高中数学-二次函数-精华讲义.doc

.二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。基础知识回顾1.给出函数表达式，首先需要考虑是否等于0，若，则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2）顶点式：；3）分解式： 其中、是二次函数的与轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线.3.二次函数的图像与性质开口方向：当，函数开口方向向上；当，函数开口方向向下；对称轴：；顶点坐标：（，）；若图象与轴有两个交点，分别为，则=.增减性最值：当时，函数有最小值，并且当，=；当时，函数有最大值，并且当时，；与轴的交点个数：当0时，函数与轴有两个不同的交点；0有两个不等实根；=0表示有两个相等实根，0表示没有实数根，实际就是的情况.2） 、异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负.3） 、异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0.4） 、同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0.6. 对于的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，时，曲线变化缓慢，比要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随的绝对值增大而增加.2)图象关于轴对称.3)(0,0)是图象的拐点，上是减函数，上是增函数.4)图象与轴只有一个交点（0,0）。5)图象的最小值为0，无最大值.延伸至：的大小，不考虑的正负.越大，开口越小；越小，开口越大.越大，说明对于同样的值，值越大，图象更靠上或靠近轴，所以开口越小.7. 抛物线的平移类型一：求平移后抛物线的解析式例：抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，求平移后的解析式.解：类型二：求平移前抛物线的解析式例：抛物线向左平移5个单位又向下平移4个单位长度后得到，则原抛物线解析式为 .解：由原题意得：，而值不变，故.类型三：已知平移前后抛物线的表达式，求平移过程例：将抛物线经过怎样的平移得到?解：将平移前后两个表达式分别配成顶点式得：和，观察和可知，向右平移三个单位，向上平移7个单位.口诀：左加右减，上加下减.8. 通过图象判断、的关系开口方向定的符号；值定开口大小，越小，开口越大；越大，开口越小.与的组合确定对称轴在方向的移动，移动到.与轴仅有一个交点，说明能够配成完全平方形式，即.如顶点是，一定能表述为的形式.单调区间以对称轴为界两边严格单调，开口方向，决定递增递减.是偶函数，其他不是，其他能通过平移变换为偶函数，但本身不一定是偶函数.重点难点1.二次方程的实根分布及情况一般是先画出草图，然后从、对称轴和特殊点这三个角度列出不等式求解.注意数形结合的思想，通过图象能更直观地理解考题，提高解题速度和正确率.2. 二次不等式的转化策略1） 二次不等式的解集是：且；2） 当时，；当时，.3） 若二次函数恒满足，则其对称轴为.4） 在解一元二次不等式时要注意反过来时的问题，尤其是一元二次不等式的解集是和的情况的等价命题：的解集是或，的解集是或.方法突破1、 二次函数在上的最值（值域）1. 当时，是它的一个最值，另一最值在区间端点处取得；当时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.2. 含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合开口方向及单调性进行分类讨论求解.例 （1）已知，分别求其在区间和上的值域； （2）已知函数在区间上有最小值3，求的值.2、 与二次函数有关的综合问题“三个二次”二次函数与一元二次方程、一元二次不等式.二次函数是“三个二次”的核心，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒等式）问题是高考命题的热点.例 若二次函数满足，且.(1) 求的解析式；(2) 若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.3、 相关类型题目1. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .2. 设，一元二次方程有整数根的充要条件是 .3. 已知函数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 若二次函数为偶函数，则= .5. 设 是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.4、 函数的不动点一题例 对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点已知函数，（1） 当时，求函数的不动点；（2） 对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3） 在（2）的条件下，若的图象上,两点的横坐标是的不动点，且，两点关于直线对称，求的最小值.总结：学习二次函数，可以从