2010年天津高考数学卷

1 2010 年天津高考数学卷年天津高考数学卷 第第 卷卷 一 选择题 本卷共一 选择题 本卷共小题 每小题小题 每小题分 共分 共分 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合要求的 10550 1 是虚数单位 复数 i 3i 1 i 12i 24i 1 2i 2i 解解 故选 3i1 i3i24i 12i 1 i1 i1 i2 2 设变量满足约束条件则目标函数 x y 3 1 1 xy xy y 42zxy 的最大值为 121082 解解 画出可行域如图 直线经过时 目42zxy 2 1B 标函 数取得最大值 所以 故选 max 4 22 110z 3 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出的值为s 1 0 13 解解 第一步得 13 113s 24i 第二步得 33214s 34i 第三步得 43311s 34i 第四步得 13410s 4i 到第四步 不是大于 因此输出 所以输出的 故选 4i 40s 4 函数的零点所在的一个区间是 e2 x f xx 2 1 1 0 0 1 1 2 解解 因为 1 1e1 20f 0 0e0210f 所以函数的零点所在的一个区间是 故选 1 1e1 2e 10f e2 x f xx 0 1 5 下列命题中 真命题是 使函数是偶函数 m R 2 f xxmx x R 使函数是奇函数 m R 2 f xxmx x R 使函数都是偶函数 m R 2 f xxmx x R 2 使函数都都是奇函数 m R 2 f xxmx x R 解解 当时 函数是偶函数 故选 0m 2 f xxx R 此外 函数都都不是奇函数 因此排除 m R 2 f xxmx x R 若 则函数既不是奇函数也不是偶函数 因此排除 1m 2 f xxx x R 6 设 则 5 log 4a 2 5 log 3b 4 log 5c acb bca abc bac 解解 因为 44 log 5log 41cc 5 0log 41a 5 0log 31a 所以 所以 故选 2 5555 log 3log 3 log 4log 4ba bac 7 设集合 若 则实数的取值范围是 1 Ax xax R 15 Bxxx RAB Ia B C D 06aa 2 4a aa 平 0 6a aa 平 24aa 解解 集合化为 又A 11 Ax axax R 15 Bxxx R 因为 则或 即或 故选 AB I1 1a 15a 0a 6a 51 a 1a 1 a 1 a 1 8 右图是函数在区间 sinyAx x R5 66 上的图象 为了得到这个函数的图象 只要将 sinyx 的图象上的所有的点 x R 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 3 1 2 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 3 2 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 6 1 2 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 6 2 解解 解法解法 1 如图 平移需满足 解得 因此首先将的图象 26 3 sinyx x R 上的所有的点向左平移个单位长度 3 3 又因为该函数的周期为 于是再需把的图象上的所有的点横坐2 36 T sinyx x R 标缩短到原来的倍 故选 1 2 解法解法 2 由已知图象得解得 又 所以图中函数的解析式是 0 6 3 2 3 1A 因此该函数的图象是将的图象上的所有的点向左平移个单位长度 再sin 2 3 yx sinyx x R 3 把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变得到的 故选 1 2 9 如图 在中 ABC ADAB 3BCBD uu u ruuu r 1AD uuu r 则 AC AD uuu r uuu r 2 3 3 2 3 3 3 解解 设 则 又 则 BDa uuu r 3BCa uu u r 31CDa uuu r 1AD uuu r ADAB 2 1ABa 解法解法 1 因为 所以 AC ADBCBAAD uuu r uuu ruu u ruu ruuu r BC ADBA AD uu u r uuu ruu r uuu r ADAB 0BA AD uu r uuu r 因为是直角三角形 所以 ADB 1 cos AD ADB a BD uuu r uuu r 于是 故选 1 cos313AC ADBC ADBCADADBa a uuu r uuu ruu u r uuu ruu u