高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课件 新人教A版选修23.pptVIP

章末复习 第二章随机变量及其分布 学习目标1 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2 理解离散型随机变量及分布列 并掌握两个特殊的分布列 二项分布和超几何分布 3 理解离散型随机变量的均值 方差的概念 并能应用其解决一些简单的实际问题 4 了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 离散型随机变量的分布列 1 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量 2 若离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x2 xi xn x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 则称表 为离散型随机变量x的概率分布列 简称为x的分布列 具有性质 pi0 i 1 2 n 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 1 概率之和 2 两点分布如果随机变量x的分布列为 其中0 p 1 q 1 p则称离散型随机变量x服从参数为p的 两点分布 3 超几何分布在含有m件次品的n件产品中 任取n件 其中恰有x件次品 则事件 x k 发生的概率 p x k k 0 1 2 m 其中m min m n 且n n m n n m n n 则称分布列 为超几何分布列 4 条件概率及其性质 1 对于任何两个事件a和b 在已知事件a发生的条件下 事件b发生的概率叫做 用符号来表示 其公式为p b a p a 0 在古典概型中 若用n a 表示事件a中基本事件的个数 则p b a 2 条件概率具有的性质 如果b和c是两个互斥事件 则p b c a 条件概率 p b a 0 p b a 1 p b a p c a 5 相互独立事件 1 对于事件a b 若a的发生与b的发生互不影响 则称 2 若a与b相互独立 则p b a p ab p b a p a 3 若a与b相互独立 则 也都相互独立 4 若p ab p a p b 则 a b是相互独 p b a与b相互独立 立事件 p a p b 6 二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中发生的概率都是一样的 2 在n次独立重复试验中 用x表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率为p 则p x k 此时称随机变量x服从 记为 并称p为成功概率 二项分布 x b n p 两 7 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 1 均值称e x 为随机变量x的均值或 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均水平 数学期望 2 方差称d x 为随机变量x的方差 它刻画了随机变量x与其均值e x 的 其算术平方根为随机变量x的 3 均值与方差的性质 e ax b d ax b a b为常数 4 两点分布与二项分布的均值 方差 若x服从两点分布 则e x d x 若x b n p 则e x d x 标准差 平均偏离程度 ae x b a2d x p p 1 p np np 1 p 1 正态曲线 函数 x x 其中 和 为参数 0 r 我们称函数 x 的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线 2 正态曲线的性质 曲线位于x轴 与x轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线对称 8 正态分布 x 上方 曲线在处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着的变化而沿x轴平移 如图甲所示 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 如图乙所示 1 x 越小 越大 3 正态分布的定义及表示如果对于任何实数a b a b 随机变量x满足p a x b 则称随机变量x服从正态分布 记作 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 p x p 2 x 2 p 3 x 3 x n 2 0 6826 0 9544 0 9974 题型探究 例1设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 用随机变量 表示方程x2 bx c 0实根的个数 重根按一个计 求在先后两次出现的点数中有5的条件下 方程x2 bx c 0有实根的概率 类型一条件概率的求法 解答 解记 先后两次出现的点数中有5 为事件m 则基本事件总数为6 6 36 其中先后两次出现的点数中有5 共有11种 记 方程x2 bx c 0有实根 为事件n 若使方程x2 bx c 0有实根 b c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 当先后两次出现的点数中有5时 若b 5 则c 1 2 3 4 5 6 在先后两次出现的点数中有5的条件下 反思与感悟条件概率是学习相互独立事件的前提和基础 计算条件概率时 必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率 一般地 计算条件概率常有两种方法 在古典概型下 n ab 指事件a与事件b同时发生的基本事件个数 n a 是指事件a发生的基本事件个数 跟踪训练1已知男人中有5 患色盲 女人中有0 25 患色盲 从100个男人和100个女人中任选一人 1 求此人患色盲的概率 解设 任选一人是男人 为事件a 任选一人是女人 为事件b 任选一人是色盲 为事件c 此人患色盲的概率p c p ac p bc p a p c a p b p c b 解答 2 如果此人是色盲 求此人是男人的概率 以上各问结果写成最简分式形式 解答 例2天气预报 在元旦期间甲 乙两地都降雨的概率为 至少有一个地方降雨的概率为 已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率 且在这段时间甲 乙两地降雨互不影响 1 分别求甲 乙两地降雨的概率 类型二相互独立事件的概率与二项分布 解答 解设甲 乙两地降雨的事件分别为a b 且p a x p b y 2 在甲 乙两地3天假期中 仅有一地降雨的天数为x 求x的分布列 均值与方差 解答 解在甲 乙两地中 仅有一地降雨的概率为 x的可能取值为0 1 2 3 所以x的分布列为 反思与感悟 1 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 p ab p a p b 是判断事件是否相互独立的充要条件 也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具 涉及 至多 至少 恰有 等字眼的概率问题 务必分清事件间的相互关系 公式 p a b 1 p 常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率 