数学悖论的影响和作用2

编号编号 数学的悖论及其影响和作用数学的悖论及其影响和作用 学生姓名 学 号 系 部 专 业 年 级 指导教师 完成日期 年 月 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS I 中文摘要 数学悖论是在数学发展中危及数学理论体系的逻辑基础的根本矛盾 数 学悖论虽然给数学带来了恐慌和危机 但是它也促进了数学和其他自然科学 的发展 并对数学教学产生了积极的影响和作用 关键词 数学悖论 自然科学发展 数学教学 影响和作用 Abstract 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS II 目录目录 中文摘要中文摘要 I ABSTRACTABSTRACT I 引言引言 1 1 1 悖论的概念及产生悖论的概念及产生 2 1 1 悖论的概念 2 1 2 悖论产生的根源 2 1 3 悖论的特征 3 1 3 1 相对存在性 3 1 3 2 悖论是一种特殊的逻辑矛盾 3 1 3 3 可解决性 3 1 3 4 创新性 3 2 2 数学悖论的影响及作用数学悖论的影响及作用 5 2 1 数学史上三个著名的悖论的产生 消除和历史意义 5 2 1 1 毕达哥拉斯悖论 5 2 1 2 贝克莱悖论 6 2 1 3 罗素悖论 7 2 2 数学悖论对数学发展的重要作用 8 2 3 数学悖论对数学教学中的教育作用和影响 9 2 4 数学悖论对其他自然科学发展的影响 10 3 3 数学悖论的发展方向数学悖论的发展方向 12 参考文献参考文献 13 致谢致谢 14 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言 数学历来被视为严格 和谐 精确的学科 纵观数学发展史 数学的发展 从来不是完全直线式的 它的体系不是永远和谐的 而常常出现悖论 悖论在 数学理论中的发展是一件严重的事 因为它直接导致了对于相应理论的怀疑 而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话 这种怀疑情绪又可能发展成为普 遍的危机感 特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及 对数学可靠性信仰的动摇 数学史上的三次危机 每次都是由一两个典型的 悖论引起的 数学发展的历史表明数学基础的深入研究和悖论的发现与相对解 决有着十分密切的关系 每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容 新 认识 甚至是革命性的变化 使数学体系达到新的和谐 数学理论得到进一 步深化和发展 悖论的存在反映了数学的概念 原理在一定历史阶段会存在很 多矛盾 而事物就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的 旧的矛盾解决了 新 的矛盾还会产生 数学家对悖论的研究和解决也促进了数学的繁荣和发展 可 见数学中悖论的产生 不单是给数学带来危机和失望 也给数学的发展带来 新的生机和希望 因此 对数学悖论的研究可以更好的理解数学悖论的双重性 树立正确的认识观 本文重点研究数学悖论对数学学科 对数学教育教学及其他自然科学的 影响和作用 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 1 悖论的概念及产生 1 11 1 悖论的概念悖论的概念 悖论 一词来自希腊文 是超出 违反 对抗之意和料想之意的合称 笼统地讲 悖论是逻辑学的名词 是指一种导致矛盾的推理过程 中国大百 科全书哲学卷曾这样定义悖论 1 指由肯定它真 就推出它假 由肯定它假 就推出它真的一类命题 这类命题也可以表述为 一个命题A 若肯定A 就推出非A 反之 若肯定非A 又可以推出A 悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的 诡辩 谬论不仅从公认的理 论上看是错误的 而且通过已有的理论 逻辑可以论证其错误的原因 而对 于悖论虽然感到不妥当 但从它所在的理论体系内 却不能阐明其错误的原 因 可见悖论对于它所在的历史阶段与科学理论体系而言是解释不了的矛盾 数学悖论是指一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论 数学悖论 有三种主要形式 1 