ruuu r 解法解法 2 AC ADADDCAD uuu r uuu ruuu ruuu ruuu r 2 ADDC AD uuu ruuu r uuu r 1cosDCADADB uuu ruuu r 故选 1 1313a a 解法解法 3 设 则 在中 由正弦定理得 DAC 2 BAC ABC sinsin BCAC BACB uu u ruuu r 即 所以 3 1 sin 2 AC a a uuu r 3 cos a a AC uuu r 33 cos a a ACAC uuu ruuu r 故选 AC AD uuu r uuu r 3 cos13ACADAC AC uuu ruuu ruuu r uuu r B C D A 4 解法解法 4 根据 题意 建立如图的直角坐标系 则 1 0D 设 于是 C x y ACx y uuu r 1 0AD uuu r 为此 只需求出点的横 1 0AC ADx yx uuu r uuu r C 坐标 作轴于 由 AEx ECDEDBA 则 于是 于是 DEDC ADDB 31 1 a DE a 31DE 即点的横坐标 所以 故选 3AE C3x 3AC AD uuu r uuu r 10 设函数 则的值域是 2 2g xx x R 4 g xxxg x f x g xx xg x f x 9 01 4 U 0 9 4 9 02 4 U 解解 解得 则或 2 2xg xx 2 20 xx 1x 2x 因此的解为 于是 2 2xg xx 12x 2 2 2 12 2 12 xxxx f x xxx 平 当或时 当时 则 1x 2x 2f x 12x 2 2 19 2 24 xxx 9 4 f x 又当和时 所以 1x 2x 2 20 xx 9 0 4 f x 由以上 可得或 因此的值域是 故选 2f x 9 0 4 f x f x 9 02 4 U 第第 卷卷 二 本大题共二 本大题共小题 每小题小题 每小题分 共分 共分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 6424 11 如图 四边形是圆的内接四边形 延长和相ABCDOABDC交于 点 若 则的值为 P1PB 3PD BC AD 解解 1 3 因为四边形是圆的内接四边形 所以 又ABCDOPBCD BPCDPA 所以 BPCDPA 于是 PBPCBC PDPADA 因为 所以 1PB 3PD 1 3 BCPB ADPD 12 一个几 E y x B C D A P O B C D A 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 1 1 1 1 2 2 1 5 何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 解解 3 设几何体的体积为 则 V 1 122 13 2 V 13 已知双曲线的一条渐近线方程是 它的一个焦点与抛物线 22 22 1 xy ab 0 0ab 3yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 2 16yx 解解 22 1 412 xy 由题设可得双曲线方程满足 即 于是 又抛物线的 22 3xy 22 1 3 xy 2 4 33 c 2 16yx 焦点为 则 与 于是 所以双曲线的方程 4 04c 2 4 16 3 c 12 22 1 412 xy 14 已知圆的圆心是直线与轴的交点 且圆与直线相切 则圆的方程C10 xy xC30 xy C 为 解解 2 2 12xy 直线与轴的交点为 于是圆心的坐标为 10 xy x 1 0 1 0 因为圆与直线相切 所以圆心到直线的距离即为半径 因此C30 xy 30 xy r 所以圆的方程为 22 1 03 2 11 r C 2 2 12xy 15 设是等比数列 公比 为的前项和 记 设为数 n a2q n S n an 2 1 17 nn n n SS T a n N 0 n T 列的最大项 则 n T 0 n 解解 4 设 则 1 1a 1 2 n n a 1 2 n n a 1 21 1 2121 n n n a S 2 2 1 2 21 1 2121 n n n a S 2 11 2 1 111 11 17 17116 2121 17 21 nn nn nn nnn aa SS Ta aaa 因为函数在时 取得最小值 所以在 16 g xx x 0 x 4x 1 1 116 17 21 nn n Ta a 6 时取得最大值 此时 解得 即为数列的最大项 则 1 4 n a 1 24 n n a 4n 4 T n T 0 4n 16 设函数 对任意 恒成立 则实数的取值范围是 1 f xx x 1 x 0f mxmf x m 解解 1 解法解法 1 显然 0m 由于函数对是增函数 