高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质配套课件 理.ppt

第5讲直线 平面垂直的判定与性质 1 直线与平面垂直 续表 2 平面与平面垂直 3 直线与平面所成的角 1 如果直线与平面平行或者在平面内 那么直线与平面所 成的角等于0 2 如果直线和平面垂直 那么直线与平面所成的角等于 90 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角 其范围是 0 90 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 4 二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 1 垂直于同一条直线的两条直线一定 d a 平行c 异面 b 相交d 以上都有可能 2 2017年新课标 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为棱 c cd的中点 则 a a1e dc1c a1e bc1 b a1e bdd a1e ac 3 如图8 5 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 下列结论中正 确的个数是 d 图8 5 1 bd1 ac bd1 a1c1 bd1 b1c a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 4 2013年新课标 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 d a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l解析 根据所给的已知条件作图 如图d58 由图可知 与 相交 且交线平行于l 故选d 图d58 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 例1 2014年山东 如图8 5 2 在四棱锥p abcd中 appc的中点 求证 1 ap 平面bef 2 be 平面pac 图8 5 2 证明 1 如图d59 图d59设ac be o 连接of ec 由于e为ad的中点 ae bc 四边形abce为平行四边形 又ae ab 则abce为菱形 o为ac的中点 又f是pc的中点 在 pac中 pa of of 平面bef 且pa平面bef ap 平面bef 2 由题意知 ed bc ed bc 四边形bcde为平行四边形 因此be cd 又ap 平面pcd ap cd 因此ap be 四边形abce为菱形 be ac 又ap ac a ap ac 平面pac be 平面pac 规律方法 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与直线垂直 通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题 出现中点时 平行要联想到三角形中位线 垂直要联想到三角形的高 出现圆周上的点时 联想到直径所对的圆周角为直角 互动探究 1 已知直线pa垂直于以ab为直径的圆所在的平面 c为 圆上异于a b的任一点 则下列关系中不正确的是 图8 5 3 a pa bcc ac pb b bc 平面pacd pc bc 解析 ab为直径 c为圆上异于a b的一点 所以ac bc 因为pa 平面abc 所以pa bc 因为pa ac a 所以bc 平面pac 从而pc bc 故选c 答案 c 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 例2 2017年新课标 如图8 5 4 在四棱锥p abcd中 ab cd 且 bap cdp 90 1 证明 平面pab 平面pad 2 若pa pd ab dc apd 90 且四棱锥p abcd图8 5 4 1 证明 由已知 bap cdp 90 得ab ap cd pd 由于ab cd 故ab pd 从而ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 2 解 如图d60 在平面pad内作pe ad 垂足为e 图d60 规律方法 垂直 平行关系证明中应用转化与化归思想 的常见类型 证明线面 面面平行 需转化为证明线线平行 证明线面垂直 需转化为证明线线垂直 证明线线垂直 需转化为证明线面垂直 证明面面垂直 需转化为证明线面垂直 进而转化为证 明线线垂直 互动探究 2 如图8 5 5 在立体图形d abc中 若ab cb ad cd e是ac的中点 则下列结论正确的是 图8 5 5a 平面abc 平面abdb 平面abd 平面bdcc 平面abc 平面bde 且平面adc 平面bded 平面abc 平面adc 且平面adc 平面bde 解析 要判断两个平面的垂直关系 就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直 因为ab cb 且e是ac的中点 所以be ac 同理有de ac 于是ac 平面bde 因为ac在平面abc内 所以平面abc 平面bde 又由于ac 平面adc 所以平面adc 平面bde 故选c 答案 c 考点3 线面所成的角 例3 2016年天津 如图8 5 6 四边形abcd是平行四边形 平面aed 平面abcd ef ab ab 2 bc ef 1 ae de 3 bad 60 g为bc的中点 图8 5 6 1 求证fg 平面bed 2 求证平面bed 平面aed 3 求直线ef与平面bed所成角的正弦值 1 证明 取bd的中点为o 连接oe og 在 bcd中 因为g是bc的中点 又因为ef ab ab dc 所以ef og 且ef og 即四边形ogfe是平行四边形 所以fg oe 又fg平面bed oe 平面bed 所以fg 平面bed 2 证明 在 abd中 ad 1 ab 2 bad 60 由 余弦定理可得bd 进而可得 adb 90 即bd ad 又因为平面aed 平面abcd bd 平面abcd 平面aed 平面abcd ad 所以bd 平面aed 又因为bd 平面bed 所以平面bed 平面aed 3 解 因为ef ab 所以直线ef与平面bed所成角即为直线ab与平面bed所成角 过点a作ah de于点h 连接bh 又因为平面bed 平面aed ed 由 2 知ah 平面bed 所以直线ab与平面bed所成角即为 abh 规律方法 1 证明线面平行 一般利用线面平行判定定理 即从线线平行出发给予证明 而线线平行寻找与论证 往往结合平面几何知识 如本题构造一个平行四边形 取bd的中点为o 可证四边形ogfe是平行四边形 从而得出fg oe 2 面面垂直的证明 一般转化为证线面垂直 而线面垂直的证明 往往需多次利用线面垂直判定与性质定理 而线线垂直的证明有时需要利用平面几何条件 如本题可由余弦定理解出 adb 90 即bd ad 3 求线面角 关键作出射影 即面的垂线 可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直 即面的垂线 过点a作ah de于点h 则ah 平面bed 从而直线ab与平面bed所成角即为 abh 再结合三角形可求得正弦值 互动探究 3 如图8 5 7 在三棱柱abc a1b1c1中 各棱长都相等 侧棱垂直于底面 点d是侧面bb1c1c的中心 则ad与平面bb1c1c所成角的大小是 图8 5 7 解析 如图d61 取bc的中点e 连接ae de 则ae 平面bb1c1c 所以 ade为直线ad与平面bb1c1c所成的角 设三棱柱的所有棱长为a 图d61 答案 3 4 2016年安徽皖南八校联考 四棱锥v abcd中 底面abcd是边长为2的正方形 其他四个侧面的腰长为3的等腰 三角形 则二面角v ab c的余弦值的大小为 解析 如图d62 取ab中点e 过v作底面的垂线 垂足为o 连接oe 图d62答案 b 难点突破 立体几何中的探究性问题二 例题 已知四棱锥p abcd的直观图及三视图如图8 5 8 1 求四棱锥p abcd的体积 2 若点e是侧棱pc的中点 求证pa 平面bde 3 若点e是侧棱pc上的动点 是否无论点e在什么位置 都有bd ae 并证明你的结论 图8 5 8 思维点拨 1 由直观图及三视图确定棱锥的底面和高 再 求体积 2 欲证pa 平面bde 需找一条与pa平行并在平面bde内的直线 结合e为pc的中点 ac与bd的交点为ac的中点 设ac的中点为f 故取直线ef 3 无论点e在pc上的什么位置 都有bd ae 的含 义是bd 平面pac 1 解 由四棱锥p abcd的直观图和三视图知 该四棱锥的底面是边长为1的正方形 侧棱pc 底面abcd 且pc 2 2 证明 如图8 5 9 连接ac 交bd于点f 则f为ac 的中点 图8