2 二项分布的判定与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定 可从以下几个方面判定 每次试验中 事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数 跟踪训练2在一次抗洪抢险中 准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐 已知只有5发子弹 第一次命中只能使汽油流出 第二次命中才能引爆 每次射击是相互独立的 且命中的概率都是 1 求油灌被引爆的概率 解油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆 没有引爆的可能情况是 射击5次只击中一次或一次也没有击中 解答 2 如果引爆或子弹打光则停止射击 设射击次数为 求 不小于4的概率 解当 4时 记事件为a 解答 当 5时 意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中 记为事件b 例3为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 解设顾客所获的奖励额为x 类型三离散型随机变量的均值与方差 解答 顾客所获的奖励额的分布列及均值 解依题意得x的所有可能取值为20 60 解答 即x的分布列为 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成 或标有面值20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 解答 解根据商场的预算 每位顾客的平均奖励额为60元 所以先寻找均值为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以均值不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以均值也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对这两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为x1 则x1的分布列为 对于方案2 即方案 20 20 40 40 设顾客所获的奖励额为x2 则x2的分布列为 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求 但方案2奖励额的方差比方案1小 所以应该选择方案2 反思与感悟求离散型随机变量x的均值与方差的步骤 1 理解x的意义 写出x可能的全部取值 2 求x取每个值的概率或求出函数p x k 3 写出x的分布列 4 由分布列和均值的定义求出e x 5 由方差的定义 求d x 若x b n p 则可直接利用公式求 e x np d x np 1 p 跟踪训练3某产品按行业生产标准分成8个等级 等级系数x依次为1 2 8 其中x 5为标准a x 3为标准b 已知甲厂执行标准a生产该产品 产品的零售价为6元 件 乙厂执行标准b生产该产品 产品的零售价为4元 件 假定甲 乙两厂的产品都符合相应的执行标准 1 已知甲厂产品的等级系数x1的分布列如下表 解答 且x1的均值e x1 6 求a b的值 解 e x1 6 5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 又由x1的分布列得0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 2 为分析乙厂产品的等级系数x2 从该厂生产的产品中随机抽取30件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 353385563463475348538343447567用该样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数x2的均值 解答 解由已知得 样本的频率分布表如下 用该样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数x2的分布列如下 e x2 3 0 3 4 0 2 5 0 2 6 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数的均值为4 8 3 在 1 2 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具有可购买性 说明理由 解乙厂的产品更具有可购买性 理由如下 甲厂产品的等级系数的均值为6 价格为6元 件 解答 乙厂产品的等级系数的均值等于4 8 价格为4元 件 乙厂的产品更具有可购买性 性价比 高的产品更具有可购买性 例4为了评估某大米包装生产设备的性能 从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本 称其重量为 类型四正态分布的应用 解答 经计算 样本的平均值 10 10 标准差 0 21 1 为评判该生产线的性能 从该生产线中任抽取一袋 设其重量为x kg 并根据以下不等式进行评判 p x 0 6826 p 2 x 2 0 9544 p 3 x 3 0 9974 若同时满足三个不等式 则生产设备为甲级 满足其中两个 则为乙级 仅满足其中一个 则为丙级 若全不满足 则为丁级 请判断该设备的等级 解由题意得 所以该生产设备为丙级 2 将重量小于或等于 2 与重量大于 2 的包装认为是不合格的包装 从设备的生产线上随机抽取5袋大米 求其中不合格包装袋数y的均值e y 解答 反思与感悟正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向 2 2 3 3 这三个区间进行转化 然后利用上述区间的概率求出相应概率 在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想 跟踪训练4某市去年高考考生成绩x服从正态分布n 500 502 现有25000名考生 试确定考生成绩在550分 600分的人数 解 考生成绩x n 500 502 500 50 p 550 x 600 解答 故考生成绩在550分 600分的人数约为25000 0 1359 3398 达标检测 1 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 若已知出现的点数不超过4 则出现的点数是奇数的概率为 解析设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件a 抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件b 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 解析 3 某班有50名学生 一次考试后的数学成绩 n 110 102 若p 100 110 0 34 则估计该班学生的数学成绩在120分以上 含120分 的人数为a 10b 9c 8d 7 解析 数学成绩 服从正态分布n 110 102 且p 100 110 0 34 1 2 3 4 5 该班数学成绩在120分以上的人数为0 16 50 8 答案 解析 4 设随机变量 的分布列为p k m k 1 2 3 则m的值为 解析因为p 1 p 2 p 3 1 1 2 3 4 5 答案 解析 5