江西省上高县第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

上高二中2021届高二上学期期末考试数学（理科）试题1.下列说法中正确的是（ ）A. 先把高二年级的名学生编号：到，再从编号为到的学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这种抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线不一定过样本中心C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D. 若一组数据，的平均数是，则该组数据的方差也是【答案】D【解析】【分析】A是系统抽样，B选项线性回归直线一定过样本中心，C选项若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，D选项若一组数据，的平均数是，求出，则该组数据的方差即可求解.【详解】A选项：先把高二年级的名学生编号：到，再从编号为到的学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这种抽样方法是系统抽样法，所以该选项不正确；B选项：线性回归直线一定过样本中心，所以该选项不正确；C选项：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，所以该选项不正确；D选项：若一组数据，的平均数是，解得，则该组数据的方差是，所以该选项正确.故选：D【点睛】此题考查抽样方法，回归直线，相关关系的辨析，求平均数和方差，关键在于熟练掌握相关概念和公式，准确计算.2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由茎叶图直接求出甲的平均数和乙的中位数，由此得出结果.【详解】由茎叶图得：甲的平均数 乙的中位数为83即甲的平均数与乙的中位数之差为85-83=2故选：B.【点睛】本题考查了对茎叶图得认识，以及平均数和中位数的求法.3.下列命题中错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题B. 命题“，”的否定是“，”C. 若为真命题，则为真命题D. 在中，“”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题的真假性一致可以判定A，根据特称命题的否定形式可判定B， 若为真命题，则为不一定真命题，在中，“”是“”的充要条件，即可得出选项.【详解】A选项：命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题，该选项正确；B选项：根据特称命题否定法则，命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；C选项：若为真命题，可能一真一假，则为可能为假命题，所以该选项错误；D. 在中，“”是“”的充要条件证明如下：在中，若，则，又由正弦定理：可得；反之若，则，则有故在中，“”是“”的充要条件，D选项正确.故选：C【点睛】此题考查四个命题间的关系，含有逻辑联结词的命题的真假判断，写出特称命题的否定，充分条件与必要条件的判断，综合性比较强.4.已知，若，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设点为，又，即, D点坐标 故选D5.设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=A. 4B. C. 8D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：依题意设两圆方程分别为，分别将代入得，所以，圆心距.考点：圆与圆的位置关系.【此处有视频，请去附件查看】6.已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案【详解】如图， 由题意可得，则2b2c2，即2（a2c2）c2，则2a23c2，即e故选D【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题7.已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：，；，；，；，其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题是正确的；对于命题，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题，还有可能直线，因此命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题是正确的，故应选答案A.8.执行如图所示流程图，若输出的，则输入整数的最小值是（ ）A. 3B. 7C. 15D. 31【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，此时不满足条件，退出循环输出的值为，则结合选项可得输入的整数的最大值为.【详解】模拟执行程序框图，可得，满足条件，此时；满足条件，此时；满足条件，此时；满足条件，此时；由题意，此时不满足条件，应退出循环输出的值为，则结合选项可得输入的整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，判断循环退出的条件是解题的关键，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中底面为矩形，易知该几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，画出几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.10.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两动点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A. 点到平面的距离B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积D. 二面角的大小【答案】B【解析】【分析】根据平面，可判断A；直线与平面所成的角的正弦值为点到平面的距离除以线段的长度，结合A选项可判断正弦值不是定值；根据面积为定值，结合A选项可判断该选项不正确；二面角的两个半平面为，棱为，是一个确定的图形，所以二面角的大小为定值.【详解】根据正方体的性质，平面，平面，平面，为上任意一点，点到平面的距离为定值，记作，可判断A不正确；记直线与平面所成的角，不是定值，所以正弦值不是定值，所以B正确；根据正方体的性质，平面，平面，所以三棱锥的体积，是定值，所以C不正确；二面角的两个半平面为，棱为，是一个确定的图形，所以二面角的大小为定值，所以D不正确.