一种论断看起来好像肯定错了 但实际上却是对的 2 一 种论断看起来好像肯定正确 但实际上却是错了 3 一系列推理看起来几乎 无懈可击 可是却导致逻辑上自相矛盾 1 21 2 悖论产生的根源悖论产生的根源 由于数学悖论产生的根源在于人们认识上的局限性 因此在数学发展过 程中发现悖论就是必然的 不可避免的 事实上 人们一旦发现具体的悖论 就可以通过对悖论的分析 找出存在的问题 然后通过严格限制 进行逻辑 上的重新构建 从而消除已发现的悖论 20 世纪后 数学家们曾设想为消除数学悖论做出一劳永逸的努力 然而 哥德尔不完全定理的发现使这种设想彻底破灭 数学悖论所造成的危机确实可 以消除 但想从原则上解决是不可能的 人们又一次陷入了潜无限永远不能 达到目的的矛盾之中 数学的无矛盾性和完备性的严格演义结构只是某种理想状态 现实世界 中除了运动着的物质客体 它的属性及其关系外 什么也不存在 因此 主观 反映客观时就不能在理论上偏离这种理想状态 从而必然产生矛盾 虽然这些 矛盾未必都能形成悖论 但从认识的过程上 发现悖论却是一种必然现象 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 1 31 3 悖论的特征悖论的特征 1 3 1 相对存在性 一方面 由于科学的无止境性 自相矛盾的系统将和科学理论体系永远 并存 它从前有 现在有 将来仍然有 所以说 悖论是永远存在的 另一 方面 悖论只是产生并存在于人类思维及其产物中 客观物质世界的本质及 规律并不因为人类意识中的矛盾有丝毫改变 因此 悖论只与人的思维方式 和理论有着密切的联系 1 3 2 悖论是一种特殊的逻辑矛盾 科学理论中的 逻辑矛盾 有层次之分 表层的是普通的逻辑矛盾 可 以凭借实验 经验和思辨 在不触动科学理论 硬核 的情况下 清除矛盾 并弥合它们对科学理论整体造成的缝隙 深层的是特殊的逻辑矛盾 这是在 普通的逻辑矛盾被清理之后又显现出来的关涉科学理论体系核心假说可信与 否的逻辑矛盾 这种矛盾常常危及科学理论的 硬核 悖论就是这样一种 特殊的逻辑矛盾 1 3 3 可解决性 人类思维应该没有悖论 应消除悖论 然而 由于现阶段人类思维与大 自然的割裂性 人所构造的思维及其符号系统必然会有悖论 所以悖论研究 应该是通过深入分析 找出人所构造的思维系统或符号系统的起始基点 明 确其向另一方向解释的两重性和可能性 限定其有效性范围 制定对本系统 的理解和使用规则 避免因误解 误用而引起的思维纷争 许多悖论都是由 系统构造基点本身引起的 只有跳到系统外 从整体上去审视该系统的特点 才能解决 局限于系统内是难以解决的 在对人所构造的思维系统或符号系 统基点研究的基础上 可以进一步研究系统或学科的扩展 或不同系统或学 科的融通 这样 原来系统的基点就不再是基点 而成了更大的系统的子系 统中的东西 从而 悖论也就在更大的系统中得到了解决 1 3 4 创新性 科学史实已经表明 在科学发展极为迅速的20世纪 凡是获得重大创新 的领域都与悖论问题紧紧地联系在一起 数学基础领域的巨大成就与1900年 前后发现的布拉里福蒂悖论 康托尔悖论 罗素悖论等一系列集合论悖论联 系在一起 物理学领域的重大发展则与光速悖论密切相关 甚至在社会经济 领域 从法国社会学家孔多塞等人发现的 投票悖论 到肯尼斯 阿罗获 得诺贝尔经济学奖 也都与悖论问题有着重要关联 悖论之于科学理论创 新的作用已经得到充分彰显 因此 有意识地发现悖论 进而分析并解决悖 论应当是我们从逻辑理性层面创新科学理论的一个重要维度 悖论的提出是 科学理论的发展和进步 悖论的解决更是一种科学理论的创新 通过悖论的 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 消解而自我超越 往往使理论发生革命性的重大变革 2 数学悖论的影响及作用 2 12 1 数学史上三个著名的悖论的产生 消除和历史意义数学史上三个著名的悖论的产生 消除和历史意义 2 1 1 毕达哥拉斯悖论 这一悖论是公元前 5 世纪古希腊毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯提出的 当时 毕达哥拉斯学派在探索宇宙奥妙时认为 宇宙间万事万物的规律都能 能用整数或整数之比 分数 表示出来 即所谓 万物皆数 他们用这种观 点去研究直角三角形三边的关系 发现 222 abc 其中 为直角边 为斜边 之比为整数比 这就是著名的勾股abcabc 定理 