上海市格致中学2017届高三上学期12月月考数学试题（解析版）

格致中学高三月考数学试卷一填空题1.已知复数,则复数的虚部为_.【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可求解.【详解】复数,则复数的虚部为，故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于容易题.2.已知集合，则等于_【答案】【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的性质，化简，再利用两个集合的交集的定义求出【详解】解：集合，故，故答案为：【点睛】本题考查了集合的交集及其运算以及指数函数、幂函数的性质，属于基础题3.已知，则_【答案】【解析】【分析】直接利用向量的数量积求解即可【详解】解：，则故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题4.不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】不等式，可得，即可得出结论【详解】解：不等式，可得，不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查了其他不等式的解法以及一元二次不等式的解法，属于基础题5.函数图象的一条对称轴是直线，则_【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为，（）求解即可【详解】解：函数，其对称轴方程为，（）图象的一条对称轴是直线，即，（），当时，可得故答案为：【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，需熟记正弦函数的性质，属于基础题6.已知函数是偶函数，的奇函数，它们的定义域为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由不等式可知，的函数值同号，观察图象选择函数值同号的部分，再由是偶函数，是奇函数，得到是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集【详解】解：，由不等式，可知，的函数值同号，即根据图象可知，当时，其解集为：，是偶函数，是奇函数，是奇函数，当时，的解集为：，综上：不等式的解集是，故答案为【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质、函数的图象以及分式不等式的解法，属于基础题7.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为_【答案】16【解析】【分析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案【详解】解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4由俯视图，可得四棱锥的底面的长为6，代入棱锥的体积公式，我们易得，故答案：16【点睛】本题考查了三视图还原几何体、求四棱锥的面积、体积8.已知动点符合条件，则范围为_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，设，利用的几何意义即可得到结论【详解】解：设，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，由图象可知，或的取值范围：，故答案为：【点睛】本题考查了简单线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域以及理解目标函数的几何意义，属于基础题9.在的展开式中有_项为有理数【答案】9【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出【详解】解：通项公式：当与都为整数且为整数时，为有理数，则展开式中有9项为有理数故答案为：9【点睛】本题考查了二项式系数的性质，需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题10.若，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域内的椭圆的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆在矩形区域内可得且，算出满足条件的的个数后根据概率公式可求概率.【详解】因为，故的不同取法总数为.因为椭圆在矩形区域内，故且，所以椭圆在矩形区域内的的不同取法总数为，设为事件“该方程表示的曲线为落在矩形区域内的椭圆”，则.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，解决此类问题的关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计数时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用计数原理或排列组合的方法来计数（个数较大时）.11.若关于的方程，（且）有解，则的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】先换元，分离参数，结合基本不等式，即可求m的取值范围【详解】解：设，当且仅当时取等号， ，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查了分离参数法求参数的取值范围，考查了基本不等式求最值，属于中档题12.已知正方体棱长为1，动点在此正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则关于的方程的解集为_【答案】【解析】【分析】根据条件确定的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论【详解】解：的轨迹为以为球心，为半径的球面与正方体的交线当时，当时，轨迹长度由减小到增加;之后逐渐减小，由于，关于的方程的解集为，故答案为【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，属于中档题二选择题13.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可【详解】解：“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题14.已知,满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为,满足，且，则，所以一定成立；又因为，所以，即一定不成立；因为是否为不确定，因此也不一定成立；因为，所以一定成立.故选C【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，熟记不等式性质即可，属于常考题型.15.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；【详解】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值对A：，此时不是固定值，故舍去；对B：，此时不是固定值，故舍去；对C：，正确；对D：，此时不是固定值，故舍去；故选：C.【点睛】本题考查了某点切线方程以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于中档题16.已知函数（，为常数，）的图象关于对称，则函数是（ ）A. 偶函数且它的图象关于点对称B. 偶函数且它的图象关于点对称C. 奇函数且它的图象关于点对称D. 奇函数且它的图象关于点对称【答案】D【解析】【分析】根据函数的对称性求出，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可【详解】解：函数的图象关于直线对称，平方得，即，则，则，又，则为奇函数，且图象关于点对称，故选：D【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质以及辅助角公式、诱导公式，需熟记性质和性质，属于基础题17.对于正整数，定义“”如下：当为偶数时，；当为奇数时，；则：；的个位数是0；的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】利用定义“”及其“”的定义即可得出【详解】解：，正确；，正确；的个位数是0，正确；的个位数是5；上述命题中，正确的命题有4个故选：D【点睛】本题主要考查排列数公式，考查了学生的知识迁移能力，属于中档题18.在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足与所成角为的点的个数为（ ）A. 0B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点的个数【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长，0，1，在中，因此同理，与所成的角都为故当点位于（分别与上述棱平行或重合）棱，上时，与所成的角都为，不满足条件；当点位于棱上时，设，则，1，若满足与所成的角为，则，化为，无正数解，舍去；同理，当点位于棱上时，也不符合条件；当点位于棱上时，设，则，1，若满足与所成的角为，则，化为，解得，满足条件，此时点同理可求得棱上一点，棱上一点而其它棱上没有满足条件的点综上可知：满足条件的点有且只有3个故选：【点睛】本题主要考查了通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键,属于难题.三解答题19.如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，；（1）求四棱锥体积；（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）求出，由此能求出四棱锥的体积（2）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角【详解】解：（1）四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，四棱锥的体积（2）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，则，故，异面直线与所成角为【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式，异面直线所成的角可采用空间向量法进行求解20.函数和的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点，且.（1）设曲线，分别对应函数和，请指出图中曲线，对应的函数解析式，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（2）若，且、，求、的值.【答案】(1)答案见解析;(2)，.【解析】【分析】（1）由函数的特征可知对应的函数为，对应的函数为，将不等式进行恒等变形可得的取值范围是；（2）令，易知，为函数的零点，结合函数零点存在定理可得，.【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为，则对任意恒成立，所以；（2）令，则，为函数的零点，由于，则方程的两个零点，因此整数，.【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数图象的识别，函数零点存在定理及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.（）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段，为直径的圆内，求实数的取值范围.【答案】（），（）【解析】【详解】（）直线：经过，得又，故直线的方程为（）设，由消去得，由，得，由于，故为的中点由分别为的重心，可知，设是的中点，则，原点在以线段为直径的圆内，而，即又且，的取值范围是【此处有视频，请去附件查看】22.如图一块长方形区域，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】（1）当时，在上，在上，当时，、都在上，；（2）当时，由于，所以当时，；（3）在“一个来回”中，共转动了，其中点被照到时，共转动了，点被照到的时间为分钟.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.设函数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.【答案】(