一块等边三角形木块.doc

1、 一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是（）1：点B所经过的这三段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为120度点A所经过的路线长为3 120/180 1=2点评：本题主要考查了正三角形的性质及弧长公式l= n/180 r2如图，一块等边三角形的木板，边长为1cm，现将三角板沿水平线翻滚，那么B点从开始到结束所走路径长度为 解：从第一个三角形到第二个三角形B经过的路线长是： 1201/180= 2/3；从第二个三角形到第三个三角形B经过的路线长是也是 2/3故B点从开始到结束所走路径长度为： 2/3+2/3= 4/3故答案是： 4/33 （2004厦门）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明，若不正确，请举例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图为例说明理由解：（1）不正确若在正方形CAEF绕点A顺时针旋转45，这时点F落在线段AB或AB的延长线上（或将正方形GAEF绕点A顺时针旋转，使得点F落在线段AB或AB的延长线上）如图：设AD=a，AG=b，则DF= a2+2b2a，BF=|AB-AF|=|a- 2b|a，DFBF，即此时DFBF；（2）连接BE，则DG=BE如图，四边形ABCD是正方形，AD=AB，四边形GAEF是正方形，AG=AE，又DAG+GAB=90，BAE+GAB=90，DAG=BAE，DAGBAE，DG=BE4 2003镇江）如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF（1）求证：BCEDCF；（2）若BEC=60，求EFD的度数（1）证明：ABCD是正方形，DC=BC，DCB=FCE，CE=CF，DCFBCE；（2）解：BCEDCF，DFC=BEC=60，CE=CF，CFE=45，EFD=155 在等腰直角ABC中，C=90，BC=2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180，点B落在点B处，求BB的长度解：延长BO到B，使OB=OB，连接AB，CB，C=90，AC=BC=2，OC= 1/2AC=1，在RtBOC中，OB= BC2+OC2= 5cm，点B绕O点旋转180到B，故BB=2BO= 25cm6 如图,在正方形ABCD中,PAD=PDA=15,连接PB,PC,求证PBC为正三角形。 在CBP中取一点O，使OPB是等边三角形，连结OC 则在等边OPB中 有OB=PB 而由于PBA=15 PBO=60 故OBC=15=PBA 又在正方形ADCB中 有BA=BC 故PBAOBC 故OC=PA=PB=OP 故OCP=OPC 而PBC=75 BCO=15 BPO=60 故OPC+OCP=180-PBC-BCO-BPO=30(PBC内角和为180) 故OPC=OCP=15 故BPC=BPO+OPC=75=PBC 故CP=CB=DC 同理可证DP=DA=DC 6 如图，在等腰ABC中，AB=AC，D为形内一点，ADCADB，求证：DBDC解：把ABD绕点A按逆时针方向旋转得到ACD，AB与AC重合，如图，连接DD，AD=AD，BD=CD，ABD=ADC，ADD=ADD，而ADCADB，ADCADC，ADD+DDCADD+CDD，DDCDDC、CDDC，DBDC7 如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果APQ的周长为2，求PCQ的度数解：如图所示，三角形APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，所以AP+AQ+QD+PB=2，所以PQ=PB+DQ延长AB至M，使BM=DQ连接CM，CBMCDQ，BCM=DCQ，CM=CQ，DCQ+QCB=90，BCM+QCB=90，即QCM=90，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ在CPQ与CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，CPQCPM，PCQ=PCM= 12QCM=458 （2006无锡）如图，ABC中，ACB=90，AC=BC=1，将ABC绕点C逆时针旋转角（090）得到A1B1C1，连接BB1设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（ABC与A1B1C1全等除外）；（2）当BB1D是等腰三角形时，求；（3）当=60时，求BD的长解：（1）全等的三角形有：CBDCA1F或AEFB1ED或ACDB1CF等；以证CBDCA1F为例：证明：ACB1+A1CF=ACB1+BCD=90A1CF=BCDA1C=BCA1=CBD=45CBDCA1F；（2）在CBB1中CB=CB1CBB1=CB1B=（180-）/2又ABC是等腰直角三角形ABC=45若B1B=B1D，则B1DB=B1BDB1DB=45+B1BD=CBB1-45=（180-）/2-45=45- /245+=45- /2，=0（舍去）；BB1C=B1BCB1BD，BDB1D，即BDB1D；若BB1=BD，则BDB1=BB1D，即45+=（180-）/2，=30由可知，当BB1D为等腰三角形时，=30；（3）作DGBC于G，设CG=x在RtCDG中，DCG=60，DG=xtan60= 3xRtDGB中，DBG=45，BG=GD= 3 xAC=BC=1，x+ 3x=1x= 1/(1+3)= (3-1)/2，DB= 2BG=( 32-6)/28 如图，将正方形ABCD中的ABP绕点B顺时针旋转能与CBP重合，若BP=4，则点P所走过的路径长为2点P所走过的路径长是一段弧长，是以点B为圆心，BP为半径，旋转角度是90度，所以根据弧长公式可得解：根据弧长公式可得：( 904)/180=29 如图：P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针旋转能与CBP重合，若PB=5，求PP的长解：ABCD为正方形，ABC=90ABP顺时针旋转后能与CBP重合，ABP=CBP，BP=BP，PBP=90，RtPBP中，BP=BP=5，PP=5 210 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？