高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法初步、推理与证明 第四节 直接证明和间接证明课件 理.ppt

第四节直接证明和间接证明 总纲目录 教材研读 1 直接证明 考点突破 2 间接证明 3 数学归纳法的步骤 考点二分析法 考点一综合法 考点三反证法 考点四数学归纳法 教材研读 1 直接证明 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 矛盾 因此说明假设错误 从而证明 原命题成立的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 i 反设 假设命题的结论不成立 ii 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 iii 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 3 数学归纳法的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设 n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成以上两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 1 用分析法证明时出现 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 b 答案b由题意可知 应用 故 是 的必要条件 2 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60度 假设正确的是 a 假设三个内角都不大于60度b 假设三个内角都大于60度c 假设三个内角至多有一个大于60度d 假设三个内角至多有两个大于60度 b 答案b根据反证法的定义 假设是对原命题结论的否定 故假设三个内角都大于60度 故选b b 3 设a b c都是正数 则a b c 三个数 a 都大于2b 都小于2c 至少有一个不大于2d 至少有一个不小于2 d 答案d 6 当且仅当a b c时取等号 三个数中至少有一个不小于2 b 4 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 答案cn cn 1 解析由题意知 an bn n cn n 显然 cn随着n的增大而减小 cn cn 1 cn cn 1 b 5 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 左边表达式是1 2 3 从k k 1需增添的项是4k 5 或 2k 2 2k 3 答案1 2 3 4k 5 或 2k 2 2k 3 解析用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 2n 1 3 所求左边表达式是1 2 3 从k k 1需增添的项是4k 5 或 2k 2 2k 3 b 考点一综合法 考点突破 典例1已知点a x1 y1 d x2 y2 其中x1 x2 是曲线y2 4x y 0 上的两点 a d两点在x轴上的射影分别为点b c 且 bc 2 1 当点b的坐标为 1 0 时 求直线ad的斜率 2 记 oad的面积为s1 梯形abcd的面积为s2 求证 解析 1 因为b 1 0 所以a 1 y1 代入y2 4x 得到y1 2 舍负 又 bc 2 所以x2 x1 2 所以x2 3 代入y2 4x 得y2 2 舍负 所以kad 1 2 证明 证法一 设直线ad的方程为y kx m 与y轴交点的坐标为m 0 m 则s1 s omd s oma m x2 x1 m 由得k2x2 2km 4 x m2 0 所以又s2 y1 y2 x2 x1 y1 y2 kx1 m kx2 m 注意到y1y2 0 所以k 0 m 0 所以 因为 16 16km 0 所以0 km 1 所以 由得k2x2 2km 4 x m2 0 所以因为 ad x1 x2 2 点o到直线ad的距离为d 所以s1 ad d m 又s2 y1 y2 x2 x1 y1 y2 kx1 m kx2 m 证法二 设直线ad的方程为y kx m 注意到y1y2 0 所以k 0 m 0 所以 因为 16 16km 0 所以0 km 1 所以 证法三 因为直线od的方程为y x 所以点a到直线od的距离为d 又 od 所以s1 od d x1y2 x2y1 因为s2 y1 y2 x2 x1 y1 y2 所以 因为所以 4 x2 x1 8 所以 因为y1 y2 所以y1 y2 2 所以 方法技巧用综合法证明是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如判断函数的单调性 奇偶性 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑混乱 1 1设a b c 0 证明 a b c 证明因为a b c 0 根据基本不等式 有 b 2a c 2b a 2c 三式相加 a b c 2 a b c 即 a b c 1 2在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知sinasinb sinbsinc cos2b 1 1 求证 a b c成等差数列 2 若c 求证 5a 3b 证明 1 由已知得sinasinb sinbsinc 2sin2b 因为sinb 0 所以sina sinc 2sinb 由正弦定理 有a c 2b 即a b c成等差数列 2 由c c 2b a及余弦定理得 2b a 2 a2 b2 ab 即有5ab 3b2 0 所以 即5a 3b 考点二分析法典例2已知函数f x 3x 2x 求证 对于任意的x1 x2 r 均有 f 证明要证明 f 即证明 2 因此只要证明 x1 x2 x1 x2 即证明 因此只要证明 由于x1 x2 r 所以 0 0 由基本不等式知 成立 故原结论成立 方法技巧 1 分析法采用逆向思维 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需要用的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 2 应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的 它的常用书面表达形式为 要证 只需要证 或 注意用分析法证明时 一定要严格按照格式书写 2 1已知 abc的三个内角a b c成等差数列 角a b c的对边分别为a b c 求证 证明要证 即证 3 也就是 1 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 abc的三个内角a b c成等差数列 故b 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 b 考点三反证法 典例3设a 0 b 0 且a b 证明 1 a b 2 2 a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 证明由a b a 0 b 0 得ab 1 1 由基本不等式及ab 1 有a b 2 2 即a b 2 2 假设a2 a0得0 a 1 同理 0 b 1 从而0 ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 易错警示用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从结论的反面出发进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知条件矛盾 有的与假设矛盾 有的与基本事实矛盾等 且推导出的矛盾必须是明显的 3 1已知f x ax2 bx c 若a c 0 f x 在 1 1 上的最大值为2 最小值为 求证 a 0且 2 证明假设a 0或 2 1 当a 0时 由a c 0 得f x bx 由题意得b 0 f x bx在 1 1 上是单调函数 所以f x 在 1 1 上的最大值为 b 最小值为 b 由已知条件 得 b b 2 这与 b b 0相矛盾 所以a 0 2 当 2时 a 0 由二次函数f x 的图象的对称轴为x 知f x 在 1 1 上是单调函数 故其最值在区间的端点处取得 所以或 又a c 0 则b不存在 所以 2 由 1 2 得a 0且 2 典例4已知数列 an 满足a1 an 1 an 1 求a2 a3的值 2 证明 an 考点四数学归纳法 解析 1 因为a1 an 1 an 所以a2 a1 a3 a2 2 证明 i 当n 1时 左边 右边 1 不等式成立 ii 假设当n k k n 时 不等式成立 即ak0 所以 k2 所以ak 1 ak k k2 k 1 所以当n k 1时 不等式也成立 由 i 和 ii 可知不等式对任意n n 都成立 所以 由 2 知0 所以当n 2时 有 所以 所以 所以当n 3 n n 时 an 3 证明 因为a1 an 1 an 所以 易错警示使用数学归纳法时需注意的问题数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 1 第一步中 n n0中的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2或3等 2 第二步中 证明n k 1时命题成立的过程中 一定要用到归纳假设 掌握 一凑假设 二凑结论 的技巧 由k到k 1的证明中寻找由k到k 1的变化规律是难点 突破难点的关键是掌握由k到k 1的证明方法 在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放 缩等方法 或从p k 出发拼凑p k 1 或从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的 结合点 以便顺利过渡 切实掌握 观察 归纳 猜想 证明 这一从特殊到一般的推理方法 4 1已知等差数列 an 的公差d大于0 且a2 a5是方程x2 12x 27 0的两根 数列 bn 的前n项和为tn 且tn 1 bn 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 试比较与sn 1的大小 并说明理由 解析 1 由已知得又因为 an 的公差大于0 所以a5 a2 所以a2 3 a5 9 所以d 2 a1 1 所以an 2n 1 因为tn 1 bn 所以b1 当n 2时 tn 1 1 bn 1 因为bn tn tn 1 1 bn 化简 得bn bn 1 所以 bn 是首项为 公比为的等比数列 故bn 所以an