天津市9校联考2018届高三4月数学（理科）试题（解析版）

九校联考高三试卷 2018.04理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】=1i，z=，则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限故选A2.若实数，满足，则的最小值（ ）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】作出可行域如图所示：作直线y=2x1+z，再将其平移至A（1，2）时，直线的纵截距最小，z最大为3故选B3.【2018天津市9校联考】运行如图所示的程序框图，若输出的是254，则应为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据程序框图可知：该程序的作用是累加S=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件S=2+22+26+27=254，故中应填n7故选C4.下列说法不正确的个数有（ ）甲、乙两学生参与某考试，设命题：甲考试及格，：乙考试及格，则命题“至少有一位学生不及格”可表示为.命题“对，都有”的否定为“，使得”.“若，则”是假命题.“”是“”的必要不充分条件.函数是偶函数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】对于，命题p：甲考试及格，q：乙考试及格，p：甲考试不及格，q：乙考试不及格，则“至少有一位学生不及格”可表示为（p）（q），正确；对于，命题“对xR，都有x20”的否定为“x0R，使得x020”，正确；对于，若=，则tan=是真命题，它的逆否命题“若tan，则”也真命题，错误；对于，ab时，不能得出ac2bc2，因为c2=0时不成立，ac2bc2时，可以得出ab，必要性成立，是必要不充分条件，正确；对于，函数y=sin（+x）=cosx，它是偶函数，正确；综上，错误的命题序号是，只有1个故选B5.设双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于，两点，若，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，连结，由题意得，又，故选C.考点：双曲线的标准方程及其性质.6.函数（， ， ）的部分图象如图， （ ）A. B. C. D. -1【答案】D【解析】【详解】根据函数的部分图象知，A=， ，T=，解得=2；由五点法画图知，+=，解得=，f（x）=sin（2x+），=sin（+）=sin（）=1，故选D【名师点睛】解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化7.定义在上的奇函数满足，当时，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，又，且在上单调递增，即故选A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小8.定义在上的奇函数，当时，则函数（）的所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=，故函数f（x）的图象如下图所示：故关于x的方程f（x）=a，（1a0）共有5个根：x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2+x4+x5=0，x1+x2+x3+x4+x5=x3，由log2（x3+1）=a得：x3=2a1，故关于x的方程f（x）=a，（0a1）的所有根之和为12a，故选C点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点，充分利用图象的对称性处理问题.第卷（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分）9.集合，则_【答案】【解析】A=x|x2，B=x|2x3，xN=0，1，2；RA=x|x2；（RA）B=2故答案为210.在极坐标系中，点到直线的距离等于_【答案】【解析】点（，）直角坐标为（1，1），直线cossin1=0的直角坐标方程为xy1=0，点到直线的距离为 =，故答案为11.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】由三视图可知，该几何体为四棱柱中挖去了半个圆锥，所以该几何体的体积为故答案为12.已知，函数的图象经过点，则的最小值为_【答案】16【解析】a，bR+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点，可得2a+b=，则+=2（+）（2a+b）=8+=16，当且仅当b=2a=时取等号，表达式的最小值为16故答案为：16点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.13.在中，其中，分别为角，所对应的三角形的边长，则_【答案】【解析】4a+2b+3c=，4a+2b+3c（）=，（4a3c）+（2b3c）=，不共线，即a=，b=，则cosB=，故答案14.由组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有_个. (用数字作答)【答案】120【解析】试题分析：先排3个偶数，从左到右有4个空，如排1,2,3个空，由于4不在第四位，共有种，若排1，2,4个空，共有，若排1,3,4则4不会在第四位，共有种，若排2,3,4个空，则4不会在第四位，共有，因此共有24+24+36+36=120种，故答案为120种.考点：排列组合的综合应用.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数，.（1）求函数的最小正周期及其图象的对称中心；（2）在中，若，锐角满足，求的值.【答案】(1) 最小正周期为，对称中心：，(2) 【解析】试题分析：（1）函数f（x）解析式利用诱导公式与二倍角正弦函公式化简，求出的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，令2x=k，kZ，可得对称中心；（2）根据第一问确定出的解析式，由f（+）=，求出C的度数，再由A的度数，利用正弦定理即可求出所求式子的值试题解析：（1）因为，所以函数的最小正周期为.对称中心：，（2）由（1）得，由已知，又角为锐角，所以，由正弦定理，得.16.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第局得分（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）在一局游戏中得3分只有白球、红球和黄球各1个，根据组合知识可得总事件数为，白球、红球和黄球各1个事件数为，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先确定随机变量可能取法：1，2，3，4.再求对应事件概率：对应两白一红；对应在不成立条件下第二次得分为2分，即第二次对应一黄二白或一白二红，其它同理，列出表格得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，则.答：在一局游戏中得3分的概率为.（2）的所有可能取值为1，2，3，4.在一局游戏中得2分的概率为，； ； .所以 .17.如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形，在上，且面（1）求证：是的中点；（2）求直线与所成角的正切值；（3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析(2) (3) 【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于E，连接ME，可得PA面MBD，且ME是平面PAC与平面MDB的交线，得PAME，即M是PC的中点；（2）取AD中点，由（1）知OA、OE、OP两两垂直，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所成角的余弦值，得到正弦值，进一步得到直线PA与MB所成角的正切值；（3）设在PA上是否存在点F，使二面角FBDM为直角，且，则由，得F（1，0，），分别求出平面MBD与平面FBD的一个法向量，由两法向量垂直求得值，可得存在点F，使二面角FBDM为直角，此时试题解析：（1）证明：连交于，连.是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.（2）取中点，由（1），两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为，.（3）设存在满足要求，且，则由得，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.18.已知等比数列满足：，且是的等差中项.（）求数列的通项公式；（）若数列an是单调递增的，令， ，求使成立的正整数的最小值【答案】（）或；（）5.【解析】（）设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，可得， 解之得 或 当时，；当时，数列的通项公式为或 （）等比数列an是单调递增的， ， ， ， ， 由，得 ，即，即易知：当时，当时，故使成立的正整数的最小值为5.19.已知过点的椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上的任意一点，且，成等差数列.（）求椭圆的标准方程；（）直线交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】(1).(2)或.【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据题意知x1=2，y1=0；联立方程消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得PAQ为锐角，0；由此列不等式求出k的取值范围试题解析：（1），成等差数列，由椭圆定义得，；又椭圆：（）过点，；，解得，；椭圆的标准方程为；（2）设，联立方程，消去得：；依题意：恒过点，此点为椭圆的左顶点，由方程的根与系数关系可得，；可得；由，解得，；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，；即，整理得，解得：或.实数的取值范围是或.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.20.已知函数，.（）当时，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（）若恒成立，求的最大值.【答案】（）见解析；（）（）【解析】【详解】（） ，则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.（）因为，所以，所以的方程为.依题意， ， .于是与抛物线切于点，由得所以 - （）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.若，则当时满足条件，此时；若，取且此时，所以不恒成立不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以上单调递减，在上单调递增.要使得