解：设经过x分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分6x-360（x-1）=360（x-1）-0.5x，解得x= 1440/1427故经过 1440/1427分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分11 钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（）A、40和20 B、240和20 C、240和40 D、40和40解：如图，从6：50到7：30，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30，钟表上的分针经过40分钟旋转的角度是308=240，钟表上的时针经过40分钟旋转的角度是240 112=20度故选B12 如图，等腰直角ABC绕点A按逆时针方向旋转60后得到ADE，且AB=1，那么EC的长为1解：等腰直角ABC绕点A按逆时针方向旋转60后得到ADE，则对应线段AC=AE，又知CAE=60，则CAE为等边三角形，则EC=AC=AB=113 如图，在RtABC中，BAC=90，BC=6，点D为BC中点，将ABD绕点A按逆时针方向旋转120得到ABD，则点D在旋转过程中所经过的路程为2（结果保留）解：BAC=90，BC=6，点D为BC中点，AD=3，所以根据弧长公式可得：( 1203/)180=214 如图，把ABC绕B点逆时针方旋转26得到ABC，若AC正好经过A点，则BAC=（）A、52 B、64 C、77 D、82解：根据题意：ABC绕B点逆时针方旋转26得到ABC，且AC正好经过A点，ABA=CBC=CAC=26，AB=AB，AAB=77，BAC=180-26-77=77故选C15 （2008齐齐哈尔）已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想解：（1）BM+DN=MN如图，把AND绕点A顺时针旋转90，得到ABE，则可证得E，B，M三点共线，MAN=45，DAN+BAM=DAB-MAN=90-45=45，EAB+BAM=45，EAM=NAM，AM=AM，AN=AE，AEMANM，ME=MN，ME=BE+BM=DN+BM，DN+BM=MN（2）参照（1）中求法，MN+BM=DN16 如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A点的位置，用（1，2）表示B点的位置，那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是（5，2）17 如图，在方格纸上DEF是由ABC绕定点P顺时针旋转得到的如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）A、（5，2） B、（2，5） C、（2，1） D、（1，2）解：如图，分别连接AD、CF，然后作它们的垂直平分线，它们交于P点，则它们旋转中心为P，根据图形知道ABC绕P点逆时针旋转90得到DEF，P的坐标为（5，2）故选A17 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗（不必说明理由）证明：（1）四边形BCGF和CDHN都是正方形，又点N与点G重合，点M与点C重合，FB=BM=MG=MD=DH，FBM=MDH=90度，FBMMDH，FM=MH，FMB=DMH=45，FMH=90度，FMHM（2）连接MB、MD，如图，设FM与AC交于点PB、D、M分别是AC、CE、AE的中点，MDBC，且MD= 12AC=BC=BF；MBCD，且MB= 12CE=CD=DH（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），四边形BCDM是平行四边形，CBM=CDM，又FBP=HDC，FBM=MDH，FBMMDH，FM=MH，且FMB=MHD，BFM=HMDFMB+HMD=180-FBM，BMCE，AMB=E，同理：DME=AAMB+DME=A+AMB=CBM由已知，得BM= 12CE=AB=BF，A=BMA，BMF=BFM，FMH=180-（FMB+HMD）-（AMB+DME），=180-（180-FBM）-CBM，=FBM-CBM，=FBC=90FMH是等腰直角三角形（3）是18 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论解：（1）A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，OA旋转了45度OA在旋转过程中所扫过的面积为 (452X2)/360=/2（2）MNAC，BMN=BAC=45，BNM=BCA=45度BMN=BNMBM=BN又BA=BC，AM=CN又OA=OC，OAM=OCN，OAMOCNAOM=CONAOM= 1/2（90-45）=22.5度旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45-22.5=22.5度（3）证明：延长BA交y轴于E点，则AOE=45-AOM，CON=90-45-AOM=45-AOM，AOE=CON又OA=OC，OAE=180-90=90=OCNOAEOCNOE=ON，AE=CN又MOE=MON=45，OM=OM，OMEOMNMN=ME=AM+AEMN=AM+CN，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化19 如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F（1）如图2，当BP=BA时，EBF=30，猜想QFC=60（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2 3，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式解：（1）EBF=30；（1分）QFC=60；（2分）（2）QFC=60 （1分）解法1：不妨设BP 3AB，如图1所示BAP=BAE+EAP=60+EAP，EAQ=QAP+EAP=60+EAP，BAP=EAQ （2分）在ABP和AEQ中AB=AE，BAP=EAQ，AP=AQ，ABPAEQ（SAS） （3分）AEQ=ABP=90 （4分）BEF=180-AEQ-AEB=180-90-60=30QFC=EBF+BEF=30+30=60 （5分）（事实上当BP 3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）解法2：设AP交QF于MQMP为AMQ和FMP共同的外角QMP=Q+PAQ=APB+QFC，由ABPAEQ得Q=APB，由旋转知PAQ=60，QFC=PAQ=60，（3）在图1中，过点F作FGBE于点GABE是等边三角形，BE=AB=2 3由（1）得EBF=30在RtBGF中，BG= BE2= 3，BF= BGcos30=2EF=2 （1分）ABPAEQQE=BP=x，QF=QE+EF=x+2 （2分）过点Q作QHBC，垂足为H在RtQHF中，y=QH=sin60QF= 32（x+2）（x0）即y关于x的函数关系式