概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题5解.doc

习题五 大数定律和中心极限定理5.1 利用辛钦大数定律证明伯努利大数定律证明 考虑成功的概率为的次伯努利试验；以表示次伯努利试验成功的次数，则服从参数为的二项分布第次伯努利试验成功的次数服从参数为的0-1分布，；于是，随机变量独立同分布，并且数学期望存在，从而满足辛钦大数定律的条件，因此根据辛钦大数定律，此即伯努利大数定律5.2 设随机变量的阶矩存在，是独立与同分布随机变量，试证明，证明 由于独立同分布，可见也独立同分布，且存在因此，根据辛钦大数定律，有5.3 假设随机变量列两两独立并且同分布，存在，证明的算术平均值依概率收敛于（各个变量共同的）数学期望：证明 易见由切贝绍夫（切比雪夫）不等式可见，对于任意0，有5.4 设随机变量在区间上服从均匀分布，是独立与同分布随机变量，试证明，证明 由独立同在区间上服从均匀分布，可见数学期望存在：；从而独立同分布，且1存在因此，根据辛钦大数定律，有5.5 假设天平无系统误差将一质量为10 g的物品重复进行称量，证明当称量次数无限增大时，称量结果的算术平均值依概率收敛于10 g解 因为各次称量的结果可以视为独立同分布随机变量，其数学期望都等于，所以根据辛钦大数定律，当n时，n次称量结果的算术平均值依概率收敛于其共同的数学期望10 g5.6 设随机变量服从参数为的泊松分布，是独立与同分布随机变量，试证明，证明 由于独立同泊松分布，可见也独立同分布，而且数学期望存在：因此，根据辛钦大数定律，有5.7 设随机变量服从参数为的二项分布，是独立与同分布随机变量，求极限解 由于独立同服从参数为的二项分布，可见也独立同二项分布，而且数学期望存在： ，因此，根据辛钦大数定律，有5.8 假设随机变量独立同服从参数为2的指数分布，证明当充分大时，近似服从正态分布，并通过前4阶矩表示和证明 参数为2的指数分布的概率密度为，而由分部积分法可见从而；由于独立同分布，且数学期望和方差存在，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，且=，5.9 一包装工平均三分钟完成一件包装假设实际完成一件包装所用时间服从指数分布，试利用中心极限定理，求完成100件包装的总时间需要5 h到6 h的概率的近似值解 设是完成第件包装所用时间由条件知，服从指数分布，min，从而分布参数，记为完成100件包装的总时间，则T近似服从正态分布，min其中是标准正态分布函数这样，完成100件包装的总时间需要5到6 h的概率的近似等于0.47725.10 用自动包装机包装的味精，每袋净重是一个随机变量假设要求每袋的平均重量为100g，标准差为2g如果每箱装100袋，试求随意查验的一箱净重超过10050g的概率解 由条件知服从正态分布以表示一箱的100袋中第袋的净重，则根据列维-林德伯格定理，随机变量之和近似服从正态分布因此5.11 将一枚均匀对称的硬币掷10000次，求正面恰好出现5000次的概率的近似值解 以表示正面出现的次数，则服从参数为的二项分布，其中，故根据棣莫弗-拉普拉斯局部定理，有5.12 一计算机有150个终端，每个终端在一个小时之内平均有6 min使用打印机，假设各终端使用打印机与否相互独立，求至少有20台打印机同时使用的概率解 由题意知，每一终端在某一时刻使用打印机的概率以表示同时使用的打印机的台数，则服从参数为的二项分布，标准差根据棣莫弗-拉普拉斯定理，近似服从正态分布因此5.13 以往春季商品交易会上，某企业在所接待的客户中下定单的客户占30%假定今年下定单的比率不变，试求在所接待的90个客户中，(1) 恰好有27个客户下定单的概率；(2) 有1530个客户下定单的概率解 以X表示所接待的客户中下定单的客户数可以认为X服从参数n=90和 p=0.30的二项分布，由于n=90充分大，则根据棣莫佛-拉普拉斯定理，近似地X(1) 由棣莫佛-拉普拉斯局部定理，知；(2) 由棣莫佛-拉普拉斯积分定理，有5.14 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率解 记随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则服从二项分布，参数为n=200，p=0.60；由于n=200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地5.15 