广东省佛山市中大附中三水实验中学高中数学《411 圆的标准方程》课件 新人教A版必修2.ppt

第四章圆与方程 4 1圆的方程4 1 1圆的标准方程 1 掌握圆的标准方程及其特点 会根据圆心的位置和半径写出圆的标准方程 2 能运用圆的方程判断点和圆的位置关系3 能根据某些具体条件 运用待定系数法确定圆的方程 在平面直角坐系 如何确定一个圆 o a 圆的方程是 自主学习 阅读教材p118页回答 圆心为 a b 半径为r的圆的方程是 圆的标准方程 例1 求满足下列条件的圆的标准方程 1 圆心在原点 半径为3 2 圆心在点 2 1 半径为 3 经过点p 5 1 圆心在点 8 3 例2 圆的方程为判断点a 5 7 点b 5 1 在圆上 圆内 还是圆外 自我检测 1 说出下面圆的圆心和半径 2 已知圆的方程为判断下列各点在圆上 在圆内 还是在园外 a 4 5 b 5 1 d 3 6 总结 点和圆的位置关系的判断 设点p x0 y0 到圆c x a 2 y b 2 r2的圆心c的距离为d 则所以当d r 即当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点p在圆c的外部 当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点p在圆c的内部 当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点p在圆c上 反之也成立 例2 abc的三个顶点的坐标是a 5 1 b 7 3 c 2 8 求它的外接圆的方程几何法 待定系数法 达标检测 教材p121页练习的3 4题 第4题用两种方法解答 第二课时 目标 会应用几何法和待定系数法求圆的标准方程 例3 已知圆心为c的圆经过点a 1 1 和b 2 2 且圆心c在直线l x y 1 0上 求圆c的标准方程几何法 待定系数法 巩固训练 教材p124页a组2题达标检测 教材p124页a组3 4题 2 求圆的标准方程的常用方法 1 几何法利用圆的几何性质 直接求出圆心和半径 代入圆的标准方程得结果 2 待定系数法由三个独立条件得到三个方程 解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数 从而确定圆的标准方程 它是求圆的方程最常用的方法 一般步骤是 先设方程 再列式 后求解 典例剖析 学生用书p83 题型一求圆的标准方程分析 1 2 直接写圆的方程 3 可根据两点间的距离公式求半径 再写出圆的标准方程 解 1 圆心 0 0 半径为3 圆的方程为x2 y2 9 2 圆心 2 1 半径 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 3 方法1 圆的半径又圆心为 8 3 圆的方程为 x 8 2 y 3 2 25 方法2 圆心为 8 3 故可设圆的方程为 x 8 2 y 3 2 r2 点p 5 1 在圆上 5 8 2 1 3 2 r2 r2 25 所求圆的方程为 x 8 2 y 3 2 25 规律技巧 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中 有三个参数a b r 只要求出a b r 这时圆的方程被确定 因此 确定圆的方程 需要三个独立条件 其中圆心 a b 是定位条件 半径r是定形条件 变式训练1 指出下列圆的圆心和半径 1 x2 y2 3 2 x 1 2 y2 9 3 x 1 2 y 2 2 1 答案 1 圆心 0 0 2 圆心 1 0 r 3 3 圆心 1 2 r 1 题型二用待定系数法求圆的方程例2 求圆心在直线2x y 3 0上 且过点 5 2 和点 3 2 的圆的方程 分析 因为条件与圆心有直接关系 因此设圆的标准方程即可解决问题 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法2 圆过a 5 2 b 3 2 两点 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 规律技巧 确定圆的方程需要三个独立条件 选标准 定参数 是解题的基本方法 其中 选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式 进而确定其中三个参数 变式训练2 求圆心在x轴上 半径为5 且过点a 2 3 的圆的标准方程 解 设圆心在x轴上 半径为5的圆的方程为 x a 2 y2 52 点a在圆上 2 a 2 3 2 25 a 2或a 6 故所求圆的方程为 x 2 2 y2 25或 x 6 2 y2 25 题型三点和圆的位置关系例3 已知圆心c 3 4 半径r 5 求此圆的标准方程 并判断点a 0 0 