则当时 不恒成立 1 f xx x 1 x 0m 0f mxmf x 因此 当时 函数在 是减函数 因此当时 0m 0m h xf mxmf x 1 x 1x 取得最大值 于是恒成立等价于的最大值 h x 1 1hm m 0h xf mxmf x h x 1 x 即 解得 于是实数的取值范围是 0 1 10hm m 1 0 0 m m m 1m m 1 解法解法 2 然 0m 由于函数对是增函数 则当时 不成立 1 f xx x 1 x 0m 0f mxmf x 因此 0m 2222 1121 20 mmm xm f mxmf xmxmxmx mxxmxmx 因为 则 设函数 则当时为 1 x 0m 222 210m xm 222 21g xm xm 1 x 增函数 于是时 取得最小值 解得 1x g x 2 11gm 2 110 0 gm m 1m 于是实数的取值范围是 m 1 解法解法 3 因为对任意 恒成立 所以对 不等式 1 x 0f mxmf x 1x 也成立 于是 即 解得 于是实数 0f mxmf x 10f mmf 1 0m m 1 0 0 m m m 1m 的取值范围是 m 1 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共小题 共小题 共分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 676 17 本小题满分分 在中 12ABC cos cos ACB ABC 证明 BC 若 求的值 1 cos 3 A sin 4 3 B 7 解解 在中 由及正弦定理得 ABC cos cos ACB ABC sincos sincos BB CC 于是 即 因为 则 sincoscossin0BCBC sin0BC 0B 0C BC 因此 所以 0BC BC 由和 得 ABC 2AB 所以 又由知 所以 1 cos2cos2cos 3 BBA BC 02B 2 2 sin2 3 B 4 2 sin42sin2 cos2 9 BBB 22 7 cos4cos 2sin 2 9 BBB 所以 4 27 3 sin 4sin4 coscos4 sin 33318 BBB 18 本小题满分分 有编号为的个零件 测量其直径 单位 得到下面数据 12 1210 A AAL10cm 编号 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 直径1 511 491 491 511 491 511 471 461 531 47 其中直径在区间内的零件为一等品 1 48 1 52 从上述个零件中 随机抽取一个 求这个零件为一等品的概率 10 从一等品零件中 随机抽取个 2 用零件的编号列出所有可能的抽取结果 求这个零件直径相等的概率2 解解 由所给的数据可知 一等品的零件共有个 6 设 从个零件中 随机抽取一个为一等品 为事件 则 10A 63 105 P A 所以从个零件中 随机抽取一个零件为一等品的概率为 10 3 5 一等品零件的编号为 123456 A AA AA A 从这个一等品零件种随机抽取个 所有可能的抽取结果有 62 12 A A 13 A A 14 A A 15 A A 16 A A 23 AA 24 AA 25 AA 26 AA 34 A A 共种 35 A A 36 A A 45 AA 46 AA 56 A A15 记 从一等品零件中 随机抽取个直径相等 为事件 则事件的所有可能结果有2BB 共种 14 A A 16 A A 46 AA 23 AA 25 AA 35 A A6 所以 62 155 P B 8 因此从一等品零件中 随机抽取个直径相等的概率为 2 2 5 19 本小题满分分 如图 在五面体中 四边形12ABCDE是正方ADEF 形 FAABCD 平平 BCAD1CD 2 2AD 45BADCDA 求异面直线与所成的角的余弦值 CEAF 证明 CDABF 平平 求二面角的正切值 BEFA 解解 因为四边形是正方形 所以 ADEF FAED 故为异面直线与所成的角 CED EF 1 AD 因为 所以 故 FAABCD 平平FACD EDCD 在中 所以 Rt CDE 1CD 2 2EDAD 22 3CECDED 因此 2 2 cos 3 ED CED CE 所以异面直线与所成的角的余弦值为 EF 1 AD 2 2 3 过点作 交于 B BGCDADG 则 又 45BGACDA 45BADCDA 所以 从而 BGAB CDAB 又 且 CDFA FAABA I 所以 CDABF 平平 由 及已知 可得 即为的中点 2AG GAD 取的中点 连接 则 EFNGNGNEF 因为 所以 BCAD BCEF 过点作 交于 NNMEF BCM 则为二面角的平面角 GNM BEFA 连接 可得 GMADGNM 平平 所以 