四川省成都市龙泉中学2017-2018学年高三上学期12月月考试数学（理）试题（解析版）

成都龙泉中学2015级高三上学期12月月考试题数学（理工类）第卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,所以 ,选A.2.复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选B3.已知等差数列的前项和为，若（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为等差数列，故选C4.已知实数，那么它们的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.5.定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意,可画出如图所示的图象：结合图象可以知道,有5个零点时,实数m的取值范围是故选B点睛：已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组），求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置6.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为为边长为1的正方形， 是边长为1的等边三角形， 垂直于于点，其中为的中点，所以四棱锥的体积为，四棱锥侧面中最大侧面是，面积是故选D7.已知平面向量， 夹角为，且， ，则与的夹角是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知：，则且设与的夹角为故选A8.四棱锥的底面是一个正方形，平面是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】取的中点，连接.为的中点，就是异面直线与所成的角.，四边形是正方形，.又平面，.连接，与 交于，连接.四边形是正方形，为的中点， 平面，.，.在中， ，即异面直线 与 所成角的余弦值为；故选B.点睛：本题是一道有关异面直线所成角的题目，在求解的过程中，首先要找到异面直线所成的平面角，根据题意取的中点，连接，分析可知就是异面直线与所成的角；然后再由勾股定理可知，为直角三角形，由此即可求出的余弦值，进而求出结果.9.设为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】为单位向量，满足，非零向量令，当时，最大，最大值故选D10.已知如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以当时， ；当， ，综上，应选答案B11.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是()A. 29 000元B. 31 000元C. 38 000元D. 45 000元【答案】C【解析】设分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，根据题意得 工厂总利润为由约束条件得可行域如图由可得最优解为则当直线过点时，z取得最大值为38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润.故选C点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12.已知双曲线左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可设，故四边形是平行四边形，且由双曲线的定义可得：，由余弦定理可得，即，借助平行四边形的性质可得，即，故双曲线的离心率，应选答案B点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立方程的依据从而使得问题获解第卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.点P从 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为_.【答案】【解析】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，即本题答案为14.展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出.【详解】因为，令，解得，所以展开式中常数项为.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.15.已知数列的前项和为，且满足：，则_.【答案】【解析】，则由可得对任意的都成立数列是等比数列，首项为2，公比为2，即故答案为16.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_【答案】【解析】由图可知：函数的最小值，又将代入得即即故答案为点睛：已知函数的图象求解析式(1) ；(2)由函数的周期求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17.如图，在中， （1）若，求和的长（结果用表示）；（2）当时，试判断的形状【答案】（1）,；（2）直角三角形.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理求得和的长；（2）由得：，结合和差化积公式得到的值，由此可以判断的形状试题解析：（1）由正弦定理得：，即， 又，即 （2）由得到：，即或或ABC是直角三角形18.茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.(1)如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果，从学习次数大于7的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）如果，直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）求出所有的基本事件共有10个，满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的基本事件有4个，根据古典概型概率计算公式求得结果试题解析：(1)当x6时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：6，7，8，11，平均数为 ，方差为s2 (68)2(78)2(88)2(118)2.(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，11，12；乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B1，B2，他们去图书馆学习次数依次为8，11；从学习次数大于7学生中选两名学生，所有可能的结果有10个，它们是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2用事件C表示：“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：A1B2，A2B2，A3B1，A3B2，故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为P(C).19.如图，多面体中，四边形是菱形，相交于，点在平面上的射影恰好是线段的中点.（）求证：平面；（）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.【答案】（）见解析;（）【解析】【试题分析】（1）运用线面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的知识及数量积公式分析求解：（）取AO的中点H，连结EH，则EH平面ABCDBD在平面ABCD内，EHBD 又菱形ABCD中，ACBD 且EHAC=H，EH、AC在平面EACF内BD平面EACF，即BD平面ACF（）由（）知EH平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyzEH平面ABCD，EAH为AE与平面ABCD所成的角，即EAH45，又菱形ABCD的边长为4，则 各点坐标分别为,E(0,0,)易知为平面ABCD的一个法向量，记=，= ,= EF/AC， 设平面DEF的一个法向量为 （注意：此处可以用替代）即 ,令，则， 平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为. 点睛：立体几何是高中数学中重要知识点与重点内容，也是高考重点考查的考点之一这类问题的设置常常有两类题型：其一是线面位置关系的推证；其二是距离角度的计算求解第一问时，运用线面垂直的判定定理进行推证；求解第二问时，则通过建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式的运算，先求两个平面的法向量，再借助向量的数量积公式进行求解，从而使得问题获解20.已知，是的导函数（）求的极值；（）若在时恒成立，求实数的取值范围【答案】（）极小值;（）【解析】试题分析：（）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g(x),即可求出的极值；（）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围试题解析：（），当时，恒成立，无极值；当时，即，由，得；由，得，所以当时，有极小值（）令，则，注意到，令，则，且，得；，得，即恒成立，故，当时，于是当时，即成立.当时，由（）可得（）.，故当时，于是当时，不成立.综上，的取值范围为点睛：本题主要考查了函数的最值，导数极其应用问题，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的应用问题，考查了推理论证能力与逻辑思维能力以及运算求解能力的应用问题，是综合性题目21.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍（）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（）求三角形的面积的最大值【答案】（）见解析;（）.【解析】试题分析：（）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（）当直线的斜率存在时，当直线的斜率不存在时，故综合的最大值为.试题解析：（），故（）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，代入椭圆方程得，设，则，由，得，得，得或或，所以过定点或，点为右端点，舍去， ，令（），当直线的斜率不存在时，即，解得，所以的最大值为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。（选修4-4：坐标系与参数方程）22.在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、（1）若，求线段的中点的直角坐标；（2）若直线的斜率为，且过已知点，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）若，直线的参数方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得，求出线段的中点的对应的，即可求线段的中点的直角坐标；（2）若直线的斜率为，且过已知点，利用参数的几何意义即可求得的值试题解析：（1）由曲线（为参数），可得的普通方程是 当时，直线的参数方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得， 得，则线段的中点对应的，故线段的中点的直角坐标为 （2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得， 则， 由已知得，故点睛：本题主要