可是希帕索斯用这个定理研究等腰直角三角形 正方形的一半 时 却 出现了问题 因为 由 ab 222 abc 22 2ac 2 2 2 c a 2 c a 就是说 他发现正方形一边长与对角线长之比不是整数或整数比 而是 一个很奇怪的 与已有理数不符的数 因为按 万物皆数 的 数 只是整 数和分数的观点 它是不应该存在的 这就是说 正方形的对角线没有长度 所以 的发现 使数只能是整数和整数比这一观点能否成立成了问题 2 毕达哥拉斯悖论的发现对古希腊数学思想给予了极大地冲击 导致了数 学史上的第一次危机 人们由此发现几何学的某些真理与算术无关 几何量 不能完全由整数及其比来表示 但数却可以用几何量表示出来 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 一直到 18 世纪 当数学家证明了圆周率是无理数时 拥护无理数存在的 人才多起来 到 19 世纪下半叶 现代意义上的实数理论建立起来后 无理数 本质被彻底搞清 他们在几何学中允许正方形对角线长这样的几何量存在 但在代数学中避免这样的无理数出现 2 希帕索斯的发现 促使人们进一步去认识和理解无理数 同时也告诉人 们直觉和经验不一定靠得住 真正可靠地是逻辑推理 但是 基于生产和科 学技术的发展水平 毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可 能建立严格的无理数理论 他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度 放弃对数的算术处理 代之以几何处理 从而开始了几何学优先发展的实际 在此之后两千年间 希腊的几何学几乎成了全部数学的基础 当然这种将整 个数学捆绑在几何上的狭隘作法 对数学的发展也产生了不利的影响 2 1 2 贝克莱悖论 这一悖论是英国著名的唯心主义哲学家贝克莱大主教提出的 他不是数 学家 却一针见血的指出了 17 18 世纪在科学和生产实践中都获得了广泛应 用的微积分理论的漏洞 微积分的思想我们早已有过体验 为求圆的面积 我们把画在硬纸板上的圆分成若干等份 剪开后用这些近似等腰三角形的小 纸片拼成一个 近似 长方形 随着分成的小纸片数越来越多 每个小纸片 就越来越小 它们的面积之和就越来越接近长方形的实际面积 因而得出圆 的面积 所以 这种无限细分 极限求和的微积分思想是建立在无穷 2 sr 小计算基础上的 英国大主教贝克莱在 1734 提出质疑 他说 牛顿先认为 无穷小量不是零 然后又让它等于零 这违背了背反律 牛顿所得的变化率 实际上是 它既不是有限量 也不是无穷小量 但又不是 无 只不过是 0 0 消失了量的鬼魂 2 由于无限小悖论的存在 牛顿 莱布尼兹的微积分是 不严格 的 这 一严格性问题于19世纪末已经解决 柯西建立了严格的极限理论 引进了 定义 根据极限论从 2 y xx x 推得 2 dy x dx 用的是极限运算 limlim 2 lim 2lim202 xxxx dyy xxxxxx dxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 根据极限定义 极限并无 到达 的意思 因此的意思就是说0 x 无限趋近 于极限 0 而不是说变量最终必能达到其极限 0 所以x x 是否等于零的问题就避开了 无限小悖论也就不存在 x 贝克莱悖论引发了第二次数学危机 使数学家认识到当时的数学是直观 的 不严密的 理论基础是不牢固的 发现直观及几何的思考不可靠 而必 须诉诸严格的概念及推理 从而更深入地探讨数学分析的基础问题 导致集 合论的产生及把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题 2 1 3 罗素悖论 由于严格的实数理论和极限理论的建立 上述两次数学 危机 得到了 解决 但是 由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的 因而 由集合论悖论所导致的第三次 危机 可以看作是前两次危机的继续与深 化 它所涉及的问题比前两次更为广泛 因而危机感也更为深刻 1902 年 英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素 B Russell 1872 1970 宣布了一条惊人的消息 集合论是自相矛盾的 并不存在什么绝对 的严密性 史称 罗素悖论 1918 年 罗素把这个悖论通俗化 