911导数的基本知识.doc

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小结：（1）函数从到的平均变化率：；（2）函数从到的平均变化率：；（3）导数定义：在点处的导数记作；【3】导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是【4】导数的运算1利用定义求导数根据导数的定义求函数的导数，能加深对导数的理解，而且可以推导求导公式，使导数的求导公式理解起来更加自然，求函数的导数的方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋近”的求导步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，当时，得导函数若求函数在某点处的导数，则将上面各步中的换为，或者考虑先求出该函数的导函数，再将代入【5】导数的运算2利用公式求导数（基本初等函数的求导公式）1常见函数的导数公式； ；2常见函数的导数公式记忆技巧几个常见的初等函数的导数比较简单，对于初学者来讲比较新鲜，也容易记忆，能利用导数的定义推导出求导公式，以后直接运用就可以了 基本初等函数的导数公式主要涉及到这几类：常见函数的导数、幂函数的导数、指数、对数函数的导数、正弦、余弦函数的导数，公式的记忆是非常重要的一个方面 公式和比较好记，但对于公式和的记忆就比较难，特别是两个常数，很容易混淆，应从几个方面深化对公式的理解和记忆： （1）区分公式的结构特征既要注意与和与的区别，又要注意与的区别，找出差异记忆公式 （2）对于用和函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数求导公式，证明如下：这样知道了中的来历，对于公式的记忆和区分是很有帮助的另外，一般的结果写成，而不是（写成这个会造成误会）例如，注意下面写法的区别：与，这两个的实质分别是与【6】导数的运算3利用公式求导数（函数的和、差、积、商的导数）1多项式函数的求导法则 ，这里是常数，即常数的导数值为； ，特别地：2导数运算法则 ； ； （1）函数和、差的导数函数的和、差的求导法则为，即“和（差）的导数，等于导数的和（差）”，这两个法则同学们很容易掌握对于这个法则可以推广为：A常数与函数的乘积的导数：（为常数）； B几个函数的和（差）的导数（即对函数的和、差的求导法则的推广）：（2）函数积、商的导数对于函数的积的求导法则，要熟悉公式，对于函数的商的求导法则，形式比较复杂，要特别注意分子中的号，也可利用来解决但还是希望记住求导法则：_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知函数的导数为，则 答案：（2）函数的导数为 答案：（3）若对任意，则 答案：【7】简单复合函数的导数（理） 复合函数，的求导法则为： 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 求复合函数的导数，一般运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数问题，求解时通常应注意以下几点： （1）一般我没拿只会求简单的符合函数的导数，仅限于形式的复合函数（2）有些函数看似是符合函数，但可利用求导公式与导数的运算法则转化： 如：，等（3）利用符合函数求导法则求导后，应把中间变量转换成自变量的函数& 拓展知识点（Level B）【1】切线的“过”与“在”问题应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁，在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是对“二次抛物线”过抛物线上一点的切线抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）在曲线上移动，在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 答案：（2）直线是曲线的一条切线，则实数的值为 答案：或（3）已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为 答案：或（4）曲线在点处的切线方程是 答案：（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于， 求的值； 求过点的曲线的切线方程答案：；或【2】求导常用技巧 运用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数求导时，应在求导之前，先看能否利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错 常见的技巧如下： （1）裂项：化一项为多项 如果函数的解析式整体为分式，而分子分母为自变量的多项式，为了减少运算过程，可以考虑将解析式裂成多个比较简单的代数式的和、差形式 如：求函数的导数 （2）合并：减少因式个数如果函数的解析式是由多个因式的积构成的函数，则可以考虑利用相关知识，减少函数解析式中的因式个数，从而可使问题得到快捷的解决如：求函数的导数最终即求的导数 （3）有理化：化根式为有理式 如果函数的解析式中含有根式，则可以考虑利用分子或分母有理化进行变形，化为有理式再求解 如：求函数的导数【3】导数与函数单调性关系1相关关系（1）若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数（2）若函数在区间上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间上单调递减，则，反之等号不成立2相关解释与为增函数的关系：能推出为增函数，但反之不一定如函数在上单调递增，但， 是为增函数的充分不必要条件时，与为增函数的关系：若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有 当时，是为增函数的充分必要条件与为增函数的关系： 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性是为增函数的必要不充分条件函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）函数，其中为实数，当时，的单调性是 答案：增函数（2）设函数在上单调函数，则实数的取值范围 答案：（3）已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程的根都在区间内，则的取值范围是 答案：（4）已知，设，试问是否存在实数，使在上是减函数，并且在上是增函数？答案：【4】利用导数研究函数的单调性单调区间的求解过程：已知法一：Step 1: 分析的定义域；Step 2: 求导数 ；Step 3: 解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间（或用列表法）法二：Step 1: 分析的定义域；Step 2: 求方程的根，设根为；Step 3: 将给定区间分成个子区间，再在每一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导_ 经典案例 有疑问随时mail例：设函数在处有极值，且，求的单调区间答案：递增区间，递减区间【5】利用导数研究函数的极值1极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值记作极大值和极小值统称为极值2研究极值的步骤，已知Step 1: 分析的定义域；Step 2: 求导数 ；Step 3: 求解方程（设有根）；Step 4: 列表判断个区间内导数的符号，判断是否为极值，如果是，是极大还是极小值检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值注意： 是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是，即是为极值点的必要而不充分条件或者说由“不能得到当时，函数有极值” 但是，当时，函数有极值 给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记（是热点问题也是重点问题）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）函数的极值点是 答案：极小值点（2）已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是 答案：或（3）函数处有极小值，则 答案：（4）已知函数在区间是减函数，那么有最 值 答案：大，【6】利用导数研究函数的最值1最值的定义函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”注意与函数中的最值区分，函数中的最值仅仅是讲道理，而导数中提到的最值指的是一种找到最值的快速方法这里体现了数学往简单方向发展的原理2求函数在某闭区间上的最大、最小值Step 1: 分析的定义域；Step 2: 求导数 ；Step 3: 求解方程（设有根）；Step 4: 比较、，最大的为，最小的为注意：极值最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）特别注意： 利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表 要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）函数在上的最大值、最小值分别是 答案：；（2）用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积答案：高为时，容积最大为（3）方程的实根的个数为 答案：（4）已知函数，抛物线，当时，函数的图象在抛物线的上方，求的取值范围答案：【7】导数在实际问题中的应用（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）注意“曲线在点处的切线”还是“曲线过点的切线”的区别！（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型；（4）导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意& 深化知识点（Level C）交流、素材提供 博客：/ansontop 邮箱：anson_top