高中数学导数知识点归纳总结及例题

1 导导导导 数数数数 考试内容 考试内容 导数的背影 导数的概念 多项式函数的导数 利用导数研究函数的单调性和极值 函数 的最大值和最小值 考试要求 考试要求 1 了解导数概念的某些实际背景 2 理解导数的几 何意义 3 掌握函数 y c c 为常数 y xn n N 的导数公式 会求多项式函数的导 数 4 理解极大值 极小值 最大值 最小值的概念 并会用导数求多项式函数的单调 区间 极大值 极小值及闭区间上的最大值和最小值 5 会利用导数求某些简单实际问 题的最大值和最小值 14 导导导导 数数数数 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 导数 导函数的简称 的定义 设 0 x是函数 xfy 定义域的一点 如果自变量x在 0 x处有增量x 则函数值y也引起相应的增量 00 xfxxfy 比值 x xfxxf x y 00 称为函数 xfy 在点 0 x到xx 0 之间的平均变化率 如果极限 x xfxxf x y xx limlim 00 00 存在 则称函数 xfy 在点 0 x处可导 并把这个极限叫 做 xfy 在 0 x处的导数 记作 0 xf或 0 xx y 即 0 xf x xfxxf x y xx limlim 00 00 注 x 是增量 我们也称为 改变量 因为x 可正 可负 但不为零 以知函数 xfy 定义域为A xfy 的定义域为B 则A与B关系为BA 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义 物理意 义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 2 2 函数 xfy 在点 0 x处连续与点 0 x处可导的关系 函数 xfy 在点 0 x处连续是 xfy 在点 0 x处可导的必要不充分条件 可以证明 如果 xfy 在点 0 x处可导 那么 xfy 点 0 x处连续 事实上 令xxx 0 则 0 xx 相当于0 x 于是 lim lim lim 000 0 0 0 0 xfxfxxfxxfxf xxxx 0 limlim lim lim 000 0 00 00 0 0 00 0 xfxfxfxf x xfxxf xfx x xfxxf xxxx 如果 xfy 点 0 x处连续 那么 xfy 在点 0 x处可导 是不成立的 例 xxf 在点0 0 x处连续 但在点0 0 x处不可导 因为 x x x y 当x 0 时 1 x y 当x 0 时 1 x y 故 x y x 0 lim不存在 注 可导的奇函数函数其导函数为偶函数 可导的偶函数函数其导函数为奇函数 3 导数的几何意义 函数 xfy 在点 0 x处的导数的几何意义就是曲线 xfy 在点 0 xfx处的切线的斜率 也就是说 曲线 xfy 在点 P 0 xfx处的切线的斜率是 0 xf 切线方程为 0 0 xxxfyy 4 求导数的四则运算法则 vuvu 2 1 21 xfxfxfyxfxfxfy nn cvcvvccvuvvuuv c为常数 0 2 v v uvvu v u 注 vu 必须是可导函数 若两个函数可导 则它们和 差 积 商必可导 5 复合函数的求导法则 xufxfx 或 xuxuyy 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 6 函数单调性 函数单调性的判定方法 设函数 xfy 在某个区间内可导 如果 xf 0 则 xfy 为增函数 如果 xf 0 则 xfy 为减函数 3 常数的判定方法 如果函数 xfy 在区间I内恒有 xf 0 则 xfy 为常数 注 0 xf是 f x 递增的充分条件 但不是必要条件 如 3 2xy 在 上并不 是都有0 xf 有一个点例外即 x 0 时 f x 0 同样0 xf是 f x 递减的充分非 必要条件 一般地 如果 f x 在某区间内有限个点处为零 在其余各点均为正 或负 那么 f x 在该区间上仍旧是单调增加 或单调减少 的 7 极值的判别方法 极值是在 0 x附近所有的点 都有 xf 0 xf 则 0 xf是函数 xf的极大值 极小值同理 当函数 xf在点 0 x处连续时 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极大值 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极小值 也就是说 0 