成为 理 发师悖论 一个理发师声称将给城里所有不给自己理发的人理发 他应否给 自己理发 可以证明 他应给自己理发 又不应给自己理发 罗素悖论的发 现 从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性 于是在数学和逻辑学 界引起了一场轩然大波 形成了数学史上的第三次危机 罗素悖论 以S表示所有不以自身为元素的集合的全体 按照集合论的概 括原则 构成集合的原则 S应该是一个集合 现在问S是否是S的一个元素 如果S S 则按照S的定义应有S不属于S 如果S不属于S 则按S的定义又应 有S S 无论哪种情况都导致矛盾 罗素悖论动摇了集合论 也动摇了当时 的数学基础 罗素悖论表明不能无条件承认概括原则 然而概括原则的改变 将使集合论大为改观 因此对整个数学的影响是巨大的 为了排除集合论悖论 罗素提出了类型论 策梅罗提出了第一个集合论 公理系统 后经弗伦克尔加以修改和补充 得到常用的策梅罗 弗伦克 尔集合论公理体系 以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化 得到伯奈 斯 哥德尔集合论公理体系 希尔伯特还建立了元数学 作为对集合论 悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理 哥德尔不完全性定理无可辩驳 地揭示了形式主义系统的局限性 从数学上证明了企图以形式主义的技术方 法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性 它实际上告诉人们 任何想要为数 学找到绝对可靠的基础 从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的 哥 德尔定理是数理逻辑 人工智能 集合论的基石 是数学史上的一个里程碑 时至今日 第三次数学危机还不能说已从根本上消除了 因为数学基础 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决 然而 人们正向根本 解决的目标逐渐接近 在这个过程中还将产生许多新的重要成果 如概率论 3 集合论悖论的发现 构成了20世纪初数学基础方面的批判性检查运动的 直接导火线 特别是这些悖论只涉及到集合 属干 所有性质与集合的关系 无穷这些数学中天天必用的最基本的概念 所以它们的发现 不仅震撼了数 学界 同时也使西方逻辑学界和哲学界大为震惊 人们经过认真反思 发现 它们的共同特征是 自我涉及 矛盾产生于总体 新的类产生出来了 但 它既是又不是原来的总体 集合论悖论使数学家们看到了集合论自身的矛盾 迫使数学家去寻求解决的办法 从而为产生新的理论留下了余地 促进了公 理化方法论和数理逻辑等新学科的产生 为电子计算机的诞生和发展莫定了 必要的基础 2 2 数学悖论对数学发展的重要作用数学悖论对数学发展的重要作用 数学悖论有时表现为一种带根本性的奇异的反常问题 它所给出的结果 与人们的传统数学观念相对立 使人感到困惑不解 而勇于探索的数学家则 抓住这一契机 为了解决问题 他们摆脱传统观念的束缚 在深化认识的基 础上 创立起全新的数学概念和数学思想 导致数学的重大进步 由此可见 虽然数学悖论的发现本身并不能算作什么重要的数学成果 但它对于人们认识的深化 数学思想的发展却产生了积极地影响 人们在研 究 排除数学悖论的进程中 突破了传统的数学观念的束缚 超越了原有的 数学理论系统 创立起全新的数学理论 对数学的认识在更宽广的范畴内达 到了新的和谐与完美 例如 使关于数的信条及以数为基础的宇宙模型破产的毕达哥拉斯悖论 毕达哥拉斯悖论使希帕苏斯发现了无理数 这是人类认识数的发展史上的一 次飞跃 柏拉图鉴于以数为基础的宇宙模型的破产 提出以几何为基础来建 立宇宙模型的设想 他把推理法则进行了系统化 强调概念和推理 对数学 进行了抽象化和逻辑化 然后柏拉图的学生恩多克斯用公理化方法创立了新 的比例理论即两个比相等的定义 巧妙地处理了可通约和不可通约量 解决 了毕达哥拉斯体系的问题 曾就学于柏拉图的欧几里得在柏拉图 恩多克斯 工作的基础上 总结了以前全部几何学知识 建立起第一个几何公理系统 写成了科学巨著 几何原本 几何原本 的诞生是数学史上的一次巨大 革命 在微积分初创阶段出现了 贝克莱悖论 数学家不是把 无穷小量 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 