高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程、函数的应用课件 理 北师大版.ppt

2 8函数与方程 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的零点 1 函数零点的定义函数y f x 的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 知识梳理 横坐标 x轴 零点 a b 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图像通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图像与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图像连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 4 f x x2 g x 2x h x log2x 当x 4 时 恒有h x f x g x 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 5 6 答案 解析 3 且函数f x 的图像连续不断 f x 为增函数 f x 的零点在区间 2 3 内 7 1 2 4 5 6 答案 解析 3 函数f x ex 3x的零点个数是 解析由已知得f x ex 3 0 所以f x 在r上是增加的 3 1 因此函数f x 有且只有一个零点 7 4 函数f x 的零点个数为 解析作函数y1 和y2 的图像如图所示 由图像知函数f x 有1个零点 解析 1 2 4 5 6 3 答案 1 7 题组三易错自纠5 已知函数f x x x 0 g x x ex h x x lnx的零点分别为x1 x2 x3 则a x1 x2 x3b x2 x1 x3c x2 x3 x1d x3 x1 x2 解析作出y x与y1 y2 ex y3 lnx的图像如图所示 可知选c 解析 1 2 4 5 6 答案 3 7 6 已知函数f x 则函数f x 有个零点 解析 1 2 4 5 6 1 答案 解析当x 1时 由f x 2x 1 0 解得x 0 当x 1时 由f x 1 log2x 0 3 所以此时方程无解 综上函数f x 只有1个零点 7 7 函数f x ax 1 2a在区间 1 1 上存在一个零点 则实数a的取值范围是 解析 1 2 4 5 6 答案 解析 函数f x 的图像为直线 由题意可得f 1 f 1 0 3a 1 1 a 0 3 7 题型分类深度剖析 1 设f x lnx x 2 则函数f x 的零点所在的区间为a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 题型一函数零点所在区间的判定 自主演练 答案 解析 解析 f 1 ln1 1 2 10 f 1 f 2 0 函数f x lnx x 2的图像是连续的 且为增函数 f x 的零点所在的区间是 1 2 2 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 解析 解析 a0 f b b c b a 0 由函数零点存在性定理可知 在区间 a b b c 内分别存在零点 又函数f x 是二次函数 最多有两个零点 因此函数f x 的两个零点分别位于区间 a b b c 内 故选a 答案 3 设函数y1 x3与y2 的图像的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则x0所在的区间是 解析 1 2 答案 易知f x 为增函数 且f 1 0 x0所在的区间是 1 2 确定函数零点所在区间的常用方法 1 利用函数零点存在性定理 2 数形结合法 典例 1 函数f x 的零点个数是 解析 答案 题型二函数零点个数的判断 师生共研 2 所以在 0 上有一个零点 所以f x 在 0 上是增函数 又因为f 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一个零点 综上 函数f x 的零点个数为2 解析f x 2 1 cosx sinx 2sinx ln x 1 sin2x ln x 1 x 1 函数f x 的零点个数即为函数y1 sin2x x 1 与y2 ln x 1 x 1 的图像的交点个数 分别作出两个函数的图像 如图 可知有两个交点 则f x 有两个零点 解析 答案 2 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 2 利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数 3 利用函数图像的交点个数判断 易知当x 1时 函数g x 有1个零点 当x 1时 函数g x 有2个零点 所以函数g x 的零点共有3个 故选c 跟踪训练 1 已知函数f x 则函数g x f 1 x 1的零点个数为a 1b 2c 3d 4 解析 答案 2 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 2 解析 答案 由右图知两函数图像有2个交点 故函数f x 有2个零点 命题点1根据函数零点个数求参数典例已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围是 解析 题型三函数零点的应用 多维探究 答案 0 1 9 几何画板展示 解析设y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐标系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的图像如图所示 由图可知f x a x 1 0有4个互异的实数根等价于y1 x2 3x 与y2 a x 1 的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1 消去y得x2 3 a x a 0有两个不等实根 所以 3 a 2 4a 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由图像得a 0 09 本例中 若f x a恰有四个互异的实数根 则a的取值范围是 解析作出y1 x2 3x y2 a的图像如图所示 解析 答案 当x 0或x 3时 y1 0 解析 答案 2 已知函数f x 则使函数g x f x x m有零点的实数m的取值范围是a 0 1 b 1 c 1 2 d 0 1 解析函数g x f x x m的零点就是方程f x x m的根 解析 答案 观察它与直线y m的交点 得知当m 0或m 1时 有交点 即函数g x f x x m有零点 命题点3根据零点的范围求参数典例若函数f x