湖南省浏阳市六校联考2019届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018年下学期高三年级期中联考数学试卷（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以 .选C.2.函数的单调递增区间为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可【详解】由可得或，函数的定义域为设，则在上单调递减，又函数为减函数，函数在上单调递增，函数的单调递增区间为故选D【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为3.已知平面向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由求出的值，然后再求出即可【详解】，且，故选C【点睛】本题考查向量共线条件的运用和向量的基本运算，考查运算能力，属于基础题4.已知点是角终边上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可【详解】点是角终边上的一点，故选A【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题5.设函数，若，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再根据得到，进而可得【详解】由题意得，又，解得故选B【点睛】已知分段函数的解析式求函数值时，首先要注意确定自变量所在的范围，然后选择相应的解析式代入后求出函数值即可，属于基础题6.已知，则的大小关系是( )A. cB. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断出的范围，然后再确定出的范围，进而可得的大小关系【详解】， 又，故选B【点睛】比较幂的大小时，若底数相同或指数相同，则可根据指数函数或幂函数的单调性求解，若底数和指数都不相同时，则要构造中间量进行大小的判断若比较大小的数中含有对数时，一般先判断出每个数所在的范围，然后再进行大小的比较7.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）A. 3盏B. 9盏C. 192盏D. 9384盏【答案】C【解析】由题意可得最下面层数灯盏数最多，设最下层有盏灯，结合题意可得：，且，据此排除ABD选项.本题选择C选项.8.已知函数，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知，令，解得，当时，即函数的图象的一条对称轴的方程为.本题选择C选项.9.函数的图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状【详解】由题意得函数的解析式为，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C,D又当x0时，cos(x)1，0，f(x)+，所以可排除B故选A【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除，逐步可得结果10.在中，若，则下面等式一定成立的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据倍角公式可得，从而，再根据及两角和的余弦公式整理可得，于是可得，故得【详解】，又，又为三角形的内角，故选A【点睛】本题考查三角形中的三角变换，解题时注意正确运用公式，还需注意符号问题另外还要注意三角形中的三个内角间的关系，属于基础题11.已知是上的增函数,那么的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由已知可得，故选B考点：函数的图象与性质12.设函数，若是的极小值点，则的取值范围为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的的定义域和，由，得，通过讨论的范围，得到函数的单调性，结合已知条件可求出的取值范围【详解】由题意得函数的定义域为，是的极小值点，若a0，则由，得x=1，且当0x1时，此时f(x)单调递减所以x=1是f(x)的极大值点，不合题意若a0，由，得x=1或，因为x=1是f(x)的极小值点，所以，解得由得实数a的取值范围是故选D【点睛】本题考查对函数极值概念的理解，解题的关键有两个：（1）根据是的极小值点可得；（2）解题时注意对参数的取值的讨论，特别是根据是的极小值点得到与1的大小关系，进而得到所求的范围二、填空题（每小题5分，共20分）13.若点在幂函数的图象上，则_【答案】【解析】【分析】由题意及待定系数法求出幂函数的解析式，然后再求出即可详解】由题意设，点在函数的图象上，.故答案为9.【点睛】本题考查幂函数的定义，解题的关键是熟知幂函数的解析式，属于基础题14.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】由函数解析式的特点得到关于的不等式组，解不等式组可得函数的定义域【详解】要使函数有意义，则需满足，解得，所以函数的定义域为故答案为【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，关键是根据解析式的特点得到自变量的限制条件，进而得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）可得所求的定义域另外，还需注意函数的定义域一定为集合或区间的形式15.已知向量，且在上的投影为3，则与的夹角为_.【答案】.【解析】【分析】根据向量数量积几何意义求得的值，然后再求出两向量的夹角【详解】设，的夹角为，则，又，解得，又，故答案为【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题16.是定义在上的周期为3奇函数，当时，则_【答案】【解析】【分析】根据周期性计算出根据函数为奇函数和周期性求出后可得结果【详解】由题意得，又，.故答案为【点睛】解答本题的关键是将求值问题转化到给定的区间上求解，另外还应注意奇函数的性质，即“若奇函数在处有意义，则有”三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知分别为三个内角的对边,（1）求角的大小； （2）若的周长为，外接圆半径为，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意及正弦定理得到，结合三角变换可得，于是，故得（2）由外接圆半径及正弦定理得，根据周长可得，再根据余弦定理得到，于是可得所求的面积【详解】（1）由正弦定理得: ，又为的内角，（2）的外接圆半径为， 由余弦定理得 ，所以，的面积【点睛】本题考查解三角形的应用，属于基础题解答本题时注意以下两点：（1）由得到时必须说明，另外，求角时不要忘了说明角的范围（2）应用余弦定理时注意变形的应用，如等，注意整体代换的应用18.已知数列是等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出等差数列的首项和公差后可得通项公式；（2）得到数列的的通项公式后根据裂项相消的方法求得【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，解得， （2）由条件及（1）得， = 【点睛】用裂项相消法求和的原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项19.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.【解析】【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，此时，当，即时，函数取得最大值为.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时.由，得：，两边取自然对数得：即，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.20.已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,.（1）求的解析式.（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）时利用可求的解析式，再利用奇偶性考虑与的关系，即可求出时的解析式，要注意时的情况；（2）先分析单调性，因为题设已告诉函数单调，故取值直接比较即可；然后利用是奇函数对不等式进行变形，转变为两个函数值的大小关系，根据单调性可去掉函数符号变为自变量间的大小关系，最后化为关于的不等式恒成立的问题去处理.【详解】(1) 当时, ， 又函数是奇函数，又综上所述 （2）为上的单调函数，且，函数在上单调递减 ，函数是奇函数，又在上单调递减，对任意恒成立，对任意恒成立，解得实数的取值范围为【点睛】（1）奇函数若在处有定义，则必有，这一点要注意，容易遗漏；（2）已知函数单调性的情况下，函数值之间的大小关系可转变为自变量之间的大小关系.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）的增区间是；递减区间是；（3）.【解析】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，再求出,可得的值，即得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）对于任意，都有等价于，令，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，从而可得结果.试题解析：（1）因为函数，所以,.又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数定义域为， 由（1）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：减极小值增所以，