概念中所蕴含的朴素的辩证法因素连同其形式逻辑上的混乱一起抛掉 而是 创立了一种更为严密的数学理论 极限理论作为微积分的基础 从而使微 积分方法趋于完善 最后形成严密的实数理论 数学悖论促使人们的思维形 式由传统的逻辑思维前进到辩证思维的新阶段 在更高深的层次上达到数学 思维方法的和谐与完善 使数学大厦的基石集合论开始动摇的罗素悖论的出现 使大批的数学家 再次投身于悖论的研究 数学哲学的三大流派直觉主义 逻辑主义 形式主 义在消除悖论的努力中 提出了更多崭新的数学理论 如能行性理论 类型 论 证明论等 其中尤以公理化系统理论成就最大 公理化系统的雏形是由 策梅罗 E F F Zermelo 提出的确定性 基本集合存 分出 幂集 并集 无限 选择七条公理 加上弗兰克尔的替换公理和公认的一阶逻辑公理构成 了公理化集合论的框架 并进而衍生出 ZF ZFC 和 BG 系统 在这些理论的 基础之上还产生了被称为数学和逻辑发展里程碑的哥德尔 K Godel 不完全 性定理 在推动数学发展的同时也促进了人类认识的提高 对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学历史局限性的认识 而解决 数学悖论的过程则是发展认识并超越这种历史局限性的过程 正如黑格尔所 说 矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解 在数学和逻辑 史上 每一次悖论的发现和相对解决 都推进了数学和逻辑的发展演化 2 32 3 数学悖论对数学教学中的教育作用和影响数学悖论对数学教学中的教育作用和影响 1 加深学生对数学知识的认识和理解 我们经常听到学生抱怨数学枯燥乏味 产生这种观点的原因是复杂的 但至少与传统上数学教学内容联系实际不强 学习方法死板教条和课堂节奏 平淡无奇等因素分不开 传统的数学教学理论一般都认为 数学教学应该尽可 能地避免出现差异或者谬误 尤其是要避免出现悖论 因此 在这种 正确 的 教学理论指导下的教学实践就是 正确的 的 数学结论 包括事实 命题 法则 规律 推理和证明等的展示 表演与习得 操练与熟悉 但是 即使是算术的教学 在这种教学理论的指导下 大多数学生最多也只能获得 一些 死的 概念 符号和计算程序 而无法获得真正的 数感 number sense 4 这也是导致一些学生对数学毫无兴趣的主要原因 教师应该在课 堂上创造条件 让每一个学生都能够感受到利用数学解决实际问题的快乐 例如 1 2 悖论与除数不能为零的教学 证明 设 那么 等式两端同时减去 得 ba 2 aba 2 b 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 于是 用除等式两边 得 222 abbab b ababab ab 由得 故 1 2 bab ba 2aa 除法和分数的教学中 除数不能为零和分母为零无意义 从认识上来说 对学生来说是一个挑战 为什么除数不能为零 何为无意义 为何无意义 通过一个古老的悖论 1 2 学生就会更加容易从本质上明白分母不能为 零的原因 2 利于激发学生学习数学的兴趣 在讲极限时 引入芝诺的 两分法悖论 或称为运动不能悖论 让一 个学生从自己的座位向门口走 第一次走全程的一半 第二次走剩下路程的 一半 第三次再走剩下路程的一半 这样一直向前走剩下路程的一半 如此 下去 要经过无穷多步 而无穷多步是无法走完的 因而它是走不出教室门 口的 引入此悖论 师生互动 激发了学生对数学的学习兴趣 更好的理解极 限 3 利于数学活动的开发 促进学生思维发展 教师在讲集合与元素的关系时 也可以引进 理发师悖论 很早以前 有一个村庄 那里只有一个理发师 他给自己下了一个规定 只给那些不为 自己理发的人理发 有一天他突然想起了这样一个问题 他该不该给自己理发 如果他给自己理发 那么他就违反了自己的规定 如果他不给自己理发 他 又属于这个规定的范围 应该给自己理发 因此他无论怎样做都是自相矛盾的 如果这位理发师就是各位同学自己 你们会怎么办 任自己的头发无限 长下去吗 使同学们感到不努力学习数学知识 这些似是而非的问题就无法 解决 自己会 永远闷在教室里或让自己的头发无限的长下去 这样学生通 过自己参与活动 就能更好的理解集合是不能自我包含的 把这些悖论引入课堂 师生互动 可以改变数学课沉闷 枯燥的形象 使 学生在和谐 民主 宽松的情境中快乐的学习 因此 数学悖论的教育意义或价值至少有以下几点 5 1 