在某地区抽样调查残疾人比率问至少需要调查多少人，才能以不小于的概率使被调查人中残疾人的比率对的绝对偏差不大于1%分别取0.05和0.10；假设，(1)=3.1%；(2)5%解 记在被调查的人中残疾人数，则服从参数为的二项分布对于充分大的，根据棣莫佛-拉普拉斯定理，近似地；其中是标准正态分布函数，是标准正态分布水平双侧分位数因此 （*）(1) 当 =3.1%时，对于0.05和0.10，由附表3得=1.96和=1.6449；由式（*），对于0.05和0.10，分别有即这时相应地至少需要调查1154人和813人(2) 当时，对于0.05和0.10，由附表3得=1.96和=1.6449；由式（*）并注意到，对于0.05和0.10，分别有即这时相应地至少需要调查1825人和1286人5.16 假设根据统计资料，男孩出生率为0.515，女孩的出生率为0.485，试根据棣莫弗-拉普拉斯定理，求在10000个新生婴儿中男孩不多于女孩的概率的近似值解 以表示在10000个新生婴儿中男孩的人数，则服从参数为的二项分布，其中=10000， =0.515，且由棣莫弗-拉普拉斯定理，知由于n=10000充分大，故随机变量近似服从标准正态分布因此由附表1，可得5.17 以表示在全社会从业劳动者中，第三产业劳动者的比重；表示在抽样调查的名从业劳动者中，第三产业劳动者的比重(1) =1000，=18%，求对的绝对偏差小于2%的概率(2) =1000，=18%，=0.95，求满足的最小(3) =18%，=2%，问为使，至少要进行多少次抽样？解 设表示在抽样调查的名从业劳动者中第三产业劳动者的人数，则服从参数为的二项分布；=/n根据棣莫弗-拉普拉斯定理，当n充分大时，近似地 (1) 设=1000，=18%，有 (2) 设=1000，=18%，=0.95，由上面的式子，可见(3) 设=18%，=2%，且满足由(2)可见5.18 根据孟德尔遗传律 孟德尔（G.J.Mendel，18221884）奥地利遗传学家，红、黄两种番茄杂交的第二代结红果植株与结黄果的植株的比例为3:1假设种植杂交种400株，试求黄果植株在83到117之间的概率的近似值解 观察400株各结什么颜色的果实，可以视为400次伯努利试验，试验次数，“成功”（结黄果）的概率，“失败” 的概率以表示结黄果的株数，则服从参数为的二项分布；由于充分大，故根据棣莫弗-拉普拉斯定理，近似服从正态分布，其中因此（B）5.19 假设随机变量列两两独立并且同分布，而且数学期望和方差存在，证明，即n个变量的算术平均值依概率收敛于（各个变量共同的）数学期望证明 易见由切贝绍夫不等式，可见对于任意给定的，有于是，对于任意给定的，有5.20 设随机变量独立同在区间a, b上均匀分布，是区间a, b上的连续函数，证明证明 由独立同分布，可见独立同分布；因为的概率密度同为，所以 因此，根据辛钦大数定律，对于任意给定的，有5.21 假设随机变量满足条件：对于存在，且，证明解 对于任意给定的，由切贝绍夫不等式，当时可见此即5.22* 假设随机变量列依概率收敛于随机变量X，而且也依概率收敛于Y，证明证明 根据条件，因此，对于任意给定的，当时，有从而，对于任意给定的，0，故对于任意正整数由此可见于是 ，即5.23* 假设随机变量列依概率收敛于随机变量X，而随机变量列依概率收敛于随机变量Y，证明随机变量列依概率收敛于XY证明 对于任意给定的，当时，有于是5.24 设，证明证明 设独立同服从参数为1的泊松分布，则由独立同泊松分布随机变量的和仍然服从泊松分布，知服从参数为的泊松分布且；因为，则由列维-林德伯格定理，可见其中是标准正态分布函数5.25 生产线组装每件产品的时间服从指数分布统计资料表明，每件产品的平均组装时间为10 min假设各件产品的组装时间互不影响(1) 试求组装100件产品需要15 h到20 h的概率；(2) 求以概率0.95在16 h内最多可以组装产品的件数解 以表示第件产品的组装时间由条件知独立同服从指数分布由指数分布的数字特征和条件“每件产品的平均组装时间为10 min”，可见；由于服从指数分布，可见(1) 因为n=100充分大，故由列维-林德伯格定理，知100件产品组装的时间近似服从正态分布，因此其中是标准正态分布函数(2) 16 h等于960 min需要求出满足的n由列维-林德伯格定理，知当n充分大时，近似服从正态分布，因此由附表1或附表2，可见因此 (*)其解为，其中不满足式（*），因此为增根，故应舍去于是，以概率0.95在16h内最多可以组装81或82件产品5.26 将一枚均匀对称的硬币独立地掷=12000次，设是正面出现的次