广东省肇庆市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 17页） 2015年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=1， 2， 3，集合 B= 2， 2，则 AB=（ ） A B 2 C 2， 2 D 2， 1， 2， 3 2某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取的 人数应为（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 3下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ） A y=e x B y= y= y=|x| 4下列各组函数表示同一函数的是（ ） A 与 y=x+3 B 与 y=x 1 C y=x0）与 y=1（ x0） D y=2x+1， xZ 与 y=2x 1， xZ 5以茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 x， y 的值分别为（ ） A 5， 2 B 5， 5 C 8， 5 D 8， 8 6方程 x=3 的解所在的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， +） 7按如图所示的程序框图运算，若输入 x=6，则输出 k 的值是（ ） 第 2页（共 17页） A 3 B 4 C 5 D 6 8研究表明，当死亡生物组织内的碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了若某一死亡生物组织内的碳 14 经过 n（ nN）个 “半衰期 ”后用一般的放射性探测器测不到碳 14 了，则 n 的最小值是（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 9如图，正方形 顶点 ， ，顶点 C， D 位于第一象限，直线 t： x=t（ 0t ）将正方形 成两部分，记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f（ t），则函数 s=f（ t）的图象大致是（ ） A B C D 10若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，则点 P（ m， n）在函数 y= x+4 图象上的概率是（ ） 第 3页（共 17页） A B C D 11函数 的值域是（ ） A 8， 1 B 8， 3 C R D 9， 1 12已知函数 f（ x）在其定义域（ ， 0）上是减函数，且 f（ 1 m） f（ m 3），则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ 0， 1） C（ 0， 2） D（ 1， 2） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 . 13计算： = 14日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每 15 分钟一班，在车站停 2 分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是 15已知 f（ x）是偶函数，当 x 0 时 f（ x） =x（ x+1）则当 x 0 时 f（ x） = 16若直线 y=2a 与函数 y=|1|（ a 0 且 a1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分 明过程和演算步骤 . 17某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如下数据： 产量 x（千件） 2 3 5 6 成本 y（万元） 7 8 9 12 经过分析，知道产量 x 和成本 y 之间具有线性相关关系 （ ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ ）试根据（ 1）求出的线性回归方程，预测 产量为 10 千件时的成本 18已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ 1）， f（ 3）， f（ a+1）的值； （ ）求函数 f（ x）的零点 19已知函数 f（ x） =1（ a 0 且 a1） （ 1）若函数 y=f（ x）的图象经过 P（ 3， 4）点，求 a 的值； 第 4页（共 17页） （ 2）比较 与 f（ 小，并写出比较过程 20某校高一年级甲、已两班准备联合举行晚会，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目甲班的文娱委员利用分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7的两个转盘（如图所示），设计了一种 游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲班代表获胜，否则乙班代表获胜 （ ）根据这个游戏方案，转到的两数之和会出现哪些可能的情况？ （ ）游戏方案对双方是否公平？请说明理由 21已知函数 （ x1， +）且 m 1） （ ）用定义证明函数 f（ x）在 1， +）上为增函数； （ ）设函数 ，若 2， 5是 g（ x）的一个单调区间，且在该区间上 g（ x） 0 恒成立，求实数 m 的取值范围 22已知函数 f（ x） =x 1） +p x） （ 1）求函数 f（ x）的定义域； （ 2）求函数 f（ x）的值域 第 5页（共 17页） 2015年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=1， 2， 3，集合 B= 2， 2，则 AB=（ ） A B 2 C 2， 2 D 2， 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 找出 A 与 B 的公共元素即可求出交集 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3，集合 B= 2， 2， AB=2 故选 B 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 