上海市南模中学2017届高三上学期9月初态考试数学试题（解析版）

南模中学高三初态考数学试卷一.填空题1.复数的共轭复数是 _【答案】. 【解析】 ，故该复数的共轭复数为 .2.已知是实数集，则 .【答案】【解析】试题分析：，考点：集合的交并补运算及解不等式点评：集合的交并补运算常借助于数轴来求解，将集合标注在数轴上，通过观察数轴上的点求解3.已知,则_【答案】【解析】【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题.4.函数,若,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式分类列不等式，最后求并集.【详解】由题意得：或，解得或故答案为：【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知定义在上的奇函数是上的增函数,且,设,若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先根据奇函数性质得函数单调性，再根据单调性确定P,Q解集，最后根据充要关系得解集包含关系，列不等式解得结果.【详解】因为定义在上的奇函数是上的增函数，所以函数在上是增函数，因为,所以,因为“”是“”的充分不必要条件,所以 ，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数奇偶性与单调性解不等式以及根据充要关系取参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.6.已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题函数是单调减函数；则，解得a的取值范围【详解】对任意x1x2，都有成立，说明函数yf(x)在R上是减函数，则，解得 .即答案.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键7.若(1x)na0a1xa2x2anxn(nN*)，且a1a221，则展开式的各项中系数的最大值为_.【答案】20【解析】 由二项展开式的通项，所以，解得， 所以展示式中各项中系数的最大值为展开式中的中间项，即第4项，即.8.已知函数f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100_【答案】100【解析】【分析】分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案【详解】若n为偶数，则anf（n）+f（n+1）n2（n+1）2（2n+1），偶数项为首项为a25，公差为4的等差数列；若n为奇数，则anf（n）+f（n+1）n2+（n+1）22n+1，奇数项为首项为a13，公差为4的等差数列a1+a2+a3+a100 （a1+a3+a99）+（a2+a4+a100） 100故答案为100【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题9.圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了，则这个铁球的表面积为_【答案】【解析】【分析】容器水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解【详解】设实心铁球的半径为R，则，得，故这个铁球的表面积为故填：【点睛】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力10.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切则圆C的方程为 【答案】【解析】试题分析：令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0，与x轴的交点为（-1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即,所以圆C的方程为.考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系【此处有视频，请去附件查看】11.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b1,2,3,4,5,6.若|a-b|1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为_.【答案】【解析】试题分析：“心有灵犀”数有或，则他们“心有灵犀”的概率为考点：古典概型12.在直角坐标系中,抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,点在抛物线上,且,若是抛物线准线上一动点,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先求双曲线左焦点得抛物线焦点，再根据抛物线定义得A点坐标，最后根据对称求最值.【详解】双曲线的左焦点为，因为O关于抛物线准线的对称点为,则故答案为：【点睛】本题考查双曲线左焦点、抛物线方程与定义以及利用对称性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.13.已知中,则该三角形内切圆半径的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先根据等面积法以及余弦定理得内切圆半径函数关系式，再根据基本不等式求取值范围.【详解】设内切圆半径为从而故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式、余弦定理以及基本不等式应用，考查综合分析求解能力，属中档题.14.数列中,则数列通项公式_【答案】【解析】【分析】先变形，构造新数列，根据常数列定义求，即得结果.【详解】因此数列为常数列，故答案为：【点睛】本题考查根据递推关系求通项以及等差数列定义，考查综合分析求解能力，属中档题.二.选择题15.函数的反函数的解析表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求函数值域，再求，即得结果.【详解】，又所以函数的反函数为故选：A【点睛】本题考查求反函数，考查基本分析求解能力，属基础题.16.