2014届高考数学一轮：1.1.11函数模型及其应用

一 选择题 1 2013 福州质检 在某种新型材料的研制中 实验人员获得了下列一组实验数据 x1 99345 16 12 y1 54 047 51218 01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 A y 2x 2 B y x2 1 1 2 C y log3x D y 2x 2 答案 B 2 某种商品 现在定价每件 p 元 每月卖出 n 件 根据市场调查显示 定价每上涨 x 成 卖出的数量将会减少 y 成 如果涨价后的销售总金额是现在的 1 2 倍 则用 x 来表示 y 的 函数关系式为 A y B y 10 x 20 x 10 10 x 10 x 10 C y D y 10 x 20 x 10 10 x 20 x 10 解析 1 2pn p p n 化简得 y x 10 yn 10 10 x 20 x 10 答案 C 3 根据统计 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 单位 分钟 为 f x Error A c 为 常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装第 A 件产品用时 15 分钟 那么 c 和 A 的值分别是 A 75 25 B 75 16 C 60 25 D 60 16 解析 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟 所以 15 1 所以必有 4 A 且 c A 30 2 联立 1 2 解得 c 60 A 16 故选 D c 4 c 2 答案 D 4 将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时 能卖出 400 个 已知该商品每个涨价 1 元 其销售量就减少 20 个 为了赚得最大利润 售价应定为 A 每个 110 元 B 每个 105 元 C 每个 100 元 D 每个 95 元 解析 设售价为 x 元 则利润 y 400 20 x 90 x 80 20 110 x x 80 20 x2 190 x 8800 20 x 95 2 20 952 20 8800 当 x 95 时 y 最大为 4500 元 答案 D 5 某汽车运输公司 购买了一批豪华大客车投入营运 据市场分析 每辆客车营运的总 利润 y 单位 10万元 与营运年数 x x N 为二次函数关系 如图所示 则每辆客车营运多 少年 其营运的平均利润最大 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由题图可得营运总利润 y x 6 2 11 则营运的年平均利润 x 12 12 12 2 2 y x 25 x x 25 x 25 当且仅当 x 即 x 5 时取等号 25 x 答案 C 6 某医院研究所开发一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据检测 服药后每毫升血 液中的含药量 y 毫克 与时间 t 小时 之间的关系用如图所示曲线表示 据进一步测定 每 毫升血液中含药量不少于 0 25 毫克时 治疗疾病有效 则服药一次治疗该疾病有效的时间 为 A 4 小时 B 4 小时 7 8 C 4小时 D 5 小时 15 16 解析 当 0 t 1 时 y 4t 当 t 1 时 y t 3 当 y 时 4t 则 t 1 2 1 4 1 4 1 16 或 t 3 2 t 3 2 t 5 1 2 1 4 1 2 从而时间 t 4 4 15 16 15 16 答案 C 二 填空题 7 某建材商场国庆期间搞促销活动 规定 顾客购物总金额不超过 800 元 不享受任何折 扣 如果顾客购物总金额超过 800 元 则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠 按下表折 扣分别累计计算 可以享受折扣优惠金额折扣率 不超过 500 元的部分5 超过 500 元部分10 某人在此商场购物总金额为 x 元 可以获得的折扣金额为 y 元 则 y 关于 x 的解析式为 y Error 若 y 30 元 则他购物实际所付金额为 元 解析 若 x 1300 元 则 y 5 1300 800 25 元 30 元 因此 x 1300 10 x 1300 25 30 得 x 1350 元 答案 1350 8 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为 L1 5 06x 0 15x2 和 L2 2x 其中 x 为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获得的最大 利润为 万元 解析 设在甲地销售 x 辆 则在乙地销售 15 x 辆 所获利润 y 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 该二次函数的对称轴为 x 10 2 又 x N 所以当 x 10 时 能 获最大利润 Lmax 15 30 6 30 45 6 答案 45 6 9 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销售限价 a 最高 销售限价 b b a 以及实数 x 0 x 1 确定实际销售价格 c a x b a 这里 x 被称为乐 观系数 经验表明 最佳乐观系数 x 恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可 得 最佳乐观系数 x 的值等于 解析 根据题目条件可知 c a x b a b c b a c a 1 x b a 最佳乐观 系数满足 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 所以有 x b a 2 1 x b a b a 又因 为 b a 0 所以 x2 1 x 即 x2 x 1 0 解得 x 又 0 x 1 所以 x 1 5 2 1 5 2 答案 1 5 2 三 解答题 10 经市场调查 某超市的一种小商品在过去近 20 天内的日销售量 件 与价格 元 均为时 间 t 天 的函数 且日销售量 件 近似函数 g t 80 2t 价格 元 近似满足 f t 20 t 10 1 2 1 试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t 0 t 20 的函数表达式 2 求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值 解析 1 y g t f t 80 2t 20 t 10 1 2 40 t 40 t 10 Error 2 当 0 t 10 时 y 的取值范围是 1200 1225 当 t 5 时 y 取得最大值为 1225 当 10 t 20 时 y 的取值范围是 600 1200 当 t 20 时 y 取得最小值为 600 综上 第 5 天 日销售额 y 取得最大值为 1225 元 第 20 天 日销售额 y 取得最小值为 600 元 11 如图所示 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN 要求 B 点在 AM 上 D 点在 AN 上 且对角线 MN 过 C 点 已知 AB 3 米 AD 2 米 1 要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米 则 AN 的长度应在什么范围内 2 当 AN 的长度是多少时 矩形 AMPN 的面积最小 并求出最小值 解析 设 AN 的长为 x x 2 米 由 得 AM DN AN DC AM 3x x 2 S 矩形 AMPN AN AM 3x2 x 2 1 由 S 矩形 AMPN 32 得 32 3x2 x 2 又 x 2 于是 3x2 32x 64 0 解得 2 x 或 x 8 8 3 即 AN 长的取值范围为 2 8 8 3 2 y 3x2 x 2 3 x 2 2 12 x 2 12 x 2 3 x 2 12 12 x 2 2 12 24 3 x 2 12 x 2 当且仅当 3 x 2 12 x 2 即 x 4 时 y 取得最小值 24 3x2 x 2 当 AN 的长度是 4 米时 矩形 AMPN 的面积最小 最小值为 24 平方米 12 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的 车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度 x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速 度为 60 千米 小时 研究表明 当 20 x 200 时 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 1 当 0 x 200 时 求函数 v x 的表达式 2 当车流密度 x 为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小 时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 解析 1 由题意 当 0 x 20 时 v x 60 当 20 x 200 时 设 v x ax b 再由已知得Error 解得Error 故函数 v x 的表达式为 v x Error 2 依题意并由 1 可得 f x Error 当 0 x 20 时 f x 为增函数 故当 x 20 时 其最大值为 60 20 1200 当 20 x 200 时 f x x 200 x