高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第11讲 回归分析与独立性检验配套课件 理.ppt

第11讲 回归分析与独立性检验 1 变量间的关系 1 常见的两变量之间的关系有两类 一类是函数关系 另一类是相关关系 与函数关系不同 相关关系是一种非确定性关系 2 将样本中n个数据点 xi yi i 1 2 n 描在平面直角坐标系中 表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图 3 正相关 负相关 在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域 两个 变量的这种相关关系称为正相关 在散点图中 点散布在从左上角到右下角的区域 两个 变量的这种相关关系称为负相关 2 回归分析 1 定义 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种 常用方法 2 线性相关关系 观察散点图的特征 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 3 回归直线的求法 回归直线的方法 即求回归直线 使得样本数据的点到它的距离的平方和最小 这一方法叫做最小二乘法 则回归直线方程 的系数为 样本点的中心 4 线性相关强度的检验 当r 0时 表明两个变量正相关 当r 0时 表明两个变量 r的绝对值越接近于1 表明两个变量的线性相关性越强 r的绝对值越接近于0 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系 通常 r 大于0 75时 认为两个变量有很强的线性相关性 5 相关指数 r2的值越大 说明残差平方和越小 也就是说模型的拟合效果越好 在线性回归模型中 r2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率 r2越接近于1 表示回归的效果越好 负相关 3 独立性检验 1 分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类别 像这类变量称为分类变量 2 列联表 列出两个分类变量的频数表 称为列联表 假设有两个分类变量x和y 它们的可能取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表 称为2 2列联表 为 2 2列联表 其中n 为样本容量 3 独立性检验 利用随机变量k2来判断 两个分类变量有关系 的方法称为独立性检验 a b c d 1 第31届夏季奥林匹克运动会 中国获26金 18银 26铜共70枚奖牌居奖牌榜第二 并打破3次世界纪录 由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列 也有许多人持反对意见 有网友为此进行了调查 在参加调查的2548名男性公民中有1560名持反对意见 2452名女性公民中有1200人持反对意见 在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有 无关系时 用什么方法最有说服力 a 平均数与方差c 独立性检验 b 回归直线方程d 概率 解析 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组 而且每一组又被分成了两种情况 认为有关与无关 故该资料取自完全随机统计 符合2 2列联表的要求 故用独立性检验最有说服力 答案 c 2 已知变量x与y正相关 且由观测数据算得样本平均数x 3 y 3 5 则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 a 解析 因为变量x和y正相关 则回归直线的斜率为正 故可以排除选项c和d 因为样本点的中心在回归直线上 把点 3 3 5 分别代入选项a和b中的直线方程进行检验 可以排除b 故选a 3 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联表 附表 参照附表 得到的正确结论是 a a 有99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 b 有99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 c 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 d 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 4 2012年新课标 在一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn n 2 x1 x2 xn不全相等 的散点图中 若所有样 数据的样本相关系数为 a 1 b 0 c 12 d 1 d 解析 由题设知 这组样本数据完全正相关 故其相关系数为1 故选d 考点1 相关关系判断 例1 已知x与y之间的几组数据如下表 假设根据上表数据所得回归直线方程为 若某同学根据上表中前两组数据 1 0 和 2 2 求得的回归直线方程为y b x a 则以下结论正确的是 答案 c 互动探究 1 根据如下样本数据 解析 依题意 画散点图 如图d85 两个变量负相关 图d85 答案 a 2 某数学老师身高176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm和182cm 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 解析 由题意知 父亲的身高x 单位 cm 与儿子的身高y 单位 cm 对应关系如下表 答案 185 考点2 回归分析的综合运用 例2 2015年新课标 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年的宣传费xi和年销售量yi i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图 如图9 11 1 及一些统计量的值 图9 11 1 1 根据散点图判断 y a bx与y c d 哪一个适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 2 根据 1 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方 程 3 已知这种产品的年利润z与x y的关系为z 0 2y x 根据 2 的结果回答下列问题 当年宣传费x 49时 年销售量及年利润的预报值是多少 当年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 2 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法 主要解决 确定特定量之间是否有相关关系 如果有 就找出它们之间的数学表达式 根据一组观察值 预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势 求出回归直线方程 互动探究 3 2017年山东 为了研究某班学生的脚长x 单位 cm 和身高y 单位 cm 的关系 从该班随机抽取10名学生 根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系 设其 该班某学生的脚长为24 据此估计其身高为 a 160cm b 163cm c 166cm d 170cm c 4 2014年新课标 某地区2007年至2013年农村居民家 庭纯收入y 单位 千元 的数据如下表 1 求y关于t的线性回归方程 2 利用 1 中的回归方程 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况 并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 2 由 1 知 b 0 5 0 故2007年至2013年该地区农村居 民家庭人均纯收入逐年增加 平均每年增加500元 将2015年的年份代号t 9代入 1 中的回归方程 得y 0 5 9 2 3 6 8 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6800元 考点3 独立性检验 例3 2017年新课标 海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比 收获时各随机抽取了100个网箱 测量各箱水产品的产量 单位 kg 其频率分布直方图9 11 2如下 图9 11 2 1 记a表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg 估计a 的概率 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有99 的把握 认为箱产量与养殖方法有关 3 根据箱产量的频率分布直方图 对两种养殖方法的优劣进行比较 附 解 1 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 0 012 0 014 0 024 0 034 0 040 5 0 62因此 事件a的概率估计值为0 62 2 根据箱产量的频率分布直方图得列联表 k2 200 62 66 34 38 2100 100 96 104 15 705 由于15 705 6 635 故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 箱产量的频率分布直方图表明 新养殖法的箱产量平均值 或中位数 在50kg到55kg之间 旧养殖法的箱产量平均值 或中位数 在45kg到50kg之间 且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高 因此 可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定 从而新养殖法优于旧养殖法 规律方法 解决独立性检验问题的一般步骤 制作列联表 精确到小数点后三位 查表得出结论 要选择满足条件p k2 k0 的k0作为拒绝域的临界值 互动探究 5 某人研究中学生的性别与成绩 视力 智商 阅读量这4个变量之间的关系 随机抽查52名中学生 得到统计数据如表 1至表4 则与性别有关联的可能性最大的变量是 表1 成绩 表2表3 视力智商 表4 a 成绩c 智商 阅读量b 视力d 阅读量 答案 d 易错 易混 易漏 对回归分析的理解 例题 2017年广东汕头一模 二手经销商小王对其所经营的a型号二手汽车的使用年数x与销售价格y 单位 万元 辆 进行整理 得到如下数据 下面是z关于x的折线图9 11 3 图9 11 3 1 由折线图可以看出 可以用线性回归模型拟合z与x的 关系 请用相关系数加以说明 2 求y关于x的回归方程并预测某辆a型号二手汽车当使用年数为9年时售价大约为多少 b a小数点后保留两位有效数字 3 基于成本的考虑 该型号二手车的售价不得低于7118元 请根据 2 求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年 参考公式 回归方程y bx a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 z与x的相关系数大约为 0 99 相关系数的绝对值约等于1 说明z与x的线性相关程度很高 所以预测某辆a型号二手车当使用年数为9年时售价大约 为1 46万元 所以 0 36x 3 62 0 34 解得x 11 因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过 11年 方法点拨 判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法 利用散点图直观判断 将相关数据代入相关系数r公式求出r 然后根据r的大小进行判断 求线性回归方程时在严格按照公式求解时 一定要注意计算的准确性 互动探究 6 一台机器使用时间较长 但还可以使用 它按不同的转速