【考点】 分层抽样方法 【专题】 计算题 【分析】 本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以 做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数 【解答】 解： 由题意知高一学生 210 人，从高一学生中抽取的人数为 7 可以做出每 =30 人抽取一个人， 从高三学生中抽取的人数应为 =10 故选 A 【点评】 抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样 3下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ） A y=e x B y= y= y=|x| 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论 【解答】 解：对于选项 A， y=y= x 为减函数，故 y=e 对于选项 B， y=30，故 y=增函数， 对于选项 C，函数的定义域为 x 0，不为 R， 对于选项 D，函数 y=|x|为偶函数，在（ 0）上单调递减，在（ 0， ）上单调递增， 第 6页（共 17页） 故选： B 【点评】 本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质 4下列各组函数表示同 一函数的是（ ） A 与 y=x+3 B 与 y=x 1 C y=x0）与 y=1（ x0） D y=2x+1， xZ 与 y=2x 1， xZ 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可 【解答】 解： A =x+3，（ x3），两个函数的定义域不相同不是同一函数 B y=|x| 1，两个函数的对应法则不相同不是同一函数 C y=（ x0）两个函数的定义域和对应法则相同是同一函数 两个函数的定义域不相 同不是同一函数 D两个函数的对应法则不相同不是同一函数 故选： C 【点评】 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的主要依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致 5以茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 x， y 的值分别为（ ） A 5， 2 B 5， 5 C 8， 5 D 8， 8 【考点】 茎叶图 【专题】 概率与统计 【分析】 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出 x、 y 的值 【解答】 解：根据茎叶图中的数据，得； 甲组数据的中位数为 15， y=5； 又 乙组数据的平均数为 = 解得 x=8； 综上， x、 y 的值分别为 8、 5 故答案为： C 【点评】 本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题 6方程 x=3 的解所在的区间是（ ） 第 7页（共 17页） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 综合题；数形结合；转化思想；数形结合法 【分析】 可构造函数 f（ x） =x 3，方程 x=3 的解所在的区间是函数 f（ x） =x 3 零点所在的区间，由零点存在的定理对四个选项中的区间进行验证即可 【解答】 解：构造函数 f（ x） =x 3，方程 x=3 的解所在的区间是函数 f（ x）=x 3 零点所在的区间， 由于 f（ 0）不存在， f（ 1） = 2， f（ 2） =1 0， f（ 3） =1 0 故零点存在于区间（ 2， 3） 方程 x=3 的解所在的区间是（ 2， 3） 故选 C 【点评】 本题考查函数零点的判定定理，求解本题的关键是将方程有根的问 题转化为函数有零点的问题从而利用零点存在性定理判断函数的零点所在的区间，即得函数的解所在的区间解题时根据题设条件灵活转化，可以降低解题的难度转化的过程就是换新的高级解题工具的过程 7按如图所示的程序框图运算，若输入 x=6，则输出 k 的值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【专题】 计算题 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构计算并 X 值，当 X 100 时，输出对应的变量 K 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行 过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： X K 是否继续循环 循环前 6 0/ 第一圈 13 1 是 第二圈 27 2 是 第 8页（共 17页） 第三圈 55 3 是 第四圈 111 4 否 故最后输出的 K 值为 4 故选 B 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计 算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 8研究表明，当死亡生物组织内的碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了若某一死亡生物组织内的碳 14 经过 n（ nN）个 “半衰期 ”后用一般的放射性探测器测不到碳 14 了，则 n 的最小值是（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 【考点】 等比数列的通项公式 【专题】 转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列 【分析】 利用半衰期公式，建 立不等式，求出解集即可得出结论 【解答】 解：根据题意， ， 即 2n 1000， nN； 所以 n 的最小值是 10 故选： B 【点评】 本题考查了利用数学知识解决实际问题的能力，是基础题目 9如图，正方形 顶点 ， ，顶点 C， D 位于第一象限，直线 t： x=t（ 0t ）将正方形 成两部分，记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f（ t），则函数 s=f（ t）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 压轴题；分类讨论 第 9页（共 17页） 【分析】 由 f（ t）表示位于 直线 l 左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数 s=f（ t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为 t= ，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象 【解答】 解：依题意得 s=f（ t） = ， 分段画出函数的图象可得图象如 C 所示 故选 C 【点评】 画分段函数的图象，要分如下几个步骤： 分析已知条件，以确定函数所分的段数及分类标准 根据题目中的数量关系，分析函数各段的解析式 对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式 由解析式用描点法，分段画出函数的图象 10若 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，则点 P（ m， n）在函数 y= x+4 图象上的概率是（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【专题】 计算题；转化思想；综合法；概率与统计 【分析】 先求出基本事件总数 n=66=36，点 P（ m， n）在函数 y= x+4 图象上，需满足 n=4 m，利用列举法求出满足条件的 P 点个数，由此能求出点 P（ m， n）在函数 y= x+4 图象上的概率 【解答】 解：连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m， n， 基本事件总数 n=66=36， 点 P（ m， n）在函数 y= x+4 图象上，需满足 n=4 m， 满足条件的 P 点有（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3， 1）， 点 P（ m， n）在函数 y= x+4 图象上的概率是： p= = 故选： D 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 11函数 的值域是（ ） A 8， 1 B 8， 3 C R D 9， 1 【考点】 二次函数的性质；分段函数的应用 【专题】 计算题；规律型；函数的性质及应用 【分析】 利用二次函数的性质求解分段函数的值域即可 【解答】 解： x0， 3， f（ x） =2x 对称轴为： x=1，开口向下，最大值为： 1，最小值为： 3 x 2， 0）， f（ x） =6x+对称轴为： x= 3，开口向上，最大值为： 0，最小值为：8 第 10页（共 17页） 函数 的值域是： 8， 1 故选： A 【点评】 本题考查分段函数的应用，二次函数的性质的应用，考查计算能力 12已知函数 f（ x）在其定义域（ ， 0）上是减函数，且 f（ 1 m） f（ m 3），则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ 0， 1） C（ 0， 2） D（ 1， 2） 【考点】 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质 【专题】 计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的定义域以及增函数的定义：自变量大的函数值大进行建立不等关系，解之即可 【解答】 解： 函数 y=f（ x）在定义域（ ， 0）上是减函数，且 f（ 1 m） f（ m 3）， ，解得，即 1 m 2， 即 m 的取值范围是：（ 1， 2） 故选： D 【点评】 本题主要考查了函数的单调性及单调区间，以及利用单调性的定义求解不等式，属于基础题 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 . 13计算： = 1 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题；规律型；函数的性质及应用 【分析】 直接利用对数运算法则化简求解即可 【解答】 解： = 3+2= 1 故答案为： 1 【点评】 本题考查对数运算法则的应用，基本知识的考查 14日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每 15 分钟一班，在车站停 2 分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是 【考点】 几何概型 【专题】 计算题；方程思想；综合法；概率与统计 【分析】 本题是一个几何概型，试验发生包含的事件 是轻轨列车每 15 分钟一班，共有 15分钟，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有 2 分钟，根据概率等于时间长度之比，得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型， 试验发生包含的事件是轻轨列车每 15 分钟一班，共有 15 分钟 满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要 2 分钟， 第 11页（共 17页） 记 “乘客到达站台立即乘上车 ”为事件 A， 事件 A 发生的概率 P= ， 故答案为： 【点评】 本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式 15已知 f（ x）是 偶函数，当 x 0 时 f（ x） =x（ x+1）则当 x 0 时 f（ x） = x 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题 【分析】 先设 x 0，则 x 0，适合已知条件下的表达式，故 f（ x） = x（ x+1），再根据 f（ x）是偶函数可得到答案 【解答】 解：设 x 0，则 x 0，适合已知条件下的表达式， 所以 f（ x） = x（ x+1） =x（ x 1） =x， 又因为 f（ x）是偶函数，所以 f（ x） =f（ x） =x 