数学人教版九年级下册28.2.1.doc

28.2.1解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.【重点】理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.【难点】理解并掌握解直角三角形的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习、记忆特殊三角函数值.导入一:【复习提问】1.在RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,A,B这五个元素之间有哪些等量关系呢?【学生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五个元素之间的关系.【课件展示】(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系:A+B=90;(3)边角之间关系:sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab.2.回忆30,45,60角的正弦、余弦、正切值.导入二:在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在RtABC中,C=90,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求A的度数.【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评.sin A=BCAB=5.254.50.0954.利用计算器可得A528.【追问】在RtABC中,你还能求出其他的边和角吗?【师生活动】学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题.过渡语一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.在直角三角形中,已知三角形的一些边角元素,我们可以求解直角三角形中的其他元素,什么情况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容.设计意图通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.一、共同探究思路一探究: (1)在RtABC中,A=60,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(2)在上图中,若AC=2,BC=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(3)在上图中,若A=60,B=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?【师生活动】小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的回答进行汇总归纳.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:已知两条边;已知一条边和一个锐角.思路二【思考】如图所示,在RtABC中,C=90,已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素?(1)已知直角三角形中的一个元素,能求其他元素吗?(2)已知直角三角形中的两个元素,有几种可能的情况?(一边和一角、两边、两角)(3)举例说明已知直角三角形的两个元素,怎样求其他元素?(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗?具体解法步骤是什么?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:已知两条边;已知一条边和一个锐角.(4)解直角三角形的步骤:图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边,一直角边(如c,a)(1)b=c2-a2(2)由sin A=ac求A(3)B=90-A两直角边(a,b)(1)c=a2+b2(2)由tan A=ab求A(3)B=90-A一边一角斜边,一锐角(如c,A)(1)B=90-A(2)由sin A=ac,得a=csin A(3)由cos A=bc,得b=ccos A一直角边,一锐角(如a,A)(1)B=90-A(2)由tan A=ab,得b=atanA(3)由sin A=ac,得c=asinA设计意图学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.二、例题讲解(教材例1)如图所示,在RtABC中,C=90,AC=2,BC=6,解这个直角三角形.教师引导分析:(1)已知线段AC,BC是A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?(2)已知A的三角函数值可以求A的度数吗?(3)已知A的度数怎样求B的度数?(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?【学生活动】思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.【课件展示】解:tan A=BCAC=62=3,A=60,B=90-A=90-60=30,AB=2AC=22.(教材例2)如图所示,在RtABC中,C=90,B=35,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).教师引导分析:由B=35,可得A=;由B=35及它的对边b=20,根据可得a=;由B=35及它的对边b=20,根据可得c=.【追问】你还有其他方法求c的值吗?【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.【课件展示】解:A=90-B=90-35=55.tan B=ba,a=btanB=20tan 3528.6.sin B=bc,c=bsinB=20sin 3534.9.设计意图通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.知识拓展(1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:锐角之间的关系:A=90-B,B=90-A.三边之间的常用变形:a=c2-b2,b=c2-a2,c=a2+b2.(3)边角之间的常用变形:a=csin A,b=ccos A,a=btan A,a=ccos B,b=csin B,b=atan B.(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则.(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.1.解直角三角形的概念2.直角三角形中五个元素之间的关系:(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系:A+B=90;(3)边角之间关系:sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab.3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:(参考前面表格)1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:(1)两条边的长度;(2)两个锐角的度数;(3)一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)解析:能解的直角三角形有两种:已知两边;已知一边和一锐角.故选B.2.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()A.csin A=aB.bcos B=cC.atan A=bD.ctan B=b解析:由a2+b2=c2,得C=90,sin A=ac,cos B=ac,tan A=ab,tan B=ba,csin A=a,ccos B=a,btan A=a,atan B=b.故选A.3.在RtABC中,C=90,B=30,BC=6,则AB的长为.解析:cos B=BCAB=32,BC=6,AB=BCcosB=43.故填43.4.根据下列条件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,b=4,c=8;(2)在RtABC中,C=90,A=60,a=12.解:(1)C=90,b