将函数的图像按向量平移得到图像,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据向量平移规律得函数解析式，再根据对称轴列方程，解得，最后对照选项选择.【详解】函数的图像按向量平移得到因为一条对称轴是直线,所以当时故选：B【点睛】本题考查向量平移以及三角函数对称轴，考查综合分析求解能力，属中档题.17.已知正三棱柱的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面与侧面交于EF，且EFBC，若平面与底面ABC所成二面角的大小为四边形BCEF面积为则函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作出平面与底面所成的二面角的平面角为，如图为,在直角三角形中用,及表示出,再利用四边形面积为求出,根据解析式，作出简图，即可得到答案.【详解】作图如下：过A作,分别中点,则,所以,在等腰三角形中,，,所以是平面与底面所成角的平面角.,所以四边形面积为： 根据正切函数图象可知C符合.故选:C【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明是平面与底面所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.18.关于的方程(且)的两实根为,若,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据实根分别列不等式组，即得可行域，再根据目标函数意义（斜率），结合图象求结果.【详解】由题意得作可行域如图，则的取值范围是故选：D【点睛】本题考查二次方程实根分别以及利用线性规划求范围，考查综合分析求解能力，属中档题.三.解答题19.已知在中，所对的边分别为，若且()求角A、B、C的大小；()设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离【答案】(),;()单调递增区间为. 它的相邻两对称轴间的距离为.【解析】【详解】()由题设及正弦定理知:,得，或,即或当时,有, 即,得,;当时,有,即，不符题设，, () 由()及题设知:；当时,为增函数，即的单调递增区间为.它的相邻两对称轴间的距离为.20.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（I）求出该几何体的体积；（II）求证：EM平面ABC；（III）试问在棱DC上是否存在点N，使NM平面？若存在，确定点N的位置； 若不存在，请说明理由.【答案】略【解析】解法一：由题意，Ea平面ABC，DC平面ABC，AE/DC，AE=2，DC=4，ABAC，且AE=AC=2，（I）EA平面ABC，eaab, 又abac, ab平面acde , 2分四棱锥b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面积S= 6，即所求几何体的体积为4 分 （II）证明：m为db的中点，取bc中点G，连接em,mG,aG， mGDC，且 mG ae，四边形aGme为平行四边形，6分emaG,又AG平面ABCAG平面ABC，EM平面ABC.8分（III）由（II）知，emaG，又平面BCD底面ABC，aGbc,AG平面BCDEM平面BCD，又EM平面BDE，平面BDE平面BCD 10分平面BCD中，过M作MNDB交DC于点N, MN平面BDE 点n即为所求的点 10分边DC上存在点N，满足DN=DC时，有MN平面BDE. 12分解法二：（I）（同解法一） 4分（II）由（I）知EAAB，EAAC，ABAC以A为原点如图建立空间直角坐标系Axyz 5分则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，4），M（1，1，2），6分显然，为平面ABC的法向量，且=0 7分EM平面ABC. 8分（III）由（II）得，设在棱DC上存在点，使MN平面BDE，则9分由11分在棱DC上存在点N（0，2，1），使MN平面BDE. 12分21.已知函数（常数（1）若，且，求的值；（2）若，求证函数在上是增函数；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】【分析】（1）由题可得，令，整理有，解出，进而得出答案（2）利用增函数的定义证明，设且，求并判断正负（3）由题可得即，设，则问题转化为存在，使得，利用函数的单调性求解【详解】（1）由，可得，设，则有，即，解得 当时，有，可得当时，有，此方程无解故所求的值为 （2）设且，则 由，可得，即由，可得，故，又，故，即所以，即，故函数在上是增函数 （3）由可得，即设，由，可得，由存在使得，可得存在，使得， 令，则由单调性有或，可得即所求的取值范围是【点睛】本题考查函数的单调性，指数函数形不等式，解题的关键是利用换元法进行换元，属于偏难题目22.已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，且，数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和；（3）若对恒成立，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据，列方程组解方程组可得；（2）分和讨论，求；（3）令，由单调性可得，由题意可得，易得的最小值【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由题意可得，解得或，数列是公差不为0的等差数列，数列的通项公式；（2）由（1）知，当时，当时，综合得：（3）由（1）可知，令，随着的增大而增大，当为奇数时，在奇数集上单调递减，当为偶数时，在偶数集上单调递增，对恒成立，的最小值为【点睛】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论的思想，属中档题23.给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，【解析】【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在解法如下，写出过点的