故答案为： x 【点评】 本题主要用奇偶性求函数在对称区间上的解析式，属于中 档题具体解法分两歩（ 1）在欲求区间上设自变量 x，则其对称区间上的 x 符合已知条件的表达式，使用这个表达式；（ 2）利用奇偶性将所得表达式进行化简，对称到欲求区间上，从而得到要求的表达式 16若直线 y=2a 与函数 y=|1|（ a 0 且 a1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 0 a 【考点】 指数函数的图像与性质；指数函数综合题 【专题】 作图题；压轴题；数形结合 【分析】 先分： 0 a 1 和 a 1 时两种情况，作出函数 y=|1|图象，再由直线 y=2y=|1|（ a 0 且 a1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解 【解答】 解： 当 0 a 1 时，作出函数 y=|1|图象： 若直线 y=2a 与函数 y=|1|（ a 0 且 a1）的图象有两个公共点 由图象可知 0 2a 1， 0 a ：当 a 1 时，作出函数 y=|1|图象： 若直线 y=2a 与函数 y=|1|（ a 0 且 a1）的图象有两个公共点 由图象可知 0 2a 1， 此时无解 综上： a 的取值范围是 0 a 故答案为： 0 a 第 12页（共 17页） 【点评】 本题主要考查指数函数的图象和性质 ，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法 三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分 明过程和演算步骤 . 17某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如下数据： 产量 x（千件） 2 3 5 6 成本 y（万元） 7 8 9 12 经过分析，知道产量 x 和成本 y 之间具有线性相关关系 （ ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ ）试根据（ 1）求出的线性回归方程，预测产量为 10 千件时的成本 【考点】 线性回归方程 【专题】 计算题；对应思想；数学模型法；概率与统计 【分析】 （ ）由表中的数据分别计算 ， ， ， ， ，即可写出线性回归方程； （ ）由线性回归方程，计算 x=10 时， 的值即可 【解答】 解：（ ）由表中的数据得 ， ， ， ， 第 13页（共 17页） ， ， 所以所求线性回归方程为 ； （ ）由（ 1）得，当 x=10 时， ， 即产量为 10 千件时，成本约为 元 【点评】 本题考查了求线性回归方程的应用问题，也考查了利用线性回归方程预测生产问题，是基础题目 18已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ 1）， f（ 3）， f（ a+1）的值； （ ）求函数 f（ x）的零点 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；规律型；分类讨论；函数的性质及应用 【分析】 （ ）直接利用分段函数求 f（ 1）， f（ 3）， f（ a+1）的值； （ ）利用分段函数，通过分类讨论列出方程求解函数 f（ x）的零点 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）因为 1 0，所以 f（ 1） =12 41+4=1； 因为 3 0，所以 f（ 3） =（ 3） 2+4（ 3） +4=1； 当 a+1 0，即 a 1 时， f（ a+1） =（ a+1） 2 4（ a+1） +4=2a+1； 当 a+1=0，即 a= 1 时， f（ a+1） =0； 当 a+1 0，即 a 1 时， f（ a+1） =（ a+1） 2+4（ a+1） +4=a+9； 所以 （ ）由题意，得 ，解得 x=2； 或 ，解得 x= 2 又因为 f（ 0） =0， 所以函数 f（ x）的零点为 2、 0 与 2 【点评】 本题考查分段函数的应用，分类讨论思想以及函数思想的应用，考查计算能力 第 14页（共 17页） 19已知函数 f（ x） =1（ a 0 且 a1） （ 1）若函数 y=f（ x）的图象经过 P（ 3， 4）点，求 a 的值； （ 2）比较 与 f（ 小，并写出比较过程 【考点】 指数函数综合题 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）由函数 y=f（ x）的图象经过 P（ 3， 4）， 又 a 0，可得 a 的值 （ 2）分 a 1 时和当 0 a 1 时两种情况，分别利用函数的单 调性比较 f（ 与 f（大小 【解答】 解：（ 1） 函数 y=f（ x）的图象经过 P（ 3， 4）， 又 a 0，所以 a=2 （ 2）当 a 1 时， f（ f（ 当 0 a 1 时， f（ f（ 证明：由于 f（ =f（ 2） =a 3；， f（ =a 当 a 1 时， y= ， +）上为增函数， 3 a 3 a f（ f（ 当 0 a 1 时， y= ， +）上为减函数， 3 a 3 a 有 f（ f（ 【点评】 本题主要考查指数函数的性质的综合应用，属于中档题 20某校高一年级甲、已两班准备联合举行晚会，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目甲班的文娱委员利用分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲班代表获胜，否则乙班代表获胜 （ ）根据这个游戏方案，转到的两数之和会出现哪些可能的情况？ （ ）游戏方案对双 方是否公平？请说明理由 【考点】 众数、中位数、平均数 【专题】 对应思想；数形结合法；概率与统计 【分析】 （ ）列出两数和的各种情况表格，比较清晰得出结论； （ ）由两数和的各种情况表格，得出该游戏方案是公平的，计算甲、乙两班代表获胜的概率是相等的 【解答】 解：（ ）两数和的各种情况如下表所示： 4 5 6 7 第 15页（共 17页） 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 （ ）该游戏方案是公平的； 因为由上表可知该游戏可能出现的情况共有 12 种， 其中两数字之和为偶数的有 6 种，为奇数 的也有 6 种， 所以甲班代表获胜的概率 = ， 乙