上海市上海师范大学附属中学2017届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

上师大附中高三开学考数学卷一.填空题1.若，则_.【答案】【解析】分析】将方程化为，即可解出该方程.【详解】，因此，原方程的解为.故答案为：.【点睛】本题考查了二次方程虚根的求解，考查计算能力，属于基础题2.函数的反函数是_【答案】.【解析】【分析】由解出，可得出所求函数的反函数.【详解】由，得，则有，因此，函数的反函数为，故答案为.【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量、满足，则与的夹角的大小为_【答案】【解析】【分析】直接代向量的夹角公式即得与的夹角的大小.【详解】由题得与的夹角的余弦为，所以与的夹角为.故答案为【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4.不等式解是_.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性得出，解出即可.【详解】由，得，即，即，由于函数是上的增函数，所以，解得.因此，不等式的解是.故答案为：.【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题5.计算_.【答案】【解析】【分析】利用组合数的计算公式、等差数列的求和公式、极限的运算法则即可得出答案.【详解】，因此.故答案为：.【点睛】本题考查了组合数的计算公式、等差数列的求和公式、极限的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.已知圆心为(2，3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是_【答案】【解析】由于直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的方程为，化简得.7.正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上.若，则球的体积是_【答案】【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积【详解】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，球心是正方形对角线交点，是棱锥的高，设球半径为，则，故答案为：【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系8.在的展开式中，的系数是_.【答案】【解析】【分析】求得的展开式通项为，令，然后分类讨论、的取值，可求出项的系数，相加即可得出答案.【详解】的展开式通项为，其中，令.当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为.因此，在的展开式中，的系数是.故答案为：.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，考查分类讨论思想的应用，属于中等题9.在中，角、的对边分别是、，若，则边的长为_.【答案】【解析】【分析】利用两角差的余弦公式求出的值，然后利用余弦定理可求出边的长.【详解】，由余弦定理得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了和与差公式的计算和余弦定理的运用，属于中等题10.函数，的值域是_.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式得出，由得出，再利用余弦函数的基本性质可得出答案.【详解】，且，.因此，函数，的值域是.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的值域、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.已知函数的值域是，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析】由题意得出，然后利用基本不等式可求出的取值范围.【详解】由于函数的值域是，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的基本性质和利用基本不等式求代数式的取值范围，属于中档题12.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围.【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，所以，复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题.13.定义函数：对于任意实数，如果存在整数满足，那么，设函数，以下命题：函数是奇函数；函数的值域为；方程有无数解：函数的最小正周期为；函数不存在单调递减区间.其中真命题是_.【答案】【解析】【分析】根据已知画出函数的图象，数形结合可得答案【详解】函数对于任意实数，如果存在整数满足，那么，故函数的图象如下图所示：由图象可知，函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，命题错误；函数的值域为，命题错误；方程有无数个解，命题正确；函数的最小正周期为，命题错误；函数不存在单调递减区间，命题正确.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是函数的图象和性质，作出函数图象是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题14.已知集合且，对且含有三个元素，记为中所有元素之和，那么全体的总和等于_.【答案】【解析】【分析】对且含有三个元素，共有个集合，每个元素出现次，利用等差数列的求和公式即可计算出答案.【详解】对且含有三个元素，共有个集合，每个元素出现次，因此，全体的总和等于.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式、组合数的计算公式、集合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二.选择题15.若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法以及基本不等式进行判断即可得出结论.【详解】对于A选项，取，不等式不成立；对于B选项，由于，若、同为负数，则不等式不成立；对于C选项，则且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则不等式恒成立；对于D选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则不等式不恒成立.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.已知，则“”是“直线与直线平行”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出结论.【详解】若直线与直线平行，则且，因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，则“同形”函数是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据“同形”函数的定义可知，所选的两个三角函数周期相等，振幅也相等，先将四个函数利用辅助角公式化简变形，逐个分析每个函数的最小正周期和振幅，由此可得出结论.【详解】根据本题所给的信息：两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，所以，所选的两个函数最小正周期相等，振幅也相等.，该函数的最小正周期为，振幅为；，该函数的最小正周期为，振幅为；，该函数的最小正周期为，振幅为；，该函数的最小正周期为，振幅为.所以要得到函数的图象，只需将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的新定义、三角函数图象的平移问题、三角函数的诱导公式的应用，将问题转化为三角函数的周期和振幅是解题的关键，考查推理能力，属于中等题18.已知无穷等比数列的首项是，公比为，这个数列的前项和总是大于这个数列的各项和，那么下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，以及，分和两种情况讨论，由此可得出结论.【详解】由于无穷等比数列存在各项和，则，由题意知.当时，则，由，得，则，此时；当时，则，由，可得.若为奇数，则，此时；若为偶数，则，此时.所以，当时，等比数列的前项和不可能总是大于这个数列的各项和.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的求和公式与各项和公式，解题的关键就是对等比数列的公比进行分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三.解答题19.在矩形中，平面，三棱锥的体积等于，求异面直线与所成角的大小.【答案】【解析】【分析】由三棱锥的体积等于，求出，由，知是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角【详解】在矩形中，平面，三棱锥的体积等于，即，即，解得.，是异面直线与所成角（或所成角的补角），平面，平面，同理，在矩形中，平面，平面，.由勾股定理得，在中，.因此，异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题20.已知数列的前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）数列的前项和为.【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式可得数列是等比数列，确定该等比数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2），分类求出数列的前项和即可.【详解】（1）数列的前项和为，满足，.当时，则，解得；当时，由得，两式相减得，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；（2），设数列的前项和为.当时，；当时，.因此，数列的前项和.【点睛】本题考查了数列的通项公式和前项和，考查了分类讨论的思想，属于中档题.21.（1）已知、是正实数，求证：，当且仅当时等号成立；（2）求最小值，并指出取最小值时的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当时，函数取最小值.【解析】【分析】（1）利用基本不等式，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等即可证明得到；（2）将函数变形为，利用（1）的结论即可求出函数的最小值，及其对应的的值.【详解】（1），即，当且仅当时，等号成立；（2）由（1）中的结论可得，当且仅当时，即当时，即当时，此时，函数取得最小值，即.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，同时也应用了题中不等式的结论求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.已知点是椭圆上任一点，点到直线：的距离为，到点的距离为，且，若直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.（1）求椭圆的标准方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用题意结合距离公式整理计算即可求得椭圆方程；（2）首先求得点的坐标，然后结合直线的斜率即可求得直线方程；（3）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和题意整理计算即可证得直线过定点【详解】解：（1）设，则，化简得：，椭圆的方程为：（2），代入椭圆方程得：，或，代入得，（舍去），或，据此可得：，（3）直线恒过定点，证明如下：由于，所以关于轴的对称点在直线上设，设直线方程：，代入椭圆方程，得：，故：，则直线的方程为：，令，得：，则：直线总经过定点【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线恒过定点问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题23.如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值，若不具有“性质”，请说明理由；（2）已知具有“性质”，且当时，求在的最大值；（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”且当时，若函数图象与直线的公共点有个，求的取值范围.【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由恒成立，得出的值；（2）根据性质可知函数为偶函数，求出函数在上的解析式，根据二次函数的性质得出最大值；（3）根据对称轴和周期作出函数的图象，根据交点个数列出不等式组得出的范围【详解】（1）假设函数具有“性质”，则恒成立，即恒成立，化简得：恒成立，解得.因此，函数具有“性质”，且；（2）函数具有“性质”，所以，函数为