刚体力学基础第三章.ppt

第三章 一 刚体模型 刚体和质点一样是一种理想的力学模型 刚体可以看成是由无数质点构成的质点组 刚体无论在多大的外力作用下或刚体无论作何运动 刚体内任意两质点之间的距离保持不变 刚体 在外力的作用下 大小和形状都不变的物体 1刚体运动的基本概念 二 刚体的平动 刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动 特点 各点位移 速度 加速度均相同 可视为质点各点的运动轨迹相同 平动 刚体运动时 其内部任何一条直线 在运动中方向始终不变 刚体的平动的运动规律完全按符合质点运动规律 转动 刚体的各个质点都绕同一直线 转动轴 作圆周运动 定轴转动 转轴固定不动的转动 转动轴 刚体转动围绕的那条直线 三 刚体的转动 转轴可以是固定的或变化的 进动 滚动 定轴转动 刚体的一般运动 平动 转动 转动平面 垂直于转动轴所作的平面 1 描述刚体转动的物理量是 角位移 角速度 角加速度等 2 运动学中讲过的角位移 角速度 角加速度等概念 以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动 四 描述刚体转动的物理量 任选刚体上的任意点p点为参考点 参考方向 转动平面 1 角坐标 角位移 刚体沿逆时针方向转动时 和 为正值 刚体沿顺时针方向转动时 和 为负值 角坐标 角位移 有正负之分 规定 刚体对转轴的 瞬时 角速度 2 角速度 刚体定轴转动时 角速度可看成是只有正 负的代数量 其正负可由右手螺旋法则决定 右手螺旋法则 拇指向上 若四指弯曲方向与刚体的转动方向一致 即刚体沿逆时针转动 时 则角速度 为正 反之 为负 刚体转动的角速度是矢量 方向 右手螺旋法则 即四指弯曲方向与刚体的转动方向一致 拇指所指的方向即是 刚体对转轴的 瞬时 角加速度 3 角加速度 0 角加速度方向与角坐标正方向相同 刚体会加快转动 0 角加速度方向与角坐标正方向相反 刚体转动会减慢 刚体定轴转动时 角加速度可看成是只有正 负的代数量 当刚体转动加快时 角加速度方向与角速度方向相同 当刚体转动减慢时 二者方向相反 刚体转动的角加速度是矢量 四 角量与线量的关系 刚体内各个质点的角位移 角速度 角加速度相同 但由于各个质点离转轴的距离和方向各不相同 所以刚体内各个质点的位移 速度 加速度 线量 各不相同 在刚体上取一质元pi 一 刚体的转动动能 则质点pi的动能为 对刚体上所有质点的动能求和 对z轴的转动惯量 2转动动能转动惯量 则刚体的转动动能 定义 对z轴的转动惯量 质点 刚体 j是描述刚体在转动中惯性大小量度的物理量 二 转动惯量j 对刚体 对分立的质点系 线分布 为线密度 面分布 为面密度 体分布 为体密度 质量是连续分布 2 转动惯量j的大小决定于 刚体的质量 同形状的刚体 越大 j就越大质量的分布 质量相同 dm分布在r越大的地方 则j越大刚体的转轴位置 同一刚体依不同的转轴而有不同的j 1 转动惯量的物理意义 j表示刚体转动时惯性的大小 3 转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动惯量的代数和 讨论 转动惯量的计算 例1 求质量为m 长度为l的均质细棒的转动惯量 转轴oo 通过棒的一端并与棒垂直 解 以转轴为坐标原点 在距转轴x处 任取一质量元dm 其长度为dx 解 以转轴为坐标原点 在距转轴x处 任取一质量元dm 其长度为dx 例2 求质量为m 长度为l的均质细棒的转动惯量 转轴oo 通过棒的中心并与棒垂直 均质细棒的转动惯量 平行轴定理 刚体对任一轴的转动惯量j等于对过质心的平行轴的转动惯量jc与二轴间的垂直距离d的平方和刚体质量m的乘积之和 例3 求均质细圆环绕通过中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量 解 在园环上任取一质量元dm 其长度为dl 例4 求质量为m 半径为r的均质圆盘绕通过中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量 解 在圆盘上任取一半径为r 宽度为dr的圆环 则这一质量元dm为 常见刚体的转动惯量 使物体转动 必须给定一个作用力 另外考虑转动与力的作用点以及作用力的方向有关 因此在研究物体转动中引入力矩这一物理量 一 力矩 力f对转轴的力矩 力的大小f与力臂d的乘积 1 若刚体所受力在转动平面内 3刚体定轴转动定律 在定轴转动中 