福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟考试数学（理）试题（解析版）

福建省莆田第九中学 2018 届高三高考模拟理 科 数 学 试 题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，再由，可求出实数的取值范围.详解：集合，或，实数的取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.若 ，为虚数单位，则的虚部是（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用复数的运算法则和虚部的定义求解即可.详解：，的虚部为，故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.下列程序框图中，输出的的值A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据题意有，在运行的过程中，；，；，以此类推，就可以得出输出的A是以为分子，分母构成以为首项，以为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为，故选C.考点：程序框图.4.若，其中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先求出定积分，代入，利用二倍角公式得到关于方程，求出，结合的范围可得结果.详解：，又，即，解得或，故选C.点睛：本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.5.在中，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.6.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，求得m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，即该平面区域和直线有交点，而直线的交点在直线上移动，由得交点坐标为，当即时，才会交点.【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.7.等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时,的值为（ ）A. 23B. 25C. 23或24D. 23或25【答案】D【解析】分析：由，得到等差数列的公差，且，结合知从到的值都大于零，时达到最大.详解：，等差数列的公差，且则，且，由，知从到的值都大于零，时达到最大，而与是绝对值相等，符号相反，相加为零，之后越来越小，所以数列前项和取得最大值时,的值为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列求和公式、等差数列的性质，以及数列前项和得最大值问题，属于难题.数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的函数，利用函数的性质求解；可根据且确定最大时的值.8.若，则的值为（ ）A. 1B. 0C. D. 【答案】C【解析】分析：利用，求出二项式系数和即可得结果.详解：，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9.设非空集合S=x| mxl满足：当xS时，有x2S . 给出如下三个命题：若m=1，则S=1；若m= ，则 l 1； l=，则其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断【详解】非空集合S=x|mxl满足：当xS时,有S.对于若m=1,可得x=1,则S=1;S，对；对于若m=,满足xS时,有S,则l1，对；对于若l=,可得,要使xS,则.对故答案为：3.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.【此处有视频，请去附件查看】10.是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，那么【答案】D【解析】对于A，如果则或，因为，则，故正确；对于B，如果，那么与无公共点，则，故正确；对于C，如果，则，故正确；对于D，如果，那么与的关系不确定，故错误.故选D.11.定义在上的偶函数在单调递增，且，则的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由义在上的偶函数在单调递增，且,可得，即为，可得，运用绝对值不等式的解法可得的取值范围.详解：定义在上的偶函数在单调递增，且，可得，即为，可得，即，解得，即的取值范围是，故选A.点睛：本题考查奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.12.设， 分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由分别是函数和的零点， 所以，即，因为，所以，则，所以，即，所以，且 所以，则，即的取值范围是，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若满足约束条件，则函数的最小值为_【答案】5.【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得到目标函数经过点时，目标函数取得最小值，即可求解详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，则，由图象可知当取可行域内点时，目标函数取得最小值，由，解得，此时函数的最小值为点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如14.在数列中，且，设数列的前项的积为，则_【答案】【解析】分析：根据数列的递推关系式，利用归纳推理得到，即可求得的值详解：由经过递推关系计算可得，由此归纳得出，所以点睛：本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)15.定义符号函数，若函数，则满足不等式的实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数在上是增函数，即可得到不等式，即可求解详解：由函数，得，根据指数的性质可得函数在上是增函数，又由，则，解得点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，即可求解16.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是内的动点，若，则点到平面的距离的范围是_.【答案】【解析】分析：在正方体中，过作，且交线段于，则平面，分别求出点当点与点重合时，当点与点重合时，以及点是的四等分点，所以点到平面的距离的最大值与最小值，即可求解结果详解：在正方体中，点是的中点，连接交于，则为线段的中点，所以为的中位线，又因平面，所以，过作，且交线段于，则平面，则点在平面内的轨迹是线段；当点与点重合时，点到平面距离取得最大值为4，当点与点重合时，点到平面距离最小，又因为是的四等分点，所以点到平面的距离小值为3，所以点到平面的距离的取值范围是点睛：本题主要考查了正方体的线面位置关系，以及点到平面的距离的取值范围问题，其中解答中正确把握正方体的线面位置关系和直线与平面垂直的判定，以及点到平面的距离的定义是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与论证的能力三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分 17.已知数列为公差不为零的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由成等比数列得，根据，即可求得公差，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合放缩法得，从而可证.试题解析：（1）由题意，所以，即,即.，故.（2）由上知，故.18.随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取人，从这人中随机选出人赠送网络优惠券，求选出的人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为，求的期望和方差.附：，其中【答案】（1）不能（2）（3）【解析】试题分析：（1）由列联表中的数据计算的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量服从次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小试题解析：（1）由列联表数据计算.所以，不能再犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有人，偶尔或从不进行网购的有人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是.（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为.由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是.由于该市市民数量很大，故可以认为.所以，.19.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EMFN，结合线面平行的判定定理，证出EM平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小.解析：（1）解法一：取的中点，连接.在中，是的中点，是的中点，所以，又因为，所以且.所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，故平面.解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，设平面的一个法向量是.由得令，则.又因为，所以，又平面，故平面.（2）由（1）可知平面的一个法向量是.易得平面的一个法向量是所以，又二面角为锐角，故二面角的余弦值大小为.20.已知椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点（1）求椭圆的方程；（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点求证：直线的斜率为定值；求面积的最大值（其中为坐标原点）【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得，（2）先根据点斜式得直线方程，再与椭圆方程联立解得坐标，根据直线与圆相切，得斜率相反，同理可得最后根据斜率公式求斜率，设直线MN方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值.试题解析：（1）可得，设椭圆的半焦距为，所以， 因为C过点，所以，又，解得， 所以椭圆方程为（2） 显然两直线的斜率存在，设为，由于直线与圆相切，则有， 直线的方程为， 联立方程组消去，得，因为为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，所以，而，所以直线的斜率 设直线的方程为，联立方程组消去得，所以， 原点到直线的距离，面积为，当且仅当时取得等号经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N所以面积的最大值为点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.已知函数，（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.试题解析：解：（1）由，得. 由题意，所以.（2）.因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立. 问题等价于函数，即在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实数的取值范围是.（3）不等式等价于，整理得.构造函数，由题意知，在上存在一点，使得.因为，所以，令，得.当，即时，在上单调递增.只需，解得.当即时，在处取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化为.因为，所以不等式