关于大气污染问题的数学建模论文.docx

1.问题重述 问题重述大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之一。 人类生活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。一个人在五个星期内 不吃饭或 5 天内不喝水，尚能维持生命，但超过 5 分钟不呼吸空气，便会死亡。 随着地球上人口的急剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染日趋 严重，其影响也日趋深刻，如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部地区 大气的污染，而且影响到全球性的气候变化。因此，加强大气质量的监测和预报 是非常必要。目前对大气质量的监测主要是监测大气中 SO2 、 NO2 、悬浮颗粒物 （主要为 PM10）等的浓度，研究表明，城市空气质量好坏与季节及气象条件 的关系十分密切。 附件给出城市 A、B、C、D、E、F 从 2003 年 3 月 1 日至 2010 年 9 月 14 日测 量的污染物含量及气象参数的数据。 请运用数学建模的方法对下列问题作出回答： 1.找出各个城市 SO2 、 NO2 、PM10 之间的特点，并将几个城市的空气质量进行 排序。 2对未来一周即 2010 年 9 月 15 日至 9 月 21 日各个城市的 SO2 、 NO2 、PM10 以及各气象参数作出预测。 3分析空气质量与气象参数之间的关系。 4就空气质量的控制对相关部门提出你的建议。2.问题分析 问题分析本题为生活中的实际问题，层层递进式提出四个问题，分 别需要对空气污染 因素以及气象参数进行分析求解。第一问为评价性问题，先从城市内部个污染物 特点出发，再到城市之间空气质量进行比较。第二问是预测性问题，通过对给出 的数据进行分析，预测各项参数之后的趋势。第三问是寻找关联性问题，要求找 出空气质量与气象参数之间的关系。第四问为开放型问题，可通过之前得出的结 论或者相关文章及模型提出建议。 2.1 问题 1 通过查阅资料，运用已有的 API 对各个城市的各项污染指标进行计算，得出 各个污染指数 API 月平均的折线图，观察，得出各城市各项指标的特点。鉴于求 解城市 API 时有一定的误差， 故选择综合评价模型， 对数据进行标准化处理之后， 确定动态加权函数，对模型进行求解，排名。检验模型后确定结论的合理性。 2.2 问题 2 预测模型主要有灰色预测，时间序列等模型。由所给数据以及问题可知该预 测模型为时间序列。随机选取气象参数之一气温（tem）为例进行分析，先通过 SPSS 软件得到其时序图，观察其走势，对其做平稳化处理。然后以最小 BIC 为 标准，构造模型，进一步应用 SPSS 软件求解，得出各项参数，并预测出 2010 年 9 月 15 日至 2010 年 9 月 21 日的数据。其余各城市各污染物浓度以及气象参 数应用类似方法进行求解。最后，由于 F 城市所提供数据与需要预测日期相隔较 远，故只做出定性的分析预测。 2.3 问题 3 空气污染物与气象要素关系密切， 研究的方向多为相关性分析与回归分析或 从理论上描述气象要素对污染物迁移扩散的影响。 但是回归分析应用于处理不相关 变量之间关系， 而典型相关性分析能很好地解决由于变量之间相关而导致回归 准确性降低的问题。并且观察原始数据发现，其中只有一组气象参数，故猜测气 象参数是在其中某一个城市所采集。现应用典型相关性分析分别分析 A、B、C、 三城市空气污染物 SO2 、 NO2 、PM10 与气象要素这两组数据间的关系。求出不同 季节的相关系数，判定气象参数最有可能是属于哪一城市的。再对该城市进行偏 相关性分析，最终得出污染物与气象参数之间的关系。该过程由 SPSS 直接完成。 2.4 问题 4 依据第三问所求得的气象参数和与其对应城市之间的关系， 分析影响各污染 物浓度的主要因素， 依此对有关部门提出合理的建议， 以提高该城市的空气质量。3.数据处理 数据处理对附件中数据整体浏览， 将不合理的数据进行删除： 2005 年 11 月 7 日的 tem 为 611.5，2010 年 6 月 6 日的 mmgh 为 267.109，依据常识，该两组数据均为记 录错误，故删去不予考虑 3.1 问题 1 对各项指标的数据进行月平均处理.以便进行模型的计算。 3.2 问题 2 基于数据的不完整性，只选择具有连续性的数据（2010 年 1 月 20 日至 2010 年 9 月 20 日）对问题二进行分析预测。 3.3 问题 3，4 将一年分为春季季风季（3-5 月）和冬季采暖季（11-2 月）两部分，分别进 行分析。4.模型基本假设 模型基本假设1、 各组数据真实可信，且是在同一地点同一时间采集，不考虑人为因素，具有 统计、预测意义。 