只有起作用 对转轴的力矩 2 若刚体所受力不在转动平面内 平行于转轴分量不能使刚体发生转动 对于刚体的定轴转动 力矩mz也可看成是代数量 即 从z轴正端向负端看 若力f使物体沿逆时针方向转动 则力矩mz为正 反之为mz为负 方向 满足右手螺旋法则 力矩 刚体同时受几个外力作用时的合力矩 对于定轴转动 力矩的方向沿转轴方向 但只有两种可能 则可用正负表示 单位 牛顿 米 n m 即 力矩与坐标轴同向时为正 反向时为负 结论 合力矩的值等于这几个力各自的力矩的代数和 二 刚体定轴转动定律 对pi 两边同乘以ri 切向 对整个刚体求和 和的法向分力作用线通过转轴 其力矩为零 刚体的定轴转动定律 可以证明 内力中的每一对作用与反作用力的力矩相加为零 即内力矩之和为零 合外力矩 刚体的转动惯量 刚体定轴转动定律 结论 刚体所受到的对某一定轴的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积 讨论 2 刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律 也可以写成矢量关系式 力矩是使刚体转动产生角加速度的原因 3 刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程 如同质点力学中的 1 公式中的m是作用在刚体的合外力矩 三 刚体定轴转动定律的应用 1 转动定律是力矩对定轴转动刚体的瞬时作用定律 要注意其瞬时性 5 注意利用线量与角量的关系 3 如题目中有转动的物体 有平动的物体 则把转动的物体当刚体处理 把平动的物体当质点处理 4 除了受力分析 还要进行力矩分析 在进行受力 力矩分析时 对刚体要找准力的作用点 以便求力矩 2 转动定律中的合外力矩m 转动惯量j和角加速度 三个物理量都是对同一转轴而言的 例1 物体a b的质量分别为m1和m2 用一轻绳相连 绳子跨过质量为m 半径为r的定滑轮c 可视为均质圆盘 如a下降 b与水平桌面间的滑动摩擦系数为 绳与滑轮之间无相对滑动 试求系统的加速度及绳中的张力ft1和ft2 的力矩 受力分析 力矩分析 的力矩 解 建立如图坐标系 对质点a和b列牛顿第二定律方程 对a物体 对b物体 对刚体c列转动定律方程 均质圆盘 解得 例2 在图示的装置中求 t1 t2 a 滑轮可视作均质圆盘 一 力矩的功 刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时 则力矩对刚体作了功 4力矩的功动能定理 元功 力矩对质点 或刚体 所作的元功等于力矩和角位移的乘积 当力矩与角速度同号 或同方向 时 力矩的功为正值 当力矩与角速度异号 或反方向 时 力矩的功为负值 功的正负 力矩的功率 力矩的功 二 刚体定轴转动的动能定理 转动定律 设在合外力矩m的作用下 作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩的元功等于该刚体转动动能的微分 刚体定轴转动的动能定理的微分形式 当绕定轴转动的刚体在外力作用下 角速度从t1时刻 1改变为t2时刻的 2时 合外力矩对刚体所作的功为 刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 动能定理 例1 一均质细杆可绕一水平轴旋转 开始时处于水平位置 然后让它自由下落 解 l mg cos 例 质量为m1 半径为r的匀质圆盘 可绕通过盘中心垂直于盘面的固定光滑轴转动 饶过盘的边缘挂有质量为m2的物体 如图所示 一切摩擦忽略不计 将m2静止释放 下降h米用了时间t秒 在 已知的情况下 求m2下降h时的速度 求m1的转动惯量 解 受力如图所示 三 含有刚体的力学系统的机械能 刚体的机械能 1 质点的平动动能 质点的重力势能 弹性势能 力学系统的机械能 刚体的重力势能 刚体的转动动能 2 刚体的转动动能 刚体的重力势能 对含有刚体的力学系统 若在运动过程中 只有保守内力做功 而外力和非保守内力都不做功 或做功的代数和为零 则此系统的的机械能守恒 系统的机械能守恒 当a外 a非保 0时 有 例3 如图 一钟摆由长度为l 质量为m的均质细杆和固定在其一端的质量为m0的摆球 可以看作质点 构成 钟摆可绕一水平轴旋转 开始时把它放到水平位置 并处于静止状态 然后让它自由下落 问放手后钟摆摆到 角位置时的角速度 有多大 解 取细杆水平时位置为重力势能零点 系统机械能守恒 初态 末态 细杆 