x是极值点的充分条件是 0 x点两侧导数异号 而不是 xf 0 此外 函数不 可导的点也可能是函数的极值点 当然 极值是一个局部概念 极值点的大小关系是不确 定的 即有可能极大值比极小值小 函数在某一点附近的点不同 注 若点 0 x是可导函数 xf的极值点 则 xf 0 但反过来不一定成立 对于可导函 数 其一点 0 x是极值点的必要条件是若函数在该点可导 则导数值为零 例如 函数 3 xxfy 0 x使 xf 0 但0 x不是极值点 例如 函数 xxfy 在点0 x处不可导 但点0 x是函数的极小值点 8 极值与最值的区别 极值是在局部对函数值进行比较 最值是在整体区间上对函数值进 行比较 注 函数的极值点一定有意义 9 几种常见的函数导数 I 0 C C为常数 xxcos sin 2 1 1 arcsin x x 1 nn nxx Rn xxsin cos 2 1 1 arccos x x II x x 1 ln e x x aa log 1 log 1 1 arctan 2 x x 4 xx ee aaa xx ln 1 1 cot 2 x xarc III 求导的常见方法 常用结论 x x 1 ln 形如 21n axaxaxy 或 21 21 n n bxbxbx axaxax y 两边同取自然对数 可转化求代数和形式 无理函数或形如 x xy 这类函数 如 x xy 取自然对数之后可变形为xxylnln 对两 边求导可得 xx xxxyyxyy x xx y y lnln 1 ln 导数中的切线问题导数中的切线问题 例题例题 1 已知切点 求曲线的切线方程 已知切点 求曲线的切线方程 曲线在点处的切线方程为 32 31yxx 11 例题例题 2 已知斜率 求曲线的切线方程 已知斜率 求曲线的切线方程 与直线的平行的抛物线的切线方程是 240 xy 2 yx 注意 此题所给的曲线是抛物线 故也可利用法加以解决 即设切线方程为 代入 得 又因为 得 故选 2yxb 2 yx 2 20 xxb 0 1b 例题例题 3 已知过曲线上一点 求切线方程 已知过曲线上一点 求切线方程 过曲线上一点的切线 该点未必是切点 故应先设切点 再求切点 即用待定切点过曲线上一点的切线 该点未必是切点 故应先设切点 再求切点 即用待定切点 法 法 求过曲线上的点的切线方程 3 2yxx 11 5 例题例题 4 已知过曲线外一点 求切线方程 已知过曲线外一点 求切线方程 求过点且与曲线相切的直线方程 2 0 1 y x 练习题 练习题 已知函数 过点作曲线的切线 求此切线方 3 3yxx 016 A yf x 程 看看几个高考题看看几个高考题 1 2009 全国卷 曲线 21 x y x 在点 1 1处的切线方程为 2 2010 江西卷 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为 21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 3 2009 宁夏海南卷 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 4 2009 浙江 本题满分 15 分 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R I 若函数 f x的图象过原点 且在原点处的切线斜率是3 求 a b的值 5 2009 北京 本小题共 14 分 设函数 3 3 0 f xxaxb a 若曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 求 a b的值 6 1 函数的单调性和导数函数的单调性和导数 1 利用导数的符号来判断函数单调性 利用导数的符号来判断函数单调性 一般地 设函数一般地 设函数在某个区间可导 在某个区间可导 yf x 如果在这个区间内如果在这个区间内 则 则为这个区间内的为这个区间内的 0fx yf x 如果在这个区间内如果在这个区间内 则 则为这个区间内的为这个区间内的 0fx yf x 2 利用导数确定函数的单调性的步骤 利用导数确定函数的单调性的步骤 1 确定函数确定函数 f x 的定义域 的定义域 2 求出函数的导数 求出函数的导数 3 解不等式解不等式 f x 0 得函数的单调递增区间 得函数的单调递增区间 解不等式解不等式 f x 0 得函数的单调递减区间 得函数的单调递减区间 例题讲解例题讲解 a 求证 求证 在在上是增函数 上是增函数 3 1yx 0 b 