均为正数，公比为q，记的前n项和为：（1）写出构成的集合A；（2）若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列，求的一个通项公式；（3）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得同时为（1）中集合A的元素？若存在，写出所有符合条件的的通项公式，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）n为奇数，；n为偶数，；（3）存在；或或.【解析】【分析】（1）直接由等差数列的求和公式得到，再把分别代入，即可求出集合；（2）写出，根据整数项构成，得到或为的整数倍，从而得到的通项；（3）根据的前n项和为，根据同时为（1）中集合A的元素，进行分类讨论，从而得到的通项公式.【详解】（1）因为等差数列的首项