摆球 则 由系统机械能守恒定律有 细杆的转动惯量为 一 质点的角动量 动量矩 设t时刻质点的位矢 质点的动量 运动质点对参考点o的角动量定义为 角动量大小 角动量的方向 位矢和动量的矢积方向 动量矩 质点绕圆心作圆周运动时 5质点的角动量和角动量守恒定律 三 质点的角动量定理 动量矩定理 按角动量的定义 两边对时间求导 又 角动量定理 质点所受的合力矩就等于角动量对时间的变化率 四 角动量守恒定律 条件 角动量守恒定律 如果对于某一定点o 质点所受的合力矩为零 则此质点对该定点的角动量保持不变 角动量定理 6刚体的角动量与角动量守恒 一 刚体绕定轴转动的角动量 在刚体上任取第i个质点pi 它相对于o的角动量 因每个质点的角动量方向相同 所以刚体的角动量为每个质点角动量的代数和 的方向在转轴z上 即 刚体的角动量 刚体绕某一定轴的转动惯量j与刚体的角速度 的乘积 也称动量矩 单位 千克 米2 秒 1 kg m2 s 1 量纲 ml2t 1 角动量 动量矩 是描述刚体绕定轴转动状态的一个物理量 与质点动量相比可看出 角动量与之对应 动量与角动量是两个单位不同的物理量 不可混用 此式不仅适用于绕定轴转动刚体的转动惯量j为恒量过程 也适用于在刚体转动过程 j发生变化的过程 而m j 仅适用于转动惯量不变的过程 二 刚体定轴转动的角动量定理 由刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动的角动量定理 作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的导数 它是转动定律的另一表达方式 定轴转动角动量定理的积分形式 冲量矩 元冲量矩 定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一时间内角动量的增量 j可变化的质点系或非刚体 定轴转动时有 角动量守恒定律 刚体所受的合外力矩为零时 刚体的角动量保持不变 1 转动惯量和角速度均保持不变 刚体绕定轴作匀角速转动 2 转动惯量和角速度同时改变 但两者乘积不变 当j变大时 角速度变小 当j变小时 角速度变大 三 刚体定轴转动角动量守恒 角动量守恒的两种情况 转椅 角动量仪 直升飞机 分析人和转盘组成的系统 当双臂由r1变为r2后 系统转动惯量 转动角速度和机械能的变化情况 花样滑冰运动员通过改变身体姿态 改变转动惯量来改变转速 跳舞演员身体旋转 开始旋转时 两臂伸开 然后迅速收回两臂 这时旋转的速度比开始更快 这是由于转动惯量变小 例1 一质量为m长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动 开始时杆子处于铅垂状态 现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0和杆子发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起 试求 碰撞后系统的角速度 碰撞后细杆能上摆的最大角度 解 1 碰撞过程系统的合外力矩为零 系统的角动量守恒 碰撞前橡皮泥绕转轴的角动量为 碰撞后系统绕转轴的角动量为 2 上摆过程机械能守恒 取细杆下端水平面为重力势能零点 得 例1 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动 开始时两臂伸开 转动惯量为j0 角速度为 0 然后他将两臂收回 使转动惯量减少为 这时他的转动的角速度为 解 c 例2 质点系的内力可以改变a 系统的总质量b 系统的总动量c 系统的总动能d 系统的总角动量 c 例3 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动a 它受热膨胀或遇冷收缩时 角速度不变 b 它受热时角速度变大 遇冷时角速度变小 c 它受热或遇冷时 角速度均变大 d 它受热时角速度变小 遇冷时角速度变大 d 例4 如图示 一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴o旋转 初始状态为静止悬挂 现有一个小球自左方水平打击细杆 设小球与细杆间为非弹性碰撞 则在碰撞过程中对细杆和小球这一系统 a 只有机械能守恒b 只有动量守恒c 只有对转轴o的角动量守恒d 机械能 动量和角动量均守恒 c 例5 质量为m的质点以速率v沿一直线运动 则对直线上任一点的角动量为 0 例6 质量为m的质点以一