确定函数确定函数 f x 2x3 6x2 7 在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 课堂练习课堂练习 1 确定下列函数的单调区间 确定下列函数的单调区间 1 y x3 9x2 24x 2 y 3x x3 7 已知函数 已知函数xxxfln 则 则 A 在 在 0 上递增上递增 B 在 在 0 上递减上递减 C 在 在 e 1 0上递增上递增 D 在 在 e 1 0上递减上递减 函数 函数53 23 xxxf的单调递增区间是的单调递增区间是 函数图象及其导函数图象函数图象及其导函数图象 1 函数在定义域内可导 其图象 yf x 3 3 2 如图 记的导函数为 则不 yf x yfx 等式的解集为 0fx 2 函数 xf的定义域为开区间 导函数 3 3 2 x f 在内的图象如图所示 则函数 3 3 2 xf的单调增区间是 3 如图为函数 32 f xaxbxcxd 的图象 fx为函数 f x的导函数 则不等式 0 x fx 的解集为 4 若函数的图象的顶点在第四象限 则其导 2 f xxbxc 函数的图象是 fx o y x 33 xfy 8 5 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一 yf x fx 条直线 则图象的顶点在 yf x A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6 2007 年广东佛山 设是函数的导函数 的图 x f xf xfy 象如右图所示 则的图象最有可能的是 xfy 7 设函数 f x 在定义域内可导 y f x 的图象如下左图所示 则导函数 y f x 的图象可能 为 8 安微省合肥市 安微省合肥市 20102010 年高三第二次教学质量检测文科 年高三第二次教学质量检测文科 函数 yf x 的图像如下右 图所示 则 yfx 的图像可能是 9 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科 已 知函数f x 的导函数 2 fxaxbxc 的图象如右图 则 f x 的图象可能是 x o y O 12 x y x yy O12 y O1 2 xO1 2 x ABCD O 12x y xfy 9 10 2010 年浙江省宁波市高三年浙江省宁波市高三 十校十校 联考文科 联考文科 如右图所示是某 一容器的三视图 现向容器中匀速注水 容器中水面的高度h随时 间t变化的可能图象是 A B C D 11 2008 广州二模文 理广州二模文 理 已知二次函数的图象如图 1 所示 则其导函数的图 xf xf 象大致形状是 12 2009 湖南卷文 若函数 yf x 的导函数在区间 a b上是增函数 则函数 yf x 在区间 a b上的图象可能是 A B C D 13 福建卷 11 如果函数的图象如右图 那么 xfy 导函数 yfx 的图象可能是 Ot hh tO h tOOt h 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧 侧 侧 ababa o x o x y ba o x y o x y b y 10 14 2008 年福建卷 12 已知函数 y f x y g x 的导函数的图象如下图 那么 y f x y g x 的图象可能是 15 2008 珠海一模文 理珠海一模文 理 设是函数的导函数 将和的图 xf xf xfy xfy 像画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 A B C D 16 湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检 已知函数 xfy 的导函数 xfy 的图像如下 则 函数 xf有 1 个极大值点 1 个极小值点 函数 xf有 2 个极大值点 2 个极小值点 函数 xf有 3 个极大值点 1 个极小值点 函数 xf有 1 个极大值点 3 个极小值点 17 2008 2008 珠海质检理珠海质检理 函数的定义域为 其导函 xf ba 数内的图象如图所示 则函数在区间 baxf在 xf 内极小值点的个数是 ba A A 1 B B 2 C C 3 D D 4 18 湛江市湛江市 文文 函数的图象大致是 2 2 1 ln xxxf x y 1 x x4O o O 2 x 3 x x x x x yyy y O O O O 11 ABCD 19 珠海