高考数学一轮复习 第二章 第4讲 二次函数与幂函数课件 理 苏教版 .ppt

第4讲二次函数与幂函数 考点梳理 1 幂函数的定义形如 的函数称为幂函数 其中x是自变量 为常数 2 常见的五种幂函数的图象 1 幂函数 y x r 3 五种常见幂函数的性质 r 0 奇 偶 非奇非偶 奇 增 增 r r r r 0 奇 综上 若 0 y x 在 0 上是增函数 若 0 y x 在 0 上是减函数 1 二次函数的解析式 二次函数的一般式为y ax2 bx c a 0 二次函数的顶点式为y 其中顶点为 二次函数的两根式为y 其中x1 x2是方程ax2 bx c 0的两根 也就是函数的零点 根据已知条件 选择恰当的形式 利用待定系数法可求解析式 2 二次函数 a x h 2 k a 0 h k a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图象和性质 在对称轴的两侧单调性相反 当b 0时为偶函数 当b 0时为非奇非偶函数 一个考情解读本讲在高考中 主要考查一次函数 二次函数 幂函数的性质及应用 尤其是 三个二次 的联系与应用 重点考查数形结合与等价转化两种数学思想 通过三者的相互转化 考查函数与方程思想 对于二次函数的区间最值 尤其是含参数的区间最值问题 要充分注意问题的特殊性以简化运算 要求选择合理的标准分类讨论 助学 微博 1 若函数y x2 a 2 x 3 x a b 的图象关于直线x 1对称 则b 答案6答案 2 考点自测 答案 答案1 3 解析由m2 2m 3 0 得 1 m 3 又m z m 0 1 2 m2 2m 3为偶数 经验证m 1符合题意 答案1 方法总结 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围 当 0时 幂函数在 0 上为增函数 当 0时 幂函数在 0 上为减函数 然后验证函数的奇偶性 考向一幂函数的图象和性质 例1 幂函数y xm2 2m 3 m z 的图象关于y轴对称 且当x 0时 函数是减函数 则m的值为 答案 1 例2 已知函数f x x2 mx n的图象过点 1 3 且f 1 x f 1 x 对任意实数都成立 函数y g x 与y f x 的图象关于原点对称 求f x 与g x 的解析式 考向二求二次函数的解析式 方法总结 求二次函数解析式一般都采用待定系数法 其关键在于根据题设合理选用二次函数解析式的形式 一般式在任何情况下都适用 其缺点是待定的字母较多 容易引起混乱 顶点式一般需要先知道二次函数的顶点坐标 而两根式则需要先知道图象与x轴的交点坐标 在解题时 遵循的原则是出现字母越少越好 1 求f x 的解析式 2 当x 1 1 时 不等式mf x x恒成立 求m的取值范围 训练2 2012 扬州模拟 已知二次函数f x 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 3 设函数h x f x x a 直接写出 不需给出演算步骤 不等式h x 1的解集 解 1 因为f 0 a a 1 所以 a 0 即a 0 由a2 1知a 1 因此 a的取值范围为 1 2 记f x 的最小值为g a 考向三二次函数的图象与性质 例3 2009 江苏 设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 方法总结 要善于应用二次函数图象解题 特别是求二次函数在给定区间上的最值问题 借助图象讨论较为直观 一般情况下 应首先采用配方法 将二次函数化为y a x m 2 n a 0 的形式 得顶点 m n 或对称轴方程x m 再根据下面三个类型 顶点固定 区间固定 顶点含参数 区间固定 顶点固定 区间变动进行求解 1 当a 1时 求函数f x 的最大值和最小值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 5 5 上是单调函数 解 1 当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 所以x 1时 f x 取得最小值1 x 5时 f x 取得最大值37 2 因为y f x 在区间 5 5 上是单调函数 所以 a 5或 a 5 故a的取值范围是 5 5 训练3 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 求f x 的解析式 2 若在区间 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求实数m的取值范围 审题视点对于 1 由f 0 1可得c 利用f x 1 f x 2x恒成立 可求出a b 进而确定f x 的解析式 对于 2 可利用函数思想求得 考向四有关二次函数的综合问题 例4 若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 2 f x 2x m等价于x2 x 1 2x m 即x2 3x 1 m 0 要使此不等式在 1 1 上恒成立 只需使函数g x x2 3x 1 m在 1 1 上的最小值大于0即可 g x x2 3x 1 m在 1 1 上单调递减 g x min g 1 m 1 由 m 1 0得 m 1 因此满足条件的实数m的取值范围是 1 方法总结 二次函数 二次方程与二次不等式统称 三个二次 它们常结合在一起 而二次函数又是 三个二次 的核心 通过二次函数的图象贯穿为一体 因此 有关二次函数的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 用函数思想研究方程 不等式 尤其是恒成立 问题是高考命题的热点 1 求f x 的表达式 2 当x 2 2 时 g x f x kx是单调函数 求k的取值范围 二次函数在闭区间上的最值问题 一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值 当函数解析式中含有参数时 要根据参数的取值情况进行分类讨论 避免漏解 对于二次函数f x ax2 bx c a 0 而言 首先确定对称轴 然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论 规范解答1如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 审题路线图 求二次函数f x 的对称轴 分对称轴在区间的左侧 中间 右侧讨论 示例 2012 济南模拟 已知f x 4x2 4ax 4a a2在区间 0 1 内有最大值 5 求a的值及函数表达式f x 点评 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质 最值在对称轴处取得 忽视对称轴与闭区间的位置关系 不进行分类讨论 答案 4或2 高考经典题组训练 3 2012 江苏卷 已知函数f x x2 ax b a b r 的值域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的