2、 假设 A、B、C、D、E、F 六个城市的发展状况大体相同，即发展速度没有明 显差异。 3、 API 指标真实可靠，所给数据具有参考统计意义。 4、月 API 平均值能很好的代表该月空气质量，具有比较意义。 5、对 F 城市进行定性预测时，A、F 城市发展状况基本相同，有比较价值。 6、第三问中，根据数据的对应关系，假设气象参数是在 A、B、C 三城市中某一 个城市所采集。5.符号说明 符号说明API I空气污染指数 某污染物的污染指数 该污染物的浓度 在 API 分区表中最接近 C 值得两个值CC大 C小I 大 I小在 API 分区表中最接近 I 值得两个值 三项污染指标标准化值 区间最小值 区间最大值 区间边界 权重 被评价指标的综合评价值 城市 每个城市的 Borda 数 时间序列 模型阶数 差分阶数 延迟算子 均方差 复相关系数xi (i = 1, 2, 3)mj Mj( ak j ) ， bk( j )w j ( x )( j = 1, 2 L , m)XSiB j ( Si )XtPdBR6.模型的建立与求解 模型的建立与求解6.1 问题 1 6.1.1 问题一第一部分 通过查阅资料，可以找到 API，即空气质量污染指数标准，由此计算每个 城市各项指标的月 API 平均值，对各项数值进行比较，得出各个城市三项指标特 点。 6.1.1.1 各项指标月 API 平均值求解 根据表一：计算各项指标的 API 值： 设 I 为某污染物的污染指数， C 为该污染物的浓度。则： I ?I I = 大 小 (C ? C小 ) + I小 C大 ? C小 式中： C大 C小 ： 在 API 分区表中最接近 C 值得两个值I 大 I小 ：在 API 分区表中最接近 I 值得两个值6.1.1.2 各城市各项指标月 API 平均值折线图图一：各城市各项指标月 API 平均值折线图6.1.1.3 结果分析 整体分析图表可以看出 A、B、C、D、E 五个城市 SO2、NO2、PM10 等污染物 浓度均呈现波动性并且有缓慢下降趋势。 分析 A 城市数据，发现 A 城市 PM10 浓度与 B 城市差别并不显著，但是观察 发现 A 城市 PM10 的值在 2010 年 8 月后有所回升，这一点也可由数据得到验证。 B 城市 SO2 波动性很强，但是下降的趋势并不是非常的明显，说明 B 城市可 能有一些周期性的污染源需要治理。 B 城市的 PM10 波动性强有明显下降趋势， 而 这说明 B 城市很有可能在 2010 年采取过一些相应的积极措施，使得该城市 PM10 浓度在短期内大幅度下降。 而 A、B 两城市的 SO2 和 PM10 数值均明显高于 NO2 的数值，且两城市污染物 的波动方式相似，可粗略认为 A、B 两城市有部分工业或者结构上的相似。 分析 C、D 两城市可知 SO2、NO2、PM10 浓度较平稳波动，只有 PM10 在个别 时段有较大的起伏，而在其他时间序列内均趋于平缓变化。C、D 两城市的 PM10 曲线在同一时间明显偏高， 可推论在那一段时间有某些外界因素使得两个城市的 PM10 数值共同上升。 分析 E 城市空气污染物浓度可知，E 城市 SO2、NO2、PM10 浓度均在一定范 围内平稳变化 ，说明该城市在所选时间段内空气质量比较平稳。 由于 F 城市数据严重不足， 只有从 2004 年 9 月 1 日到 2009 年 12 月 27 日的 采集数据，故在 F 城市数具有统计意义的前提下，由图可知观看出 F 城月平均污 染物浓度大致呈现平稳趋势。 6.1.2 问题一第二部分 根据问题对 API 分析发现，对于城市 API 值计算中，原理为取三项指标的最 大值，这会造成相应的误差，故在分析第一问的第二部分时，只参考 API 的划分 标准，应用综合评价模型。 6.1.2.1 数据的标准化处理 对所给的空气污染标准（API）进行标准化处理，记三项指标： SO2 、 NO2 、 PM10 的数值分别为 x1 ， x2 ， x3 。 x 三项指标的数据均为极小型指标（即指标值越小越好） ，对其指标 j 做标准 化处理，即令： xj ? mj x j = (1 j m) M j ? mj 其中 m j = minxij ， M j = maxxij 。则相应的指标值变为 xij 0,1 ，即为无量1 i n 1i n( 纲的标准化指标， 对应的分类区间 ak j ) , bk( j ) ) 也随之相应的变化， 在这里为了方便 ( 仍记为 ak j ) , bk( j ) ) ( k = 1, 2 L K ;1 j m ) 。