2020安徽六校教育研究会理科数学答案及评分标准

理科数学答案 第 1 页 共 3 页 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 理科数学参考答案 一 选择题 本大题共 12 个题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B D C B C B A A C D 11 提示 考虑函数ln1 0 yaxx 与 2 4 0 yxaxx 的图象 不难知它们有公共的零点t时 0f x 恒成立 于是 2 4eatt 解得 e 4e a 12 提示 取AC中点E 过M作MF 面 1111 ABC D 则APMAEM 故PMEM 而对固 定的点M 当 11 MNBC 时 MN最小 此时由MF 面 1111 ABC D 可知MFN 为等腰直角三 角形 2 2 MFMN 故 1 2 222 222 2 PMMNPMMNEMMFAA 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 12 3 2 14 160 15 4 108 16 6 0 3 16 提示 不难知 圆 222 1xya 上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直 因此当直线 34100 xy 与圆 222 1xya 相离时 APB 恒为锐角 故 22 14ad 2 13a 从而离心率 2 16 1 0 3 e a 三 解答题 共 70 分 一 必考题 共 60 分 17 12 分 解析 1 由题 22 2sin2cos2coscos 22 ABAB AB 1cos 1cos 2coscosABABAB 22cos 22cosABC 1 解得 1 cos 2 C 所以60C 6 分 2 由余弦定理 222 16cabab 再由 222 38CACBabab 解得 22 27ab 11ab 所以 2 49ab 7ab 故ABC 的周长为11 12 分 18 12 分 解析 1 因为BC 平面PAB PA 平面PAB 所以BCPA 由PAB 为等腰直角三角形 所以PAPB 又PBBCB 故PA 平面PBC 5 分 理科数学答案 第 2 页 共 3 页 2 取AB的中点O 连接 OP OD 因为PAPB ADBD 所以POAB DOAB 因为BC 平面PAB 所以PAB 平面ABCD 所以PO 平面ABCD POOD 如图 以O为坐标原点 OD OB OP分别为 x y z正半轴建立 空间直角坐标系Oxyz 则1AOBOPO 22 2DOADAO 又BCAB DOPA 所以 ODBC且ODBC 于是 0 0 1 P 0 1 0 A 2 0 0 D 2 1 0 C 2 1 1 PC 0 1 1 AP 2 1 0 AD 设平面PAD的法向量为 nx y z 则 0 20 n APyz n ADxy 令1x 得平面PAD的一个法向量 1 2 2 n 设直线PC与平面PAD所成的角为 则 26 sincos 9 6 3 PC n PC n PCn 12 分 19 12 分 解析 1 由题 1 0 F 若线段AF与抛物线C没有公共点 即 9 4 a 时 设点P在抛物线准线1x 上的射影为D 则 D P A三点共线时 PAPF 的最小值为 1 5ADa 此时4a 若线段AF与抛物线C有公共点 即 9 4 a 时 则 A P F三点共线时 PAPF 的最小值为 22 1 35PFa 此时3a 综上 实数a的值为3 或4 6 分 2 因为MOAMAOAOF 所以MAx 轴且MOMAMP 设 3 M t 则 2 6 Pt 代入抛物线C的方程解得29t 于是 3 13 2 MOMAMP 所以 19 13 22 POPA SMA y 12 分 20 12 分 解析 1 2 2 sincos xx f xeexx 0 2f 0 f 所以直线l方程为 2 yx 即 2 1 2yx 恒过点 1 2 5 分 2 将 1 6 代入直线l方程 得2 考虑方程 0f x 即 2 2cos10 xx exe 等价于2cos0 xx eex 记 2cos xx g xeex 则 2sin22sin22sin0 xxxx g xeexeexx 于是函数 g x在R上单调递增 又 22 0 2 gee 0 20g 所以函数 g x在区间 0 2 上存在唯一零点 即函数 f x存在唯一零点 12 分 D P A B C O y x z 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 21 12 分 解析 1 由题 X的可能取值为 1 k 和 1k k 1 1 kP Xp k 1 1 1 k k P Xp k 故X的分布列为 X 1 k 1k k P 1 kp 1 1 kp 111 1 1 1 1 1 kkk k E Xppp kkk 5 分 2 由 1 记 1 1 1 kf pp k 因为0k 所以 f p在 0 1 p 上单调递增 故p越小 f p越小 即所需平均检验次数越少 该方案越合理 8 分 记 11 1 1 10 9 kk g kp kk 当 1g k 且取最小值时 该方案最合理 因为 1 1 1 2 0 69 3 0 604 4 0 594 5 0 61ggggg 所以4k 时平均检验次数最 少 约为10000 594594 次 12 分 二二 选考题 共 选考题 共 1010 分 分 请考生在第请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 解析 1 曲线 2 C的方程化成直角坐标方程为 22 8xyy 即 22 4 16xy 圆心 2 0 4 C 半径4r 曲线 1 C为过定点 2 2 P的直线 易知 2 2 P在圆 2 C内 当 2 PCAB 时 线段AB长最小为 2222 2 2 2 16 20 24 4 2rPC 5 分 2 当点M与点P不重合时 设 M x y 2 C MPM 2 2 4 4 0C M PMx xyy 化简得 22 1 3 2xy 当点M与点P重合时 也满足上式 故点M的轨迹方程为 22 1 3 2xy 10 分 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 解析 1 332222 22 2 aba babab aabbab ab 22 ab aabb 22 3 24 b abab ab 0ab 又 22 3 0 24 b ab 3322 22aba bab 5 分 2 22 11 ba abab 即 33 22 baba a bab 即 22 22 b