平方与立方数列求和公式

2010 10 25 16 51 求求 1 2 2 2 3 2 n 21 2 2 2 3 2 n 2 的值的值 第一题第一题 求 1 2 2 2 3 2 n 2 的值 方法一 利用立方差公式 n 3 n 1 3 1 n 2 n 1 2 n n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 2 n 2 n 1 2 n 2 3 1 3 2 2 2 1 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 3 4 3 3 3 2 4 2 3 2 4 n 3 n 1 3 2 n 2 n 1 2 n 各等式全相加 n 3 1 3 2 2 2 3 2 n 2 1 2 2 2 n 1 2 2 3 4 n n 3 1 2 1 2 2 2 3 2 n 2 2 1 2 2 2 n 1 2 n 2 n 2 2 3 4 n n 3 1 3 1 2 2 2 3 2 n 2 2 n 2 1 2 3 n 1 n 3 1 3 1 2 2 2 n 2 1 n 2 n n 1 2 3 1 2 2 2 n 2 n 3 n 2 n n 1 2 n 2 2n 2 2n n 1 n 2 n 1 2n 1 1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 2n 1 6 方法二 另外一个很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形 第一行 1 个圈 圈内的数字为 1 第二行 2 个圈 圈内的数字都为 2 以此类推 第 n 行 n 个圈 圈内的数字都为 n 我们要求的平方和 就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和 设 这个数为 r 下面将这个三角形顺时针旋转 60 度 得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转 60 度 得到第三个三角形 然后 将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了 2n 1 而总共有几个圈呢 这是一个简单的等差数列求和 1 2 n n n 1 2 于是 3r n n 1 2 2n 1 r n n 1 2n 1 6 拓展 拓展 1 2 3 2 5 2 2n 1 2 2 1 2 4 1 2 6 1 2 2n 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 2 1 4 1 2 2n 2 2 1 2n 1 2 2 2 4 2 2n 2 n 2 2 4 2n 4 1 2 2 2 n 2 n 2n n 1 2n n 1 2n 1 3 n 2n n 1 n 4n 2 1 3 第二题 证明第二题 证明 1 3 2 3 3 3 n 3 1 2 3 n 2 n n 1 2 2 1 2 3 n 2 n 1 4 n 4 n 1 2 n 2 n 1 2 n 2 2n 2 2n 1 2n 1 4n 3 6n 2 4n 1 2 4 1 4 4 1 3 6 1 2 4 1 1 3 4 2 4 4 2 3 6 2 2 4 2 1 4 4 3 4 4 3 3 6 3 2 4 3 1 n 1 4 n 4 4 n 3 6 n 2 4 n 1 各式相加有 n 1 4 1 4 1 3 2 3 3 3 n 3 6 1 2 2 2 n 2 4 1 2 3 n n 4 1 3 2 3 3 3 n 3 n 1 4 1 6 n n 1 2n 1 6 4 1 n n 2 n n n 1 2 第三题 第三题 1 4 2 4 3 4 4 4 n 4 n n 1 2n 1 3n 2 3n 1 30 证明 n 1 5 n 5 5n 4 10n 3 10n 2 5n 1 n 5 n 1 5 5 n 1 4 10 n 1 3 10 n 1 2 5 n 1 1 2 5 1 5 5 1 4 10 1 3 10 1 2 5 1 1 全加起来 n 1 5 1 5 5 1 4 2 4 3 4 4 4 n 4 10 1 3 2 3 3 3 4 3 n 3 10 1 2 2 2 3 2 4 4 n 2 5 1 2 3 4 n n 因为 1 3 2 3 3 3 4 3 n 3 n n 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 4 n 2 n n 1 2n 1 6 1 2 3 4 n n n 1 2 所以 1 4 2 4 3 4 4 4 n 4 n 1 5 1 5 10 n n 1 2 2 10 n n 1 2n 1 6 5 n n 1 2 n 5 n n 1 2n 1 3n 2 3n 1 30 第四题 第四题 求五次方和公式 1 5 2 5 3 5 4 5 n 5 有没有六次 七次 甚至 N 次方和的公式 万分感谢 求 1 5 2 5 3 5 n 5 首先写出和式的前 6 项 即 1 5 1 2 5 32 3 5 243 4 5 1024 5 5 3125 6 5 7776 再求出相邻两数之差 得 31 211 781 2101 4651 再次求出相邻两数之差 得 180 570 1320 2550 再次求 一直求到只剩一个数为止 390 750 1230 360 480 120 最后 取每一组数的第一个数 包括原数组 得 1 31 180 390 360 120 则 1 5 2 5 3 5 n 5 1 C 1 n 31 C 2 n 180 C 3 n 390 C 4 n 360 C 5 n 120 C 6 n 对于某一个 p 有一种通法可以求 1 p 2 p 3 p n p 首先写出这个和式的前 p 1 项 即 1 p 2 p 3 p 4 p p 1 p 然后求出相邻两数之差 得到的差有 p 个 再求出差的相邻两数之差 得到的差有 p 1 个 一直求下去 求到只剩一个差为止 最后 包括原数组 1 p 2 p 3 p 4 p p 1 p 一共有 p 1 组数 取每组数的第一个数 a1 a2 a3 a4 a p 1 注 这 p 1 个数的顺序为 为求得差时的顺序 则 1 p 2 p 3 p n p a1 C 1 n a2 C 2