故选：B【点睛】此题考查正方体中空间角和空间距离的求法，关键在于准确找出其中的平行与垂直关系，进行准确辨析.12.已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先可以根据题意写出直线的方程，然后令并联立直线与双曲线方程，得出两点的纵坐标之和以及纵坐标之积，再然后通过即可列出方程并解得的值，最后根据离心率计算公式即可得出结果【详解】由题意得直线方程为，不妨取，则，且.将代入，得.设，则，.由，得，所以，得，解得，所以，故该双曲线的离心率为，故选A【点睛】本题考查双曲线的相关性质，主要考查双曲线的渐近线与离心率的相关性质，考查双曲线与直线的相关性质，考查方程思想，考查运算求解能力，是中档题13.我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有_人”【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100.14.在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点恰好是双曲线的焦点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标形式即可求解【详解】由题：双曲线的焦点坐标，抛物线标准形式，焦点坐标，所以，解得.故答案为：【点睛】此题考查求双曲线的焦点坐标，根据抛物线的交点坐标求抛物线方程中的参数值，属于简单题目，易错点在于抛物线的标准形式没弄清楚导致焦点坐标写错.15.将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四个命题：；异面直线与所成的角为；二面角余弦值为；三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是_.（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据线面垂直证明，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，可用射影面积法求，求出底面积和高得.【详解】取中点，连接，所以平面，平面，所以，正确；因为，所以就是二面角的平面角，平面平面，所以，以中点为原点，为坐标轴的正方向，建立空间之间坐标系，如图所示：，根据向量夹角的取值范围可得：异面直线与所成的角为，所以错误；已经证得，所以平面，就是到平面的距离，根据射影面积法可求得二面角余弦值为，所以正确；三棱锥的体积是，所以不正确.故答案为：【点睛】此题考查根据平面图形折叠而成的物体中求角度和距离，关键在于弄清折叠前后的变化关系，利用基本方法求解.16.在四面体中，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】作出图形根据所在小圆面找出球心，建立等量关系求解.【详解】由题：，所以所在小圆面的圆心就是线段的中点，取球心O，根据球的几何性质有平面，平面，所以平面平面，二面角的大小为，所以二面角的大小为，所以是边长为3等边三角形，连接，所以二面角的平面角为在线段上取，根据正三角形四心合一，可得平面，设球的半径为，则，所以，所以该外接球的体积故答案为：【点睛】此题考查根据几何体求外接球的大小，关键在于根据题意寻找出与球心和半径有关的几何关系.17.已知，圆：，直线：.（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）直线与圆相切，求出圆心到直线的距离，与半径相等，得出关于的方程，求解，即可得出结论； （2），根据垂径定理，可得圆心到直线的距离为，得到关于的方程，求解，即可得出结论；【详解】将圆的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.（1）若直线与圆相切，则有，化简得，.（2）当直线与圆相交于、两点，时圆的半径为，根据垂径定理圆心到直线的距离为，整理得 解得：或，直线的方程是和.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，要注意圆的性质在解题中的应用，属于中档题.18.已知命题P：实数m满足，其中；命题q：方程表示双曲线（1）若，且p真q真，求实数m的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算得到命题p：；命题：，得到不等式计算得到答案.（2）是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，得到计算得到答案.【详解】（1）命题p：由题得，又，解得，命题，解得.若，命题P为真时；，p真且真，解得m的取值范围是（2）是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.表中，（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，【答案】（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.【解析】【分析】（1）根据散点图的特点，可得更适合；（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.【详解】（1）选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；（2）由公式可得：，所以所求回归直线方程为：；（3）根据题意，设，则煤气用量，当且仅当时，等号成立，即时，煤气用量最小.【点睛】此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.20.已知动点到定直线：的距离比到定点的距离大2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与曲线交于，两点，使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用抛物线定义即可求得抛物线方程；（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m0），直线l：x=ty+m，有，y28ty8m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理弦长公式，化简求解即可详解: （1）设点的坐标为，因为动点到定直线：的距离比到定点的距离大2，所以且，化简得，所以轨迹的方程为.（2）假设存在满足条件的点（），直线：，有 ，设，有， ，据题意，为定值，则，于是，则有解得，故当时，为定值，所以.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为的中点，在线段上.（1）为何值时，平面？（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