四川省成都市龙泉第二中学2017届高三5月高考模拟考试（一）数学（理）试题（解析版）

成都龙泉第二中学2017届高考模拟考试试题（一）数学(理工类)注意事项：1.本试卷分第1卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合是实数集，则（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】由题意可得：，据此可得，表示为区间的形式即：(0,1.本题选择B选项.2.已知复数，若为纯虚数，则的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于，z为纯虚数,，解得a=1，本题选择D选项.3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若，则”的逆命题是真命题B. 命题“存在”的否定是：“任意”C. 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】试题分析：A原命题的逆命题是“若ab，则am2bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；DxR，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，即可判断出正误解：A命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am2bm2”是假命题，m=0时不成立；B命题“存在xR，x2x0”的否定是：“任意xR，x2x0”，正确；C“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；DxR，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，因此不正确故选B考点：命题的真假判断与应用4.若等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，若nN*，都有SnS10，则A. nN*，都有anan1B. a9a100C. S2S17D. S190【答案】D【解析】nN,都有SnS10，a100,a110，a9+a110，S2S17,S190，故选D.5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为m32，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了45件，则C种型号产品抽取的件数为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 45【答案】C【解析】由题意，得k2，C型号产品抽取的件数为12036考点：统计，抽样方法，分层抽样【此处有视频，请去附件查看】6.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.【此处有视频，请去附件查看】7.已知实数满足不等式组，则的最大值为A. 3B. 5C. 4D. 6【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域，目标函数表示可行域内的点与点之间连线的斜率，则目标函数在点处取得最大值：.本题选择B选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义8.执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是A. 17B. 16C. 18D. 19【答案】B【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S n循环前 0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 是 31 6第六圈 否故当S值不大于16时继续循环，故p的最小整数值为16.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证9.设随机变量B（2，p），B（3，p），若，则P（2）的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题给随机变量分布为二项分布，且它们的概率相同，则；考点：二项分布的应用10.已知函数的定义域为，对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令函数，则，则函数是单调递减函数，且满足，故不等式可化为，即原不等式的解集为，应选答案C点睛：本题求解时，充分运用题设条件中的有效信息，巧妙构造函数，借助导数与函数的单调性之间的关系先断定函数的单调 性，再将原不等式进行等价转化，依据函数的单调性建立不等式，通过解不等式使得问题巧妙获解11.在中，角，所对的边分别为，若，且为锐角，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，由余弦定理, 即，,得由题意知，,选B.点晴:本题考查的是正余弦定理及函数与方程思想的综合应用.解决本题的关键是和正弦定理得，再由余弦，解得结合，求得，又由题意知，可得.12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，p10，S，利用基本不等式，即可得出结论详解】由题意，p10，S8，此三角形面积的最大值为8故选C【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题第卷 非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.若两个非零向量满足，则向量的夹角为，_.【答案】【解析】两个非零向量满足，则，设向量与的夹角为,由题意可得：，则.14.分别是内角的对边，则面积的最大值为_.【答案】【解析】，即：,正弦定理可得2b=a+c，a+c=4，可得：b=2，16=(a+c)23ac,解得：,(当且仅当a=c=b=2等号成立,此时)，.15.已知tan=3，则的值是_.【答案】【解析】tan=3,则16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是_万元【答案】获得最大利润为27万元【解析】试题分析：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则依题意可列出x,y的不等式组，然后画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出最值即可试题解析： 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：A原料B原料甲产品吨32乙产品吨3 则有：，目标函数，不等式组表示的平面区域为四边形OABC（不包含线段OC、OA）及其内部， 如图所示，且B（3，4），而目标函数可看作是直线在y轴上的截距，显然在过点B时截距最大，且此时z最大，最大值为万元故当3，4时可获得最大利润为27万元，答：生产甲产品3吨，乙产品4吨，可使该企业获得最大利润27万元考点：线性规划求最值【方法点睛】线性规划求最值和值域的步骤：（1）作出不等式组表示的平面区域；（2）对线性目标函数进行变形，考查直线在y轴上的截距与z的大小关系；（3）确定在何处时取得最大值，何处取得最小值，并求出最值；（4）总结答案对于非目标函数的最值问题，方法基本同上，只是目标函数的几何意义不同例如：目标函数可看作是可行域内点（x,y）与点P（-1，-3）连线的斜率三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17.在中，角所对的边分别为且满足（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小【答案】（1）；（2）最大值为2，此时【解析】【详解】（1）由正弦定理得因为所以（2）由（1）知于是取最大值2综上所述，的最大值为2，此时18.如图2，四边形为矩形，平面，作如图3折叠，折痕.其中点、分别在线段、上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证CF平面MDF，只需证CFMD，且CFMF即可；由PD平面ABCD，得出平面PCD平面ABCD，即证MD平面PCD，得CFMD；（2）求出CDE的面积SCDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积VM-CDE试题解析：（1）证明：PD平面ABCD，PD平面PCD，平面PCD平面ABCD；又平面PCD平面ABCD=CD，MD平面ABCD，MDCD，MD平面PCD，CF平面PCD，CFMD；又CFMF，MD、MF平面MDF，MDMF=M，CF平面MDF；（2）CF平面MDF，CFDF，又易知PCD=60，CDF=30，CF=CD=；EFDC，即，=，考点：空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间几何体的体积计算，逻辑推论证能力，运算求解能力【此处有视频，请去附件查看】19.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.【答案】（1）0.27； （2）0.24【解析】试题分析：（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率求得，在根据投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，问题就得以解决；（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，在求出其频率，最后利用频率表示概率.试题解析：（1）设表示事件“赔付金额3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：，由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机有，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为由频率估计概率得考点：古典概型及其概率计算公式.【此处有视频，请去附件查看】20.已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.（）求点的坐标；（）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标.【答案】（）；（） 恒过定点，证明见解析.【解析】试题分析：（）到直线距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离得当且仅当时取最小值，（）解析几何中定点问题的解决方法，为以算代证，即先求出直线AB方程，根据恒等关系求定点.先设点，求出直线AP方程，与直线方程联立，解出点纵坐标为.即得点的坐标为，再根据两点式求出直线AB方程，最后根据方程对应恒成立得定点试题解析：（）设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离.当且仅当时等号成立，此时点坐标为.4分（）设点的坐标为，显然.当时，点坐标为，直线的方程为；当时，直线的方程为，化简得；综上，直线的方程为.与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.因为，轴，所以点的纵坐标为.因此，点的坐标为.当，即时，直线的斜率.所以直线的方程为，整理得.当，时，上式对任意恒成立，此时，直线恒过定点，当时，直线的方程为，仍过定点，故符合题意的直线恒过定点.13分考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：对任意的实数，都有.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，单调减区间为，单调增区间为;（2）见解析.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（）问题转化为证明，先证出，再证明令，根据函数的单调性证明即可试题解析：（1）定义域为，当时，在上单调递增，当时，令，有，0极小值所以的单调减区间为，单调增区间为.综合，当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为.（2）要证明，即证明，下面先证明：，构造函数，令得，当时，即在上单调递增，于是有，当时，从而.接下来只需证：，即证：，令，则，所以在上单调递减，上单调递增，即，时，.点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函