6.1微分中值定理.doc

数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 第六章 微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具.另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理.本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.6.1 微分中值定理教学章节：第六章 微分中值定理及其应用6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系.教学重点：中值定理.教学难点：定理的证明.教学方法：系统讲解法.教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧的函数是y=f(x),xa,b的图像,点P的横坐标为.如点P处有切线,则f(x)在点处可导,且切线的斜率为;另一方面,弦AB所在的直线斜率为,曲线y=f(x)上点P的切线平行于弦AB.撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于,故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理.剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果y=f(x)在a,b上不连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P存在,曲线弧至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.二、中值定理Lagrange中值定理 若函数f满足以下条件：（1）f在a,b上连续;（2）f在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点,使得.特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle定理：Rolle定理 若f满足如下条件：（1）fa,b;（2）f在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b),则存在(a,b),使得.如把曲线弧用参数方程函数,则可得出以下中值定理：Cauchy定理 若函数f,g（xg(u),yf(u),ua,b）满足如下条件：（1）;（2）f,g在(a,b)内可导;（3）至少有一个不为0;（4）g(a)g(b).在存在(a,b),使得.说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang：可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),xa,b,则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.（2）三个定理关系如下：（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立.但仍可知有的情形发生.如y=sgnx,x-1,1不满足Rolle定理的任何条件,但存在无限多个(-1,1),使得.（4）Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.中值公式有不同形式：（）f(b)-f(a)=(b-a) ,(a,b);（）f(b)-f(a)=,01;（）f(a+h)-f(a)=,01. 此处,中值公式对ab均成立.此时在a,b之间;（）、（）的好处在于无论a,b如何变化,易于控制.三、极值定义3（极值） 若函数f在区间I上有定义,.若存在的邻域,使得对于任意的,有,则称f在点取得极大值,称点为极大值点.若存在的邻域,使得对于任意的,有,则称f在点取得极小值,称点为极小值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.注 1、极值是局部性概念,若是极值,是和点附近的函数值比较而言的,和离较远的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念.2、闭区间a,b上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;若（）是函数的最值,则一定是极值.（即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.）极值存在的必要条件费马（Fermat）定理费马定理 若函数在点的邻域内有定义,且在点可导.若为f的极值点,则比有.（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于x轴）,称满足方程的点为稳定点.证明 无妨设为极大值,则当时,且时,有 令,得. 当时,有 .令,得,由此推得.Fermat 定理表明导数为0是极值必要条件,但是如果,那么它能达到最大值,如果它又可导,在内只有一个根,则比较,就可定出最大值.由费马定理可知, 可导极值点是稳定点,反之不然.如,点x=0是稳定点,但不是极值点.达布（Darboux）定理（导函数的介值定理） 若函数f在a,b上可导,且,k为介于和之间的任一实数,则至少存在一点,使得.四、中值定理的证明(一) Rolle定理证明 因为,在上有最大值与最小值,如果,则,这时,可取中任意一点作为,如果,其中至少有一个不等于.不妨设,我们假定在取到最大值,即为一个极值点,且存在,由 Fermat 定理,.(二) Lagrange中值定理证明 作辅助函数 ,它有明显几何意义,即它表示连接三点的三角形面积之二倍,那么,在可导,且,用Rolle定理,使得,即, .辅助函数造法很多,比如可以用以下方法 , , .然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理.注释 量表示连接两点和的弦的斜率,不管还是都对.Lagrange定理表明存在中一点,使恰等于这个斜率,Lagrange定理也称Lagrange公式,它也可以写成,其中介于与之间,它可以看成用线性函数在局部对的逼近.它还可写成 , ,其中,.这里,只要指出满足.当时,得.当时, ,得.(三) Cauchy定理证明 对和分别应用Lagrange定理,我们可得,这里与可能不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的.作函数 ,它的几何意义是在参数曲线 上,三点 连成的三角形面积之二倍.则满足Rolle定理条件,故,使得,即,得证.注1与Lagrange定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用 .注2 时,Cauchy定理推出Lagrange定理.注3 不管还是,Cauchy定理都可写成 ,其中,.五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步(一) Rolle定理的推论若f在,上连续,在(,)内可导,则存在,使得（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）.(二) Lagrang定理的推论推论1 若函数f在区间I上可导,且,则f为I上的一个常量函数.证明 Lagrange定理给出,由此得.几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线.简单应用：证明：（1）在-1,1上恒有：, （2）在上恒有：推广 若f(x)在区间a,b上连续,且在（a,b）中除有限个点外有,则f在I上是常数函数.推论2 若函数f和g均在I上可导,且,则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数,即存在常数C,使得.证明 对应用推论1即得.推论3 （导数极限定理）设函数f在点的某邻域内连续,在内可导,且存在,则f在点可导,且.应用一：关于方程根的讨论（存在性）主要应用Rolle定理例1 设f为R上的可导函数,证明：若方程没有实根,则方程f(x)=0至多只有一个实根.例2 设f,在连续可微,在（a,b）二阶可微,且,证明：在(a,b)中至少有一个根.例3 已知,证明：至少有一正实根.例4 设,证明于（0,1）中至少有一根.应用二：证明中值点的存在性: 例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得 .证 在Cauchy中值定理中取. 例2 设函数在区间上连续, 在内可导, 且有.试证明: .例3 设f在a,b（a0）上连续;在(a,b)内可导,则存在(a,b),使得f(b)-f(a)=.例4 设,证明：满足.应用二：用中值定理证明公式例1 证明：对一切h-1,h0有公式例2 证明：当ab0时,.例3 证明：,.例4 设f在0,a一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数M使,又设f在(0,a)存在稳定点c,证明：.例5 设函数和可导且又 则 .证明 . 例6 设对,有,其中是正常数,则函数是常值函数. (证明 ).例 7 证明: 若上连续,在内可导,且,则,使得 . (1)分析 先把上面(1)