2012考研数学模拟题带答案数学一.doc

2012年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A）（B）（C）（D）解 选择B. 由题设知，为偶函数，故为奇函数.2.设 则是的（）. （A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点解 选择B. ，故是的跳跃间断点.3.若函数与在内可导，且，则必有（）.（A） （B）（C） （D）解 选择C. 由函数与在内可导知， 与在内连续，而，故.4.已知级数和分别收敛于，则级数（）.【C】(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为(C)必收敛，和为 (D) 必收敛，和为解 选择D. 由级数收敛知，设， 的前项和分别为，则，故，所以，级数收敛，和为.5.设矩阵与相似，则（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6解 选择A. 矩阵与相似，则与相似，故.6.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（）.（A）（B）（C）（D）解 因为分别为的对应特征值的特征向量，故.7. 设随机变量服从上的均匀分布，则与（）.（A）不相关 （B）相关 （C）独立 （D）相关且不独立解 选择A. 经计算得，.8. 设是取自正态总体一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）. （A）（B）（C）（D）解 选择D. 由一个正态总体的抽样分布知A，B，C都正确，但是它们不独立，不能推出.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设函数具有连续偏导数，且，则 . 解 答案为. 方程两边对求导，得，令，得，故.10.微分方程的通解为 . 解 答案为. .11.设，则 .解 答案为. 12.设为锥面外侧，则 .解 答案为. 关于面反向对称，关于为偶函数，故 .13.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为 .解 答案为，为任意常数. 由题设知，且，故的列向量是的基础解系.14.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则 .解 答案为. .三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分9分）设，而是由方程所确定的隐函数，其中具有连续偏导数，而具有连续导数，求.解 取全微分，故.16. （本题满分10分）设在上连续，且.求； 设，求级数的和.解 令，则，故，即，上式两边对求导，得，即. ，级数， .17. （本题满分10分）设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数），求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量.解 由题设知，球体上任一点的密度，球体的质量.转动惯量.18. （本题满分11分）设函数在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得.证 令，则，由积分中值定理知，存在，使得，即，由罗尔定理知，存在，使得，即，即.19. （本题满分10分）（数学一）证明：在右半平面上，曲线积分与路径无关，并求一个二元函数，使得.证 ，在右半平面上，故曲线积分与路径无关.解 所求函数，取积分路径为到，再到的折线段，则.20. （本题满分11分）设二维随机向量联合概率密度为求条件概率密度；概率密度.解 画出联合概率密度的非零区域.关于的边缘密度条件概率密度的取值范围为当时，当时，21.（本题满分11分）设是取自总体一个简单随机样本，的概率密度为，求未知参数的矩估计量；求未知参数的最大似然估计量.解 ，令，所以的矩估计为.似然函数， ，解得，所以的最大似然估计为.22.（11分）已知两个向量组与.为何值时，两个向量组等价？两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.解 对矩阵作初等行变换，得，当时，可由线性表示，且， ， 可由线性表示，即两个向量组等价.两个向量组等价时，故，.23.（11分）已知二维向量不是二阶方阵的特征向量.证明线性无关； 若，求的全部特征值，并判断能否与对角矩阵相似. 证 设，则，否则，是的特征向量，与题设矛盾，将代入，得，又，故，所以线