b 1 3 在圆上 圆外还是圆内 解法1 所求圆的方程为 x 3 2 y 4 2 25 点a 0 0 与圆心c 3 4 的距离d 5 而r 5 d r 点a在圆上 点b 1 3 与圆心c 3 4 的距离 点b在圆内 解法2 所求圆的方程为 x 3 2 y 4 2 25 将点a 0 0 b 1 3 分别代入圆的方程 得 0 3 2 0 4 2 25 1 3 2 3 4 2 5 25 点a在圆上 点b在圆内 规律技巧 判断点与圆的位置关系 通常用两种方法 一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定 当d r时 点在圆外 当d r时 点在圆上 当dr2 则点p在圆外 若 x x0 2 y y0 2 r2 则点p在圆上 若 x x0 2 y y0 2 r2 则点p在圆内 变式训练3 已知点a 1 2 在圆c x a 2 y a 2 2a2的内部 求a的取值范围 解 点a 1 2 在圆的内部 1 a 2 2 a 2 a的取值范围是 易错探究例4 已知某圆圆心在x轴上 半径为5 且截y轴所得线段长为8 求该圆的标准方程 错解 tp俗67 tif y 如图 由题设知 ab 8 ac 5 在rt aoc中 c点坐标 3 0 所求圆的方程为 x 3 2 y2 25 错因分析 借助图形解决数学问题 只能是定性地分析 而不能定量研究 要定量研究问题 就应考虑到几何图形的各种情况 本题出错就是由于考虑问题不全面所致 由于只画了圆心在x轴正半轴的图形 从而漏掉了圆心在x轴负半轴的情况 正解 由题意知 所求圆的方程可设为 x a 2 y2 25 圆截y轴所得线段长为8 圆过点a 0 4 代入圆的方程得a2 16 25 a 3 故所求圆的方程为 x 3 2 y2 25或 x 3 2 y2 25 技能演练 学生用书p84 基础强化1 点p m 5 与圆x2 y2 24的位置关系是 a 在圆外b 在圆内c 在圆上d 不确定解析 把p m 5 代入x2 y2 24 得m2 25 24 点p在圆外 答案 a 2 点与圆x2 y2 1的位置关系是 a 在圆内b 在圆外c 在圆上d 与t的值有关 op 1 点p在圆上 答案 c 3 若一圆的标准方程为 x 1 2 y 5 2 3 则此圆的圆心和半径分别是 a 1 5 b 1 5 c 1 5 3d 1 5 3答案 b 4 已知点a 1 1 b 1 1 则以线段ab为直径的圆的方程为 a x2 y2 2b x2 y2 c x2 y2 1d x2 y2 4解析 ab的中点为圆心 0 0 半径 圆的方程为x2 y2 2 答案 a 5 方程表示的曲线是 a 一条射线b 一个圆c 两条射线d 半个圆解析 由得x2 y2 9 y 0 方程表示半个圆 答案 d 6 若p 2 1 为圆 x 1 2 y2 25的弦ab的中点 则直线ab的方程为 a x y 3 0b 2x y 3 0c x y 1 0d 2x y 5 0解析 已知圆的圆心为c 1 0 易知pc ab kpc kab 1 依点斜式知ab的方程为x y 3 0 答案 a 7 圆c x 2 2 y 1 2 r2 r 0 的圆心c到直线4x 3y 12 0的距离是 解析 圆心c 2 1 代入点到直线的距离公式 得 8 求经过点a 1 4 b 3 2 且圆心在y轴上的圆的方程 解 圆心在y轴上 可设圆心坐标为 0 b 则圆的方程为 x2 y b 2 r2 圆经过a b两点 圆的方程是x2 y 1 2 10 能力提升 9 一圆在x y轴上分别截得弦长为4和14 且圆心在直线2x 3y 0上 求此圆方程 解 设圆的圆心为 a b 圆的半径为r 则圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 圆在x轴 y轴上截得的弦长分别为4和14 则有又 圆心在直线2x 3y 0上 2a 3b 0 适合题意的圆的方程为 x 9 2 y 6 2 85或 x 9 2 y 6 2 85 10 若点p x y 在圆 x 2 2 y2 3上 1 求的最小值 2 求的最大值 解 1 式子的几何意义是圆上的点p x y 与定点 0 2 的距离 因为圆心 2 0 到定点 0 2 的距离是又圆半径为所以的最小值为 2 利用的几何意义 因为的几何意义是圆 x 2 2 y2 3上的点与原点连线的斜率 如右图所示 易求得的最大值为 品味高考 学生用书p85 11 2009 重庆 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程是 a x2 y 2 2 1b x2 y 2 2 1c x 1 2 y 3 2 1d x2 y 3 2 1解析 依题意知圆心 0 b 圆的方程为x2 y b 2 1 把点 1 2 代入 得b 2 x2 y 2 2