从而 由已知可得 ADGM BCGM 2 2 GM 由 可得 NGFAFAGM NGGM 在中 Rt NGM 1 tan 4 GM NGM NG 所以二面角的正切值为 BEFA 1 4 20 本小题满分分 已知函数 其中 12 32 3 1 2 f xaxx x R0a B F E D C A M G N B C F E D A 9 若 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2f 若在区间上 恒成立 求的取值范围 1 1 2 2 0f x a 解解 当时 1a 32 3 1 2 f xxx 23f 所以曲线在点处的切线方程为 2 33fxxx 26 f yf x 2 2f 362yx 即 69yx 令 解得或 针对区间 需分两 2 3331fxaxxx ax 0fx 0 x 1 x a 1 1 2 2 种情况讨论 1 若 则 02a 11 2a 当变化时 的变化情况如下表 x fxf x x 1 0 2 0 1 0 2 fx 0 f x 增极大值减 所以在区间上的最小值在区间的端点得到 因此在区间上 恒成立 f x 1 1 2 2 1 1 2 2 0f x 等价于 即解得 又因为 所以 1 0 2 1 0 2 f f 5 0 8 5 0 8 a a 55a 02a 02a 2 若 则 2a 11 0 2a 当变化时 的变化情况如下表 x fxf x x 1 0 2 0 1 0 a 1 a 1 1 2a fx 0 0 f x 增极大值减极小值增 所以在区间上的最小值在区间的端 f x 1 1 2 2 点或处得到 1 x a 10 因此在区间上 恒成立 等价于 1 1 2 2 0f x 即解得或 又因为 所以 1 0 2 1 0 f f a 2 5 0 8 1 10 2 a a 2 5 2 a 2 2 a 2a 25a 综合 1 2 的取值范围为 a05a 21 本小题满分分 14 已知椭圆的离心率 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 22 22 1 xy ab 0ab 3 2 e 4 求椭圆的方程 设直线 与椭圆相交于不同的两点 已知点的坐标为 l A BA 0a 若 求直线 的倾斜角 4 2 5 AB l 点在线段的垂直平分线上 且 求的值 0 0 QyAB4QA QB uur uu u r 0 y 解解 由得 再由得 3 2 c e a 22 34ac 222 abc 2ab 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 所以 则 4 1 224 2 ab 2ab 解方程组得 所以椭圆的方程 2 2 ab ab 2 1ab 2 2 1 4 x y 由 得 设点的坐标为 2 0A B 11 x y 由题意直线 的斜率存在 设直线 的斜率为 则直线 的方程为 于是两点的坐标满llkl 2yk x A B 足方程组由方程组消去并整理得 2 2 2 1 4 yk x x y y 2222 14161640kxk xk 因为是方程的一个根 则由韦达定理有 2x 2 1 2 164 2 14 k x k 所以 从而 2 1 2 28 14 k x k 11 2 4 2 14 k yk x k 2 2 22 222 2844 1 2 141414 kkk AB kkk 由 得 整理得 所以 4 2 5 AB 2 2 4 14 2 514 k k 42 329230kk 22 1 32230kk 所以直线 的倾斜角为或 1k l 4 3 4 11 线段的中点为 则的坐标为 ABMM 2 22 82 1414 kk kk 下面分情况讨论 1 当时 点的坐标为 线段的垂直平分线为轴 0k B 2 0ABy 于是 由得 0 2 QAy uur 0 2 QBy uu u r 4QA QB uur uu u r 0 2 2y 2 当时 线段的垂直平分线方程为 0k AB 2 22 218 1414 kk yx kkk 令得由 0 x 0 2 6 14 k y k 0 2 QAy uur 110 QBx yy uu u r 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk uur uu u r 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得 所以 综上 或 2 72k 14 7 k 0 2 62 14 145 k y k 0 2 2y 0 2 14 5 y 22 本小题满分分 在数列中 且对任意 成等差数列 其公差14 n a 1 0a k N 21221 kkk aaa 为 2k 证明成等比数列 求数列 的通项公式 456 a a a n a 记 证明 222 23 23 n n n T aaa L 3