激发学生对 数学的学习或研究兴趣 2 促使学生更好地了解某些重要的数学思想 3 开发丰富多彩的数学学习活动 4 帮助学生洞察数学问题 包括悖论 的解决 过程 5 提高学生对现代数学所具有的美妙 多样 甚至幽默性质的鉴赏力 2 42 4 数学悖论对数学悖论对其他自然科学发展的影响其他自然科学发展的影响 悖论的产生对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾 缺陷和局限性 进一 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 步深入理解 评价和认识原有的科学理论 充实完善原有的科学概念或理论 促进科学理论的产生都具有相当重要的意义 可以为科学研究提供重要的课 题和研究方向 爱因斯坦说 提出一个问题往往比解决问题更重要 因此解决 问题实际 也许是数学或实际上的技能而已 而提出新的问题 新的可能性 从新的角度去看旧的问题都要有创造性的想象力 而且标志着科学的真正进 步 6 这也是悖论对于科学发展的重要意义所在 毕达哥拉斯悖论所导致的第一次数学危机 在整个自然科学发展进程中 具有重要的意义 是整个人类文明演变历史中的一个重要事件 毕达哥拉斯 悖论对其他自然科学的影响首先表现在科学精神方面 希帕苏斯发现了无理 数而且敢于挑战权威 勇于献身的精神对后来的科学家起到了很大的鼓舞 激励作用 近代科学诞生于西方 其原因是多方面的 譬如 生产的发展 实验之风的流行 文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放等等 但我 们若追根溯源就会发现 近代科学的源头是古希腊文明 古希腊文明包括很 多因素 但与近代科学最直接相关的是它的科学精神和科学方法 古希腊的 数学公理系统 得益于希帕苏斯对无理数的发现 是科学精神和科学方法的 集中体现 近代西方学者正是通过学习古希腊的数学公理系统 才领悟并把 握古希腊的科学精神和科学方法的 借助这种科学精神和科学方法 他们创 立了近代科学 不仅如此 古希腊的数学公理系统还是近代科学的模型或种 子 有了这粒种子 近代科学才得以诞生 毕达哥拉斯悖论的影响是巨大的 它不仅推动了数学的发展 数理天文 学的发展也有赖于毕达哥拉斯悖论 由于宇宙是几何的 宇宙的规律是几何 规律 因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论 柏拉图的学生欧多克 斯提出了如下的方案 任一天体都有三四个以地球为中心的同心球 而各个 球都绕同一轴转动 最里面的一个球是带着那个天体的 而天体则沿着球的 所谓赤道运动 就是说转轴垂直于运动天体的圆形路径 希帕克和托勒密发 展了欧多克斯的方案 特别是托勒密 他集古希腊天文学之大成 提出了一 个完整的地心说体系 还有 沿着柏拉图的思路发展起来的数理天文学 刺 激了某些新学科的诞生 如球面几何学 三角学等 数学悖论的产生虽然暂时会引起人们思想的混乱 会对正常的科学研究 产生一定的冲击 然而 从方法论的角度看 总之 悖论的出现是科学理论 发展的必然 悖论是科学问题的重要来源 是引导我们向未知领域探索的向 导 我们应不断地回顾历史 自觉运用悖论分析方法 通过不断地发现和提 出新的悖论 寻找科学理论新的生长点 从而促进科学的发展 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 3 数学悖论的发展方向 首先 以逻辑悖论为基点 构建演绎科学与经验自然科学相统一的科学 方法论理论 逻辑悖论方法论并非只能在演绎科学中发挥作用 一方面 那 种分析与综合截然二分的逻辑经验主义的教条 通过奎因 W V Quine 的批 判 被证明是不能成立的 奎因已经打通了演绎科学与经验科学之间的认识 隔膜 创建了 没有教条的经验论 的整体主义知识观 另一方面 演绎科 学与经验科学在方法论上具有相通性 1906年 罗素在多方探索悖论解决方 案时就深刻地体会到 逻辑斯蒂的方法 从根本上说 跟每一门别的科学的 方法是一样的 比方说天文学 只不过天文学里检验不靠直觉而靠感觉来实 行 逻辑斯蒂取作演绎开端的 初始命题 如果可能 应当是直觉上明显 的 但这不是不可少的 无论如何 这总不是采纳它们的全部理由 这理由 是归纳的 也就是说 从它们推出的结论中间 包括它们本身在内 许多由 直觉显出真 无一由直觉显出假 而且 凡是由直觉显出真的 据人们目力 所及 从任何与本系统不一致的不可实证