m 2 x2 mx 2m 1 的两个零点分别在区间 1 0 和区间 1 2 内 则m的取值范围是 解析 答案 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中画出函数的图像 然后数形结合求解 跟踪训练 1 方程 a 2x 2 x有解 则a的最小值为 解析 答案 1 2 2017 福建漳州八校联考 已知函数f x 若函数g x f x m有三个零点 则实数m的取值范围是 解析 答案 解析作出函数f x 的图像如图所示 若函数f x 与y m的图像有三个不同的交点 典例 1 已知函数f x 若关于x的方程f x k有三个不同的实根 则实数k的取值范围是 2 若关于x的方程22x 2xa a 1 0有实根 则实数a的取值范围为 利用转化思想求解函数零点问题 思想方法 思想方法指导 思想方法指导 1 函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数 利用数形结合求解参数范围 2 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y f x 的值域解决 解析 答案 1 0 解析 1 关于x的方程f x k有三个不同的实根 等价于函数y1 f x 与函数y2 k的图像有三个不同的交点 作出函数的图像如图所示 由图可知实数k的取值范围是 1 0 课时作业 1 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为f 1 6 log21 6 0 解析 答案 所以函数f x 的零点所在区间为 2 4 2 已知a是函数f x 2x x的零点 若00c f x0 0d f x0 的符号不确定 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析f x 在 0 上是增函数 若0 x0 a 则f x0 f a 0 解析 3 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是a 1 3 b 1 2 c 0 3 d 0 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为f x 在 0 上是增函数 则由题意得f 1 f 2 0 a 3 a 0 解得0 a 3 故选c 解析 4 已知函数f x 则使方程x f x m有解的实数m的取值范围是a 1 2 b 2 c 1 2 d 1 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析当x 0时 x f x m 即x 1 m 解得m 1 当x 0时 x f x m 即x m 解得m 2 即实数m的取值范围是 1 2 故选d 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分两种情形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 当m 1时 0 1 如图 要使f x 与g x 的图像在 0 1 上只有一个交点 只需g 1 f 1 即1 m m 1 2 解得m 3或m 0 舍去 综上所述 m 0 1 3 故选b 6 已知f x 则函数g x f x ex的零点个数为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析函数g x f x ex的零点个数即为函数y f x 与y ex的图像的交点个数 作出函数图像可知有2个交点 即函数g x f x ex有2个零点 答案 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 已知函数f x 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 0 1 解析令 x x3 x a h x x2 x a 函数g x f x b有两个零点 即函数y f x 的图像与直线y b有两个交点 结合图像 图略 可得ah a 即aa2 解得a1 故a 0 1 解析 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 定义在r上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x 2015x log2015x 则在r上 函数f x 零点的个数为 答案 3 解析因为函数f x 为r上的奇函数 因此在 0 内有且仅有一个零点 根据对称性可知函数在 0 内有且仅有一个零点 从而函数f x 在r上的零点个数为3 10 在平面直角坐标系xoy中 若直线y 2a与函数y x a 1的图像只有一个交点 则a的值为 解析函数y x a 1的图像如图所示 因为直线y 2a与函数y x a 1的图像只有一个交点 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11 设函数f x x 0 1 作出函数f x 的图像 解如图所示 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故f x 在 0 1 上是减函数 而在 1 上是增函数 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解由函数f x 的图像可知 当0 m 1时 方程f x m有两个不相等的正根 3 若方程f x m有两个不相等的正根 求m的取值范围 12 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 解显然x 0不是方程x2 m 1 x 1 0的解 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 m 2 m 1 故m的取值范围是 1 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点有a 多于4个b 4个c 3个d 2个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为偶函数f x 满足f x 2 f x 故函数的周期为2 当x 0 1 时 f x x 故当x 1 0 时 f x x 函数y f x log3 x 的零点的个数等于函数y f x 的图像与函数y log3 x 的图像的交点个数 在同一个坐标系中画出函数y f x 的图像与函数y log3 x 的图像 如图所示 显然函数y f x 的图像与函数y log3 x 的图像有4个交点 故选b 解析 答案 14 已知f x 是奇函数并且是r上的单调函数 若函数y f 2x2 1 f x 只有一个零点 则实数 的值是 答案 解析依题意 方程f 2x2 1 f x 0只有1个解 故f 2x