（1） SO2 的标准化x1 ( k ) 取 m1 = 0 ， M 1 = 2.62 ， x1 = 2.62 ，则其标准化数据为： xi1 0,1 对应的分类区间为： ( 0, 0.01908 , ( 0.01908, 0.05725 , ( 0.05725, 0.30534 , ( 0.30534, 0.610687 ,( 0.610687, 0.801527 , ( 0.801527,1 , (1, )（2） NO2 的标准化x2 ( k ) 取 m2 = 0 ， M 2 = 0.94 ， x2 = 0.94 ，则其标准化数据为： xi 2 0,1 对应的分类区间为： ( 0, 0.0851 , ( 0.0851, 0.12766 , ( 0.12766, 0.29787 , ( 0.29787, 0.601064 ,( 0.601064, 0.79787 , ( 0.79787,1 , (1, )（3）PM10 的标准化 取 m3 = 0 ， M 3 = 0.6 ， x3 = x3 ，则其标准化数据为： xi(3k ) 0,1 0.6对应的分类区间为： ( 0, 0.08333 , ( 0.08333, 0.25 , ( 0.25, 0.58333 , ( 0.58333, 0.7 ,( 0.7, 0.8333 , ( 0.8333,1 , (1, )6.1.2 动态加权函数确定 根据这一实际问题，通过对 SO2 、 NO2 、PM10 三项指标的变化关于空气质 量的分析，可得其变化的规律为：先是缓慢增长，中间有一个快速增长的过程， 最后平缓增加趋于最大值。此增长规律可取动态加权函数为偏大型正态分布函 数，即：x ? j 2 ? ?( ) ?1 ? e j ，当x 时 j w j ( x) = ? ?0, 当x j时 ?1 其中 j 不妨取指标 x j 的第一类空气质量标准的中间值， j = (b1( j ) ? a1( j ) ) ， j 即 2( 由 w j ( 4 j ) ) = 0.9(1 j m) 确定。6.1.3 综合评价模型的构建 根据标准化后的评价值，不妨仍用 xi 表示，以及相应的动态加权函数 建立综合评价模型来对被评价的 6 个城市的空气质量进行评 w j ( x )( j = 1, 2 L , m) ， 价，在此，取综合评价模型为个评价指标的动态加权和，即：X = wj (xj ) ? x jj =1m其 函数值 X 为被评价对象的综合指标值。 求出权后，可将 6 个城市的三项指标求期望，定量地得出每个城市中三项指 标的权值。 利用附件中给出的 31 个月的较为完整的数据，计算可得 ABCDE 五个城市的 空气质量评价性指标，即可得到一个综合评价矩阵 ( X ij )531 ，其结果如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31A 0.476425 0.381491 0.702262 0.9297 1.373017 0.877467 0.271782 0.686075 1.063705 0.564121 0.314058 0.435823 0.501583 0.284465 0.235934 0.398959 0.424451 0.458363 0.456919 0.446059 0.868274 0.834579 0.403206 0.280225 0.341758 0.308462 0.380315 0.313684 0.351124 0.228374 0.346638B 0.303438 0.498985 1.28647 0.687311 1.920787 1.315438 0.91516 1.058576 0.341397 0.217748 0.35661 0.59315 0.772306 0.300834 0.094631 0.293223 0.505005 0.540773 0.221436 0.35502 0.625685 1.324365 0.607239 0.292826 0.273846 0.377646 0.090987 0.25794 0.287037 0.054159 0.056442C 0.698787 0.556359 1.484706 1.528822 1.269957 0.928815 0.750946 0.789271 1.043505 0.736811 0.11028 0.083148 0.502327 0.182368 0.051389 0.130723 0.263 0.232642 0.033683 0.294002 0.206786 0.775048 0.491127 0.302021 0.423343 0.234013 0.255549 0.259855 0.433794 0.377645 0.556944D 0.302569 0.359134 0.822486 1.206963 2.55766 1.470042 0.668237 0.851067 1.067541 0.482838 0